2014高中數(shù)學(xué)（教案+課內(nèi)預(yù)習(xí)學(xué)案+課內(nèi)探究學(xué)案+課后練習(xí)與提高）3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 新人教A版必修2

1、 3.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對(duì)立關(guān)系，并且會(huì)通過(guò)直線方程系數(shù)判定解的情況，2.當(dāng)兩條直線相交時(shí)，會(huì)求交點(diǎn)坐標(biāo).3.學(xué)生通過(guò)一般形式的直線方程解的討論，加深對(duì)解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn):根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn):對(duì)方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關(guān)系對(duì)應(yīng)情況的理解.【教學(xué)過(guò)程】導(dǎo)入新課問(wèn)題1.作出直角坐標(biāo)系中兩條直線，移動(dòng)其中一條直線，讓學(xué)生觀察這兩條直線的位置關(guān)系.課堂設(shè)問(wèn)：由直線方程的概念，我們知道直線上的一點(diǎn)與二元一次方程的解的關(guān)系，那如果兩直線相交于一點(diǎn)，

2、這一點(diǎn)與這兩條直線的方程有何關(guān)系？你能求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？說(shuō)說(shuō)你的看法.問(wèn)題2.你認(rèn)為該怎樣由直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)?這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.新知探究提出問(wèn)題已知兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判斷這兩條直線的關(guān)系？如果兩條直線相交，怎樣求交點(diǎn)坐標(biāo)？交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組有什關(guān)系？解下列方程組(由學(xué)生完成)：(); (); ().如何根據(jù)兩直線的方程系數(shù)之間的關(guān)系來(lái)判定兩直線的位置關(guān)系？當(dāng)變化時(shí)，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形，圖形有什么特點(diǎn)？求出圖形的交點(diǎn)坐標(biāo).討論結(jié)果：教師引導(dǎo)學(xué)生先從點(diǎn)與直線的位置關(guān)系入手，看下

3、表，并填空.幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)AA(a，b)直線ll：Ax+By+C=0點(diǎn)A在直線上直線l1與l2的交點(diǎn)A學(xué)生進(jìn)行分組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組的關(guān)系.設(shè)兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果這兩條直線相交,由于交點(diǎn)同時(shí)在這兩條直線上,交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的唯一公共解,那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和l2的交點(diǎn),因此,兩條直線是否有交點(diǎn),就要看這兩條直線方程所組成的方程組是否有唯一解.()若二元一次方程組有唯一解，則l1與l2相交;()若二元一次方程組無(wú)解，則l1與l2平行;()若二元一次方程組有無(wú)

4、數(shù)解，則l1與l2重合.即直線l1、l2聯(lián)立得方程組 (代數(shù)問(wèn)題) (幾何問(wèn)題)引導(dǎo)學(xué)生觀察三組方程對(duì)應(yīng)系數(shù)比的特點(diǎn)：();();().一般地，對(duì)于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C10,A2B2C20),有方程組.注意：(a)此關(guān)系不要求學(xué)生作詳細(xì)的推導(dǎo),因?yàn)檫^(guò)程比較繁雜，重在應(yīng)用.(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情況，方程比較簡(jiǎn)單，兩條直線的位置關(guān)系很容易確定.(a)可以用信息技術(shù)，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)各種圖形，經(jīng)過(guò)觀察，讓學(xué)生從直觀上得出結(jié)論，同時(shí)發(fā)現(xiàn)這些直線的共同特點(diǎn)是經(jīng)過(guò)同一點(diǎn).(b)找出或猜想這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程，

5、得出結(jié)論.(c)結(jié)論：方程表示經(jīng)過(guò)這兩條直線l1與l2的交點(diǎn)的直線的集合.應(yīng)用示例例1 求下列兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.解:解方程組得x=-2，y=2，所以l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2，2).變式訓(xùn)練 求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)以下兩條直線的交點(diǎn)的直線方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程組x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l1與l2的交點(diǎn)是(2,2).設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx,把點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入以上方程,得k=1,所以所求直線方程為y=x.點(diǎn)評(píng):此題為求直線交點(diǎn)與求直線方程的綜合運(yùn)用,求解直線方程

6、也可應(yīng)用兩點(diǎn)式.例2 判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.活動(dòng)：教師讓學(xué)生自己動(dòng)手解方程組，看解題是否規(guī)范，條理是否清楚，表達(dá)是否簡(jiǎn)潔，然后再進(jìn)行講評(píng).解:(1)解方程組得所以l1與l2相交,交點(diǎn)是(,).(2)解方程組×2-得9=0,矛盾,方程組無(wú)解,所以兩直線無(wú)公共點(diǎn),l1l2.(3)解方程組×2得6x+8y-10=0.因此,和可以化成同一個(gè)方程,即和表示同一條直線,l1與l2重合.變式訓(xùn)

