選修矩陣與變換習(xí)題

1、第一講二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換。一、二階矩陣1.矩陣的概念23yx23OP(2, 3) = (2, 3)，將的坐標(biāo)排成一列，并簡記為 某電視臺舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績?nèi)缦拢撼踬悘?fù)賽甲8090乙868823m324簡記為 概念一：象 的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣.通常用大寫的拉丁字母A、B、C表示， 橫排叫做矩陣的行,豎排叫做矩陣的列.名稱介紹：上述三個矩陣分別是2×1矩陣，2×2矩陣（二階矩陣），2×3矩陣，注意行的個數(shù)在前。矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)相等，對應(yīng)的元素也相等的兩個矩陣，稱為AB。行矩陣：a11,a12（僅

2、有一行）列矩陣：（僅有一列）向量（x,y），平面上的點(diǎn)P（x,y）都可以看成行矩陣或列矩陣，在本書中規(guī)定所有的平面向量均寫成列向量的形式。練習(xí)1：1.已知,，若A=B，試求2.設(shè)，若A=B，求x,y,m,n的值。概念二：由4個數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表稱為二階矩陣。a,b,c,d稱為矩陣的元素。零矩陣：所有元素均為0，即，記為0。二階單位矩陣：，記為E2.二、二階矩陣與平面向量的乘法定義：規(guī)定二階矩陣A=，與向量的乘積為，即練習(xí)2：1.（1）（2） 2.=，求三、二階矩陣與線性變換1.旋轉(zhuǎn)變換問題1:P（x,y）繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180o得到P(x,y),稱P為P在此旋轉(zhuǎn)變換作用下的象。其

3、結(jié)果為，也可以表示為，即怎么算出來的？問題2. P（x,y）繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30o得到P(x,y),試完成以下任務(wù)寫出象P； 寫出這個旋轉(zhuǎn)變換的方程組形式；寫出矩陣形式.30o問題3.把問題2中的旋轉(zhuǎn)30o改為旋轉(zhuǎn)角，其結(jié)果又如何？2.反射變換定義：把平面上任意一點(diǎn)P對應(yīng)到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P的線性變換叫做關(guān)于直線的反射。研究：P（x,y）關(guān)于x軸的反射變換下的象P(x,y)的坐標(biāo)公式與二階矩陣。3.伸縮變換定義：將每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，（、均不?），這樣的幾何變換為伸縮變換。試分別研究以下問題：.將平面內(nèi)每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變的伸縮變換的坐標(biāo)公式

4、與二階矩陣. 將每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜纳炜s變換的坐標(biāo)公式與二階矩陣.4.投影變換定義：將平面上每個點(diǎn)P對應(yīng)到它在直線上的投影P（即垂足），這個變換稱為關(guān)于直線的投影變換。研究：P（x,y）在x軸上的（正）投影變換的的坐標(biāo)公式與二階矩陣。5.切變變換定義：將每一點(diǎn)P（x,y）沿著與x軸平行的方向平移個單位，稱為平行于x軸的切變變換。將每一點(diǎn)P（x,y）沿著與y軸平行的方向平移個單位，稱為平行于y軸的切變變換。研究：這兩個變換的坐標(biāo)公式和二階矩陣。練習(xí)：P10 .4 四、簡單應(yīng)用1.設(shè)矩陣A=，求點(diǎn)P(2,2)在A所對應(yīng)的線性變換下的象。練習(xí)：P13 .4.5【第一講.作

5、業(yè)】1.關(guān)于x軸的反射變換對應(yīng)的二階矩陣是 2.在直角坐標(biāo)系下，將每個點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)120o的旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的二階矩陣是 3.如果一種旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣為二階單位矩陣，則該旋轉(zhuǎn)變換是 4.平面內(nèi)的一種線性變換使拋物線的焦點(diǎn)變?yōu)橹本€y=x上的點(diǎn)，則該線性變換對應(yīng)的二階矩陣可以是 5.平面上一點(diǎn)A先作關(guān)于x軸的反射變換，得到點(diǎn)A1,在把A1繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180o，得到點(diǎn)A2，若存在一種反射變換同樣可以使A變?yōu)锳2，則該反射變換對應(yīng)的二階矩陣是 6.P（1，2）經(jīng)過平行于y軸的切變變換后變?yōu)辄c(diǎn)P1(1,-5)，則該切變變換對應(yīng)的坐標(biāo)公式為 7. 設(shè)，且A=B.則x 8.在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直

