初中數(shù)學(xué)難題精選(附答案)

1、經(jīng)典難題（一）1、已知:如圖， 。是半圓的圓心， C、E是圓上的兩點(diǎn)， CD ±AB, EF± AB, EGXCO .求證:CD = GF.（初二）第27頁共22頁2、已知：如圖， P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，/ PAD =/PDA = 15 0.求證：PBC是正三角形.（初二）3、如圖，已知四邊形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形,CCi、DDi的中點(diǎn).求證：四邊形 A2B2c2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2分別是 AAi、BB1、4、已知：如圖，在四邊形 ABCD中,的延長線交MN于E、F.求證：/ DEN =/F.AD = BC, M、N 分別是 AB

2、、CD 的中點(diǎn)，AD、BC經(jīng)典難題（二）1、已知：4ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且 OM，BC于M .(1)求證：AH =2OM ;(2)若/BAC = 60°,求證：AH =AO .(初二)2、設(shè) MN是圓O外一直線，過。作OA，MN于A,及D、E,直線EB及CD分別交 MN于P、Q.求證:AP = AQ .(初二)3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:設(shè)MN是圓O的弦，過 MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,于 P、Q .求證：AP = AQ.（初二）ACDE和正方形CBFG ,4、如圖，分別以 ABC的AC和BC為一邊，在AABC的外側(cè)作

3、正方形點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC, AE = AC , AE與CD相交于F.求證：CE=CF.（初二）2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE /AC,且CE= CA ,直線EC交DA延長線于F.求證：AE = AF.（初二）4、如圖，B、D.PC切圓O于C, AC為圓的直徑，求證：AB = DC, BC = AD.（初三）PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于3、設(shè)P是正方形 ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn)，PFLAP, CF平分/DCE.求證：PA=PF.（初二）經(jīng)典難題（四）1、已知： AB

4、C是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)， PA=3, PB = 4, PC=5.求：/APB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA = /PDA.求證：/PAB=/PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證:AB CD + AD BC=AC BD .4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),AE與CF相交于P,且AAE=CF.求證：/DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）求證：寸§ <L<2 .設(shè)P是邊長為1的正4ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,B2、已知：P是邊長為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求 PA+PB

5、+PC的最小值.3、P為正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且D、E分別是 AB、AC上的點(diǎn)，/DCA=300, A4、如圖，4ABC 中，/ABC = /ACB= 800,ZEBA = 200,求/BED 的度數(shù).經(jīng)典難題（一）1 .如下圖做 GHAB,連接EO。由于 GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = /OEG,即GHFsZOGE,可彳# EO= GO= CO,又 CO=EO ,所以 CD=GF 得證。2 .如下圖做4DGC使與4ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得GCZAPD/CGP,得出 PC=AD=DC,和/DCG= /PCG=150所以/DCP=30 0 ,從而得出 PBC是正三角形

6、A3 .如下圖連接BCi和ABi分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn),連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn)，由 A2E= gAiB產(chǎn) gBiC產(chǎn) FB2 , EB2= AB= /BC=FCi ,又/GFQ+ /Q=90 0 和/GEB2+/Q=90 0,所以/GEB2=/GFQ 又/B2FC2=/A2EB2 ,可得B2FC20ZA2EB2 ,所以 A2B2 = B2c2 ,又/GFQ+ /HB2F=90 0 和/GFQ= ZEB2A2 ,從而可得/ A2B2 C2=90 0 ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A2B2C2D2是正方形。4.如

7、下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM ,所以可得ZQMF=ZQNM=/DEN 和/QMN= ZQNM ,從而得出/ DEN =/F。經(jīng)典難題(二)1.(1)延長 AD 至ij F 連 BF,做 OGAF,又/F= ZACB= /BHD ,可得BH=BF,從而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB, OC,既得/BOC=120 0從而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得證。3.作 OF LCD, OGXBE,連接 OP, OA , OF, AF, OG , AG, OQ。,AD AC CD 2FD

8、FD由于=AB AE BE 2BG BG由此可得 ADFzABG , 從而可得/ AFC= /AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/ AFC= ZAOP和/AGE= ZAOQ ,ZAOP= ZAOQ ,從而可得 AP=AQ。E4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CI, FH?？傻?PQ=EG+ FH2由EGAzAIC,可得 EG=AI ,由BFHzCBI,可得 FH=BI。AI + BI AB從而可得 PQ= = ,從而得證。22D經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)區(qū)DE,到AARG,連接CG.由于/ABG= /ADE=90 0+45 0=135 0從而可得 B, G, D在一條

9、直線上，可得 AGBCGB。推出AE=AG=AC=GC ,可得4AGC為等邊三角形。ZAGB=30 0,既得/EAC=30 0,從而可得/ A EC=75 0。又/EFC= ZDFA=45 0+30 0=75 0.可證：CE=CF。D2.連接BD作CHIDE,可得四邊形CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/CEH=30 0 ,所以/CAE= ZCEA= ZAED=15 0,又/FAE=90 0+45 0 + 15 0=150 0,從而可知道/ F=15 0,從而得出AE=AF 。3.作FGCD, FE± BE,可以得出GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X

10、,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。/ X Ztan /BAP=tan ZEPF=,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABP/PEF ,得到pa= pf ,得證。經(jīng)典難題（四）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)斗BP 60 0 ,連接PQ ,則4PBQ是正三角形?？傻肁PQC是直角三角形。所以/APB=150 02 .作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE/DC, BE/PC.可以得出ZABP= ZADP= ZAEP,可得:AEBP共圓（一邊所對兩角相等）可得/BAP= ZBEP= ZBCP,得證。3 .在 BD 取一點(diǎn) E,使 ZB

11、CE= ZACD ,既得BECs/ADC ,可得:BE _ ADBC AC即 AD ?BC=BE ?AC ,又/ACB= ZDCE,可得ABCs/DEC,既得AB DEAC - DC即 AB?CD=DE ?AC,由 + 可得：AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ,得證。4 .過 D 作 AQ ±AE , AG XCF ,由 SADE= S ABCD = SDFC ,可得: A1PQ= AELPQae=fc o可得DQ=DG ,可得/DPA = /DPC （角平分線逆定理）。D£一二一經(jīng)典難題（五）1. （1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 與PC 60 0 ,可得4P

12、BE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上,即如下圖：可得最小 L=（2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D , F。由于 ZAPD> ZATP= ZADP ,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FC>PC又 DF=AF由可得:最大 L< 2 ；由（1）和（2）既得:力 <L<2 。,可得4PBE為等邊三角形。2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 60 0既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP , PE, EF在一條直線上,即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF6+ .23.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2BP既得止方形邊長L900 ,可得如卜圖：=）（2+也）2+（烏2La =）5+2&Ua yB C' -4 -E4.在 AB 上找一點(diǎn) F,使 ZBCF=6