全等三角形中幾種常見的輔助線添法

1、全等三角形中幾種全等三角形中幾種常見的輔助線添法常見的輔助線添法知識(shí)回顧：知識(shí)回顧：一般三角形的全等條件：一般三角形的全等條件：定義（重合）法；定義（重合）法；1.SSS1.SSS；2.SAS2.SAS；3.ASA3.ASA；4.AAS.4.AAS.解題解題中常中常用的用的4 4種種方法方法方法指引證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：（1）：已知兩邊）：已知兩邊- 找第三邊找第三邊 (SSS)找夾角找夾角（SAS)(2):已知一邊一角已知一邊一角-已知一邊和它的鄰角已知一邊和它的鄰角已知一邊和它的對(duì)角已知一邊和它的對(duì)角找這邊的另一個(gè)鄰角找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)找這個(gè)

2、角的另一個(gè)邊找這個(gè)角的另一個(gè)邊(SAS)找這邊的對(duì)角找這邊的對(duì)角 (AAS)找一角找一角(AAS)(3):已知兩角已知兩角-找兩角的夾邊找兩角的夾邊(ASA)找夾邊外的任意邊找夾邊外的任意邊(AAS)1.1.連結(jié)連結(jié)目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)存在兩個(gè)點(diǎn)A和和B B語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)ABAB注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法1. 1.如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD連接連接

3、ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等2. 2.如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD, ,AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm, ,求求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .連接連接BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形ACBDO拓展題拓展題3.如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEFBCAFED目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)A A 語(yǔ)言

4、描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)A AM M和和A AN N注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法2. 2.倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法1. 1.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，ABCDE)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=ADDE=AD，連結(jié)連結(jié)CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？倍長(zhǎng)中線證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)AD至至E，使，使DE=AD，連接，連接BE，CE AD為為ABC的中線的中線 （已知）（已知） BD=CD （中線

5、定義）（中線定義） 在在ACD和和EBD中中 BD=CD （已證）（已證） 1=2 （對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等） AD=ED （輔助線作法）（輔助線作法） ACD EBD （SAS） BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形兩邊之（三角形兩邊之 和大于第三邊）和大于第三邊） AB+AC2AD。 （常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）2.練習(xí)；如圖練習(xí)；如圖1，AD是是ABC的中線，的中線， AB=3,AC=5，求中線，求中線AD的取值范圍的取值范圍。 例、例、如圖，如圖，AD為為ABC的中線，的中線，

6、 ADB、ADC的平分線交的平分線交AB、AC于于E、F。 求證：求證：BE+CFEF 分析：本題中已知分析：本題中已知D D為為BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 要證要證BEBE、CFCF、EFEF間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)D D將將BEBE旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)， 使這三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。使這三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。m = 42.35m = 42.231.已知在已知在ABC中中 ,C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC,連接連接DE截長(zhǎng)截長(zhǎng)F在在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得使得CF=CD,連接連接DF補(bǔ)短補(bǔ)短A1B

7、CD2342.如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線直線DC經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)存在一個(gè)點(diǎn)P P和和一條線一條線MNMN語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PDPDMNMN注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法4. 4.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂

8、線段1. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BC=10,BD=6,ADBD=6,AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E EACDBE角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例: :如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過點(diǎn)過點(diǎn)E E作作EFBCEFBC構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?E方法方法3:旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法如圖，在正方形如圖，在正方形ABCD中，中，E為為BC上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，F(xiàn)為為CD上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，EAF=45，求證：，求證：BE+DF=EFABCDEFE將將ABEABE繞點(diǎn)繞點(diǎn)A A逆時(shí)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)針方向旋轉(zhuǎn)9090 ，使AB與AD重合,點(diǎn)E落在E處（B）線段與角求相等，先找全等試試看。線段與角求相等，先找全等試試看。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線