6、線y=-x的正投影變換對應(yīng)的矩陣為 9.在矩陣對應(yīng)的線性變換作用下，點(diǎn)P(2,1)的像的坐標(biāo)為 10.已知點(diǎn)A（2，1），B（2，3），則向量在矩陣對應(yīng)的線性變換下得到的向量坐標(biāo)為 11.向量在矩陣的作用下變?yōu)榕c向量平行的單位向量，則 12.已知，設(shè)，求，；13.已知，若與的夾角為135o，求x.14.一種線性變換對應(yīng)的矩陣為。若點(diǎn)A在該線性變換作用下的像為（5，5）,求電A的坐標(biāo)；解釋該線性變換的幾何意義。15.在平面直角坐標(biāo)系中，一種線性變換對應(yīng)的二階矩陣為。求點(diǎn)A（1/5,3）在該變換作用下的像；圓上任意一點(diǎn)在該變換作用下的像。答案：1.2. 3. 4. 5.6.7.18. 9.（0，5

7、）10.（2，8）11.，12.、13.2/3 14.(5,y) 15. ,第二講 線性變換的性質(zhì)·復(fù)合變換與二階矩陣的乘法一、 數(shù)乘平面向量與平面向量的加法運(yùn)算1.數(shù)乘平面向量：設(shè)，是任意一個實(shí)數(shù)，則2.平面向量的加法：設(shè)，則性質(zhì)1：設(shè)A是一個二階矩陣，是平面上的任意兩個向量，是任意一個實(shí)數(shù)，則數(shù)乘結(jié)合律：；分配律：【探究1】對以上的性質(zhì)進(jìn)行證明，并且說明其幾何意義。二、直線在線性變換下的圖形研究分別在以下變換下的像所形成的圖形。伸縮變換：旋轉(zhuǎn)變換：切變變換：特別地：直線x=a關(guān)于x軸的投影變換？性質(zhì)2：二階矩陣對應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變成 .（證明見課本P19）三、平

8、面圖形在線性變換下的像所形成的圖形分別研究單位正方形區(qū)域在線性變換下的像所形成的圖形。 恒等變換：旋轉(zhuǎn)變換：切變變換：反射變換：投影變換：【練習(xí)：P27】【應(yīng)用】試研究函數(shù)在旋轉(zhuǎn)變換作用下得到的新曲線的方程。四、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法1.研究任意向量先在旋轉(zhuǎn)變換：作用，再經(jīng)過切變變換：作用的向量2.二階矩陣的乘積定義：設(shè)矩陣A，B，則A與B的乘積AB【應(yīng)用】1.計算 2.A ，B ，求AB3.求在經(jīng)過切變變換：A=，及切變變換：B=兩次變換后的像。4.設(shè)壓縮變換：A，旋轉(zhuǎn)變換：B，將兩個變換進(jìn)行復(fù)合，求向量在復(fù)合變換下的像；求在復(fù)合變換下的像；在復(fù)合變換下單位正方形變成什么圖形？5.試研究橢

9、圓伸縮變換：旋轉(zhuǎn)變換： ；切變變換：；反射變換：；投影變換：五種變換作用下的新曲線方程。進(jìn)一步研究在，等變換下的新曲線方程。【練習(xí)：P35】【第二講.作業(yè)】A.B.C.D.1.下列線性變換中不會使正方形變?yōu)槠渌麍D形的是（ ）A.反射變換B.投影變換C.切變變換D.伸縮變換2. 在切變變換：作用下，直線y=2x-1變?yōu)?3. 在A作用下，直線變?yōu)閥=-2x-3,則直線為 4.在對應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓變?yōu)?.已知平面內(nèi)矩形區(qū)域為（0x11,0x22）,若一個線性變換將該矩形變?yōu)檎叫螀^(qū)域，則該線性變換對應(yīng)的矩陣為6.將橢圓繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45后得到新的橢圓方程為7.在對應(yīng)的線性邊變換作用下，