7、練 判定下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，則求交點(diǎn).(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1).例3 求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.思路解析：根據(jù)本題的條件，一種思路是先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式方程求出所要求的直線方程；另一種思路是利用直線系(平行系或過(guò)定點(diǎn)系)直接設(shè)出方程，根據(jù)條件求未知量，得出所求直線的方程.解：(方法一)由方程組得

8、直線l和直線3x+y-1=0平行，直線l的斜率k=-3.根據(jù)點(diǎn)斜式有y-()=-3x-()， 即所求直線方程為15x+5y+16=0.(方法二)直線l過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為2x-3y-3+(x+y+2)=0， 即(+2)x+(-3)y+2-3=0.直線l與直線3x+y-1=0平行，.解得=.從而所求直線方程為15x+5y+16=0.點(diǎn)評(píng)：考查熟練求解直線方程，注意應(yīng)用直線系快速簡(jiǎn)潔解決問(wèn)題。變式訓(xùn)練求經(jīng)過(guò)兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點(diǎn)，且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程例4 求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m-1)x+(

9、m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).思路解析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m，給m任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程.要證明這個(gè)直線系中的直線都過(guò)一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過(guò)的定點(diǎn).另一個(gè)思路是：由于方程對(duì)任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo).解：解法一：對(duì)于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=

10、1，得x+4y+10=0.解方程組得兩條直線的交點(diǎn)為(2，-3).將點(diǎn)(2，-3)代入已知直線方程左邊，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0. 這表明不論m為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，-3). 解法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 由于m的取值的任意性，有解得所以所給直線不論m取什么實(shí)數(shù)，均經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，-3)點(diǎn)評(píng) 含參直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解題思路有二：一是曲線過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)；二是分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)

11、，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為所求定點(diǎn) 變式訓(xùn)練 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a-1)x-y+2a+1=0經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是（ ）A.(2,3) B.(-2,3)C.(1,) D.(-2,0)解析：直線方程可化為a(x+2)-x-y+1=0,由定點(diǎn)（-2，3）.答案：B課堂小結(jié) 本節(jié)課通過(guò)討論兩直線方程聯(lián)立方程組來(lái)研究?jī)芍本€的位置關(guān)系，得出了方程系數(shù)比的關(guān)系與直線位置關(guān)系的聯(lián)系.培養(yǎng)了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對(duì)立關(guān)系，并且會(huì)通過(guò)直線方程系數(shù)判定解的情況，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).當(dāng)兩條直線相交時(shí)，會(huì)求交點(diǎn)坐標(biāo).注

12、意語(yǔ)言表述能力的訓(xùn)練.通過(guò)一般形式的直線方程解的討論，加深對(duì)解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.以“特殊”到“一般”，培養(yǎng)探索事物本質(zhì)屬性的精神，以及運(yùn)動(dòng)變化的相互聯(lián)系的觀點(diǎn). 當(dāng)堂檢測(cè) 導(dǎo)學(xué)案課內(nèi)探究部分【板書設(shè)計(jì)】一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 二、例題例1變式1例2變式2 【作業(yè)布置】課本習(xí)題3.3 A組1、2、3,選做4題.及導(dǎo)學(xué)案課后練習(xí)與提高 3.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3.3.2課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點(diǎn)二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容1、閱讀課本102-104，找出疑惑之處。同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請(qǐng)?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c(diǎn)疑惑內(nèi)容2、知識(shí)

13、概覽兩直線相交,則交點(diǎn)同時(shí)在這兩條直線上,交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是兩直線方程的解,若兩直線的方程組成的方程組只有一個(gè)公共解,則以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是兩直線的交點(diǎn).兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)情況,取決于方程組的解的情況.若方程組有唯一解,則兩直線相交.若方程組無(wú)解,則兩直線平行.若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解,則兩直線重合.3、思考 當(dāng)變化時(shí)，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？3 提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請(qǐng)?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c(diǎn)疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握判斷兩條直線相交的方法，會(huì)通過(guò)解方程組求兩條直線的

14、交點(diǎn)坐標(biāo)；2. 了解過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程的問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn):根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn):對(duì)方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關(guān)系對(duì)應(yīng)情況的理解.二、學(xué)習(xí)過(guò)程自主學(xué)習(xí)【知識(shí)點(diǎn)一】、兩條直線的交點(diǎn)如果兩條直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)分別適合兩條直線的方程，即（ ); 把兩條直線的方程組成方程組，若方程組有( )解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組( )，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有( )，則兩條直線有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線重合.【知識(shí)點(diǎn)二】、直線系方程 具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，表示直線系的方程叫做直線系方程.

