點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用

1、.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程一、公式的導(dǎo)出設(shè)點(diǎn) P(x, y)為已知直線 l : Ax By C0外一點(diǎn)，如何求它到該直000線的距離？解：設(shè)過點(diǎn) P0且與已知直線 l垂直的直線為 l /，垂足為 D (x, y),點(diǎn) P0 到 l 的距離為 d，則 dP0D.yP0l : AxByC0dD0xl /由 AxByC0k lA,B又因?yàn)?l /l ，所以， kl /B ;A代入點(diǎn)斜式，得：yy 0B ( xx 0 ),A即， BxAyAy 0Bx 00,由AxByC0，得：BxAyAy 0Bx 00，xB 2 x 0ABy 0AC ， yA 2 y0ABx 0BC ;A 2B 2A 2B 2x

2、 x0A ( Ax 0By 0C ) ， yy 0B ( Ax 0By 0 C )，A 2B 2A 2B 2d( x x 0 ) 2( yy 0 ) 2'.A( Ax02B( Ax02By0 C )By0 C )A 2B 2A 2B 2( Ax 0By0C ) 2A 2B 2Ax0By 0CA 2B 2.即，直線外一已知點(diǎn)P0 到已知直線 l 的距離公式為：Ax0By0CdB2.A2二、公式的應(yīng)用（一）求點(diǎn)到直線的距離：例 1、 求點(diǎn) P（ 1，2）到下列直線的距離： 3x4 y50 ；3x5 ；y1.分析：應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)應(yīng)該把直線方程化為一般式解 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得

3、 ：3(1)42 56d4) 2.32(5 將直線方程化為一般式，得：3x 5 0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 ：3(1)0258d.32023 將直線方程化為一般式，得： y10.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 ：0(1)121d3.2201評(píng)析：當(dāng)已知直線與x(或 y)軸平行時(shí)，用幾何意義來解會(huì)更簡(jiǎn)潔'.（二）求兩平行直線間的距離：例 2、 求兩平行直線2x3 y60和2x3y40之間的距離分析：因?yàn)閮善叫兄本€間的距離處處相等，所以，我們可以在其中的某條直線上任取一點(diǎn)P（一般是取其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)） ，則兩平行直線間的距離即為點(diǎn)P 到另外那條直線的距離解：在直線 2x3y40上取其與 x

4、軸的交點(diǎn) P（2，0），則：223061013 d22( 3)213（三）證明兩平行直線 x ByC10與 xBy C0的距離為：dC1C2A2B2證明：如圖所示，設(shè) Px, y2l,過點(diǎn) P 向 l 作垂線，垂足為 D,22221則，垂線段 P2 D的長即為兩平行線間的 距離 d.由點(diǎn)到直線的距離公式,得 : yAx2By2C1P2l2 : Ax By C 2 0dA2B 2d: Ax By C10Ax2By2C20,l1Ax2By2C2 ,0DC1C2,dA2B2x即,原命題成立 .三、課堂練習(xí)1、求點(diǎn)（ 2,1）到直線 3x4 y50 的距離'.2、求點(diǎn)（ 1,-2）到直線 xy 3的距離3、求直線 2 x 4 y7 0 和直線 x2y 6之間的距離附答案： 1、 d7；2、 d0 ；3、 d195510四、課后練習(xí)1、求下列點(diǎn)到直線的距離： A( 3，2)，3x 4 y 120 ； B(1，1)，3x y3 0 ； C ( 1,2)， x y 02、求下列各平行線間距離： 2x3y60與2 x3y160 ； 3x 2y 4 0與3x 2y 2 03、在 y 軸上，求與直線 y1 x的距離等于 10的點(diǎn)3附答案： 1、11