10、圓(x+1)2+(y+1)2=1變?yōu)?.計算：9.向量經(jīng)過和兩次變換后得到的向量為10.向量先逆時針旋轉(zhuǎn)45o，再順時針旋轉(zhuǎn)15o得到的向量為11.函數(shù)的圖像經(jīng)過的伸縮變換，和的反射變換后的函數(shù)是12. 橢圓先后經(jīng)過反射變換和伸縮變換后得到的曲線方程為13.已知，且，求矩陣。14.分別求出在、對應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓變換后的方程，并作出圖形。15.函數(shù)先后經(jīng)過怎樣的變換可以得到？寫出相應(yīng)的矩陣。答案：1.2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 6. 7.y=x（2x0）8. 、9. 10. 11.12.13. 14.y=-2x(2x2)、y=0(2x2)、 15. 第三講

11、矩陣乘法的性質(zhì)·逆變換、逆矩陣二、 矩陣乘法的性質(zhì)1.設(shè)，由A、B、C研究矩陣是否滿足，結(jié)合律；交換律；消去律。結(jié)論：2.由結(jié)合律研究矩陣的乘方運(yùn)算。3.單位矩陣的性質(zhì)【應(yīng)用】1.設(shè)，求82. 【練習(xí)：P41】二、逆變換與逆矩陣1.逆變換：設(shè)是一個線性變換，如果存在一個線性變換，使得，（是恒等變換）則稱變換可逆，其中是的逆變換。2.逆矩陣：設(shè)是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣，使得BA=AB=E2,則稱矩陣可逆，其中為的逆矩陣。符號、記法：，讀作的逆?！緫?yīng)用】1.試尋找30o的逆變換?！緫?yīng)用】1.A，問A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。2. A，問A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。由以上兩

12、題，總結(jié)一般矩陣A可逆的必要條件。三、逆矩陣的性質(zhì)1.二階矩陣可逆的唯一性。2.設(shè)二階矩陣A、B均可逆，則也可逆，且【練習(xí)：P50】【第三講.作業(yè)】1.已知非零二階矩陣A、B、C，下列結(jié)論正確的是（）A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC則A=B D. 若CA=CB則A=B2.下列變換不存在逆變換的是（）A.沿x軸方向，向y軸作投影變換。B.變換。C.橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增加橫坐標(biāo)的兩倍的切變變換。D.以y軸為反射變換3.下列矩陣不存在逆矩陣的是（）A. B. C. D. 4.設(shè)A,B可逆，下列式子不正確的是 （ ）A. B. C. D. 5.，則26. 7. 8.設(shè)，則向

13、量經(jīng)過先再的變換后的向量為經(jīng)過先再A的變換后的向量為9.關(guān)于x軸的反射變換對應(yīng)矩陣的逆矩陣是10.變換將（3，2）變成（1，0），設(shè)的逆變換為1，則1將（1，0）變成點(diǎn) 11.矩陣的逆矩陣為 12.設(shè)：，點(diǎn)（2，3）在1的作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)為 13.A，則= 14.ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果將三角形先后經(jīng)過和兩次變換變成ABC,求ABC的面積。15.已知A，B，求圓在變換作用下的圖形。16.已知，試分別計算：,答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5. 6. 7. 8.、9. 10.（3，2）11. 12.（1，3）13. 14.115.16. 、第四講 二階行列

14、式與逆矩陣·逆矩陣與二元一次方程組一.二階行列式與逆矩陣【概念】如果矩陣A是可逆的，則0.其中稱為二階行列式，記作，即，也稱為行列式的展開式。符號記為：detA或|A|【可逆矩陣的充要條件】定理：二階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)detA=0.此時 （請同學(xué)一起證明此定理）【應(yīng)用】1.計算二階行列式： 2.判斷下列二階矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣。AB【練習(xí)：P55】二、二元一次方程組的矩陣形式1.二元一次方程組的矩陣形式一般的，方程組可寫成矩陣形式為： 2. 二元一次方程組的線性變換意義設(shè)變換：，向量、，則方程組，意即：三、逆矩陣與二元一次方程組1.研究方程組：的矩陣形式與逆矩陣的關(guān)系。

15、【定理】如果關(guān)于x,y的二元一次方程組的系數(shù)矩陣A是可逆的，則該方程組有唯一解：【推論】關(guān)于x,y的二元一次方程組（a,b,c,d,均不為0），有非零解0【應(yīng)用】1.用逆矩陣解二元一次方程組【思考】課本60頁思考的系數(shù)矩陣A不可逆，方程組的解如何？【練習(xí)：P61】【應(yīng)用】1.為何值時，二元一次方程組有非零解？三、三階矩陣與三階行列式1.三階矩陣的形式2.三階行列式的運(yùn)算【第四講.作業(yè)】1.矩陣A，則|A|= 2.矩陣A，若A是不可逆的，則x= 3. 的逆矩陣為 4. A，B，則 5. A，若A不可逆，則 6.若關(guān)于x,y的二元一次方程組有非零解，則m 7.設(shè)二元一次方程組沒有非零解，則m所有值