15、方程的特點(diǎn)是除含坐標(biāo)變量x、y以外，還含有待定系數(shù)(也稱參變量).(1)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0，其中是待定系數(shù).在這個(gè)方程中，無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直線l2.(2)平行直線系：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是( )，是參變量.(3)垂直直線系方程：與Ax+By+C=0(A0，B0)垂直的直線系方程是( )(4)特殊平行線與過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線系：當(dāng)斜率k一定而m變動(dòng)時(shí)，( )表示斜率為k的平行線系，( )表

16、示過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線系(不含直線x=x0).問(wèn)題 設(shè)兩條直線的方程為l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果這兩條直線相交，你能分析它們的系數(shù)滿足什么關(guān)系嗎？探究:我們可以先解由兩直線方程聯(lián)立的方程組×B2-×B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0. 當(dāng)A1B2-A2B10時(shí)，得x=；再由×A2-×A1，當(dāng)A1B2-A2B10時(shí)，可得y=.因此，當(dāng)A1B2-A2B10時(shí)，方程組有唯一一組解x、y. 這時(shí)兩條直線相交，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是(x，y).因此這兩條直線相交時(shí)，系數(shù)滿足的關(guān)系為A1B2-A2B10.

17、精講點(diǎn)撥例1 求下列兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.變式訓(xùn)練求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)以下兩條直線的交點(diǎn)的直線方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.例2 判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 變式訓(xùn)練 判定下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，則求交點(diǎn).(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l

18、1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.問(wèn)題 當(dāng)變化時(shí)，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？例3 求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.變式訓(xùn)練求經(jīng)過(guò)兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點(diǎn)，且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程.例4 求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).變式訓(xùn)練 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a-1)x-y+2a+1=0經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是（ ）A.(2,3) B.(-2,3)C.(1,) D.(-2,0)

19、反思總結(jié) 1. 兩條直線的交點(diǎn)。直線相交的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問(wèn)題,且解的個(gè)數(shù)決定兩條直線的位置關(guān)系.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的就是兩直線方程所組成方程組的解.2. 直線系方程。如果在求直線方程的問(wèn)題中,有一個(gè)已知條件,另一個(gè)條件待定時(shí),可選用直線系方程來(lái)求解. 當(dāng)堂檢測(cè)1.兩條直線l1:2x+3y-m=0與l2:x-my+12=0的交點(diǎn)在y軸上，那么m的值為( )A.-24 B.6 C.±6 D.以上答案均不對(duì)2.無(wú)論k為何值，直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為( )A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)3.求經(jīng)過(guò)兩條

20、直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點(diǎn)，且與直線2x-y-1=0平行直線方程. 參考答案1.解析:l1:2x+3y-m=0在y軸上的截距為，l2:x-my+12=0在y軸上的截距為，根據(jù)兩直線的交點(diǎn)在y軸上得m=±6.答案：C2.思路解析:直線方程展開按是否含參數(shù)k合并同類項(xiàng),得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，由直線系方程,知此直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)，即為解得交點(diǎn)為(3,-1).3.解析:由l1與l2的交點(diǎn)為（1，3）.(1)解法一：設(shè)與直線2x-y-1=0平行的直線為2x-y+c=0，則2-3+c=0，c=1.所求直線方程為2x-y+1=0.解法二：所求直線的斜率

21、k=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），所求直線方程為y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0. 課后鞏固練習(xí)與提高知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.拓展提升1.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直，垂足為(1,p)，則m-n+p為（ ）A.24 B.20 C.0 D.-42.已知點(diǎn)P(-1,0),Q(1,0)，直線y=-2x+b與線段PQ相交，則b的取值范圍是（ ）A.-2,2 B.-1,1 C.-, D.0,23.三條直線x+y=2、x-y=0、x+ay=3構(gòu)成三角形，求a的取值范圍.4. 已知兩直線l1:x+my+6=0，l2：(m2)x3y2m=0，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2：相交；平行；重合；垂直.5.三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0構(gòu)成三角形的條件是什么？ (2)由可得直線x+y=2和直線x-y=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).若三線共點(diǎn)，則點(diǎn)(1，1)在直線