高三數(shù)學(xué)下9.8距離2教案

1、課 題：9 8距離 (二)教學(xué)目的：1.了解異面直線的公垂線、公垂線段的定義；2. 掌握異面直線的距離的概念，并會(huì)解決距離的問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：兩條異面直線的距離教學(xué)難點(diǎn)：簡(jiǎn)單與復(fù)雜之間的轉(zhuǎn)化，空間與平面之間的轉(zhuǎn)化授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 1.點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離即：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離）結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短2.直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做

2、這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離)3兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段：（1）兩個(gè)平面的公垂線：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線（2）兩個(gè)平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段（3）兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個(gè)平行平面間的線段長(zhǎng)4兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離二、講解新課：1 異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線2公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線證明：設(shè)是兩條異面直線在上任取一點(diǎn)，過(guò)引，設(shè) 確定平面，則在上任取一點(diǎn)，過(guò)引，

3、垂足為，設(shè)確定的平面與平面相交于直線，相交于點(diǎn)，在內(nèi)作，交于點(diǎn)，則，又，的公垂線段，如果還有直線也是的公垂線，則于是，即共面，這與是兩條異面直線矛盾，所以，兩條異面直線的公垂線只有一條3兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；4公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條；5兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度說(shuō)明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過(guò)另一條直線且與這條直線平行的平面的距離6.用向量法求距離的公式：異面直線之間的距離：，其中。直線與平

4、面之間的距離：，其中。是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中。是平面的法向量。點(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。點(diǎn)A到直線的距離： ，其中，是直線的方向向量。兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量。三、講解范例（異面直線間距離的求法）例1 如圖已知是兩條異面直線，所成的角為，點(diǎn)分別在直線上，線段是公垂線段，且，求線段的長(zhǎng)解：或，所以，說(shuō)明：（1）由上例：的長(zhǎng)是異面直線上任意兩點(diǎn)的距離，的長(zhǎng)是異面直線的距離；（2）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)的運(yùn)算中取例2已知是所在平面外的一點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，（1）求證：是的公垂線；（2）當(dāng)成角時(shí)，求間的距離解：（1）連結(jié)， ，的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，同理：，是和

5、的公垂線（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，分別是和的中點(diǎn)，是異面直線所成的角，即，且可得：，即間的距離為例3如圖直二面角中，兩點(diǎn)分別在平面內(nèi)，與平面所成的角分別是和，求兩點(diǎn)在棱上的射影間的距離解：作于，于，連結(jié)，二面角是直二面角，平面平面，分別是在平面內(nèi)的射影，分別是與平面所成的角，即兩點(diǎn)在棱上的射影間的距離為四、課堂練習(xí)：1已知正方體的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離解：（1）解法一：延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)， ，連結(jié)，則，又是的中點(diǎn)，是異面直線和的公垂線（2）由（1）知，解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算證明（略）引申：求與間的距離解法一：（轉(zhuǎn)化為到過(guò)且與平行的平面的距離）連結(jié)，則/，/平面，連，可證得，平面，平面平面，且兩平面的交線為，過(guò)作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離，在中，（解法二）：坐標(biāo)法：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（解法一）求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，在平面上，即，解得：，解法三：直接求與間的距離設(shè)與的公垂線為，且，設(shè)，設(shè)，則，同理，解得：，五、小結(jié) ：異面直線的距離的概念；異面直線的距離的求法：找出垂線段并證明，求垂線段的長(zhǎng)；距離的求法：（1）向量；（2）坐標(biāo)公式；（3）解三角形 點(diǎn)到面的距離的概念及求法（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距）； 直線到與它平行的平面