16、的集合為 8.向量在旋轉(zhuǎn)變換的作用下變?yōu)椋瑒t向量 9. 若，則x+y 10. A，B，向量滿足，則向量 11.用逆矩陣的方法解方程組： 12.求下列未知的二階矩陣X： 13.當(dāng)為何值時，二元一次方程組有非零解？14.設(shè)A，矩陣B滿足，求矩陣B.答案：1.22.3. 4. 5.6.-33/47.8. 9.310. 11.x=k,y=3k 12. 、 13.1或4 14. 第五講 變換的不變量與特征向量一. 特征值與特征向量【探究】1. 計算下列結(jié)果：以上的計算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？2. 計算下列結(jié)果：以上的計算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？【定義】設(shè)矩陣A，如果存在實(shí)數(shù)及非零向量，使得，則稱是矩陣A

17、的一個特征值。是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。（結(jié)合探究1、2說明，特征值與特征向量）【定理1】如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是什么？【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線?！緫?yīng)用】從幾何角度解釋旋轉(zhuǎn)變換的特征值與特征向量。二、特征值與特征向量的計算1. 設(shè)A，求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。 【總結(jié)規(guī)律】一般的，矩陣A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量的求法?！緫?yīng)用】求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量?！揪毩?xí)：P70】【第五講.作業(yè)】1.設(shè)反射變換對應(yīng)的矩陣為A，則下列不是A的特

18、征向量的是 （ ） A. B. C. D. 2.下列說法錯誤的是 （ ）A.矩陣A的一個特征向量只能屬于A的一個特征值 B.每個二階矩陣均有特征向量 C.屬于矩陣A的不同特征值的特征向量一定不共線 D. 如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。3.設(shè)，分別是恒等變換與零變換的特征值，則 4.投影變換的所有特征值組成的集合為 5.矩陣的特征多項式為 6.已知A是二階矩陣，且A20，則A的特征值為 7.若0是矩陣A的一個特征值，則A的屬于0的特征向量為 8.已知1、2是矩陣A的特征值，則 9.若向量是矩陣的一個特征向量，則m 10.求下列矩

19、陣的特征值及其對應(yīng)的所有特征向量： 11.已知向量是矩陣的一個特征向量，求m的值。12.設(shè)A，分別求滿足下列條件的所有矩陣A：是A的屬于2的一個特征向量。是A的一個特征向量。13.對任意實(shí)數(shù)x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍。14設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：A的特征值一定不是0；若是A的特征值，則1/是A1的特征值。1.2.3.4.0，15.6.07.8. 9.10. 或；或或11.012.13.3214.有特征多項式證明； ， 得征。第六講 特征向量的應(yīng)用一. 的簡單表示【探究1】關(guān)于x軸的反射變換的坐標(biāo)公式為：相應(yīng)的二階矩陣為A矩陣A的特征值為：對應(yīng)于每個特征值的特征向量為：試研究對特

20、征向量作了n次變換后的結(jié)果：【定義】設(shè)矩陣A， 是矩陣A的屬于特征值的任意一個特征向量，則 （）【探究2】設(shè)探究1中的兩個特征向量為、，因為這兩個向量不共線，所以平面上任意一個向量可以用、為基底表示為：試研究的值?！拘再|(zhì)1】設(shè)、是二階矩陣A的兩個不同特征值，、是矩陣A的分別屬于特征值、的特征向量，對于平面上任意一個非零向量，設(shè)，則【應(yīng)用】1. 【P76 1、2】2.人口遷移問題課本P73【第五講.作業(yè)】1.求矩陣A的特征值及其對應(yīng)的所有特征向量。2.設(shè)是矩陣A的一個特征值，求證：是的一個特征值。若。求證A的特征值為0或1。3.設(shè)是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，求證：是的屬于特征值的一個特征向量?！?2綜合·作業(yè)】一、選擇題1.設(shè)矩陣A，B，若AB，則x的值為（ ）A.3 B.9 C.-3 D.±32.矩陣的逆矩陣為 （ ）A. B.