第章薄板的小撓度彎曲問題

1、第十二章 薄板的小撓度彎曲問題知識(shí)點(diǎn)薄板的基本概念 薄板的位移與應(yīng)變分量 薄板廣義力 薄板小撓度彎曲問題基本方程 薄板自由邊界條件的簡化 薄板的萊維解 矩形簡支薄板的撓度基爾霍夫假設(shè)薄板應(yīng)力 廣義位移與薄板的平衡 薄板的典型邊界條件 薄板自由邊界角點(diǎn)邊界條件 撓度函數(shù)的分解一、內(nèi)容介紹薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件， 它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面 所圍成的物體，幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸，簡稱板 .薄板的彎曲變形屬 于彈性力學(xué)空間問題， 由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性， 因此，需要首先建立應(yīng)力和變形 分布的基本假設(shè)。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬 度，可以忽

2、略一些次要因素， 引入一些基本變形假設(shè)， 抽象建立薄板彎曲的力學(xué) 模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的 .根據(jù)基爾霍夫假設(shè) ,采用位移解法， 就是以撓度函數(shù)作為基本未知量求解。 因 此，首先將薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力用撓度函數(shù)表達(dá) .然后根據(jù)薄板單元體的平 衡，建立撓度函數(shù)表達(dá)到平衡方程。對(duì)于薄板問題，邊界條件的處理與彈性力學(xué)平面等問題有所不同 ,典型形式有 幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。、重點(diǎn)1、基爾霍夫假設(shè)； 2、薄板的應(yīng)力、廣義力和廣義位移； 3、薄板小 撓度彎曲問題的基本方程； 4、薄板的典型邊界條件及其簡化。§12.1 薄板的基本概念和基本假設(shè)學(xué)習(xí)要點(diǎn)

3、：本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設(shè).薄板主要幾何特征是板的中面和厚度。首先，根據(jù)幾何尺寸 ，定義薄板為0。 5</b>1/80,并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題 對(duì)于小撓度薄板 在橫向載荷作用下，將主要產(chǎn)生彎曲變形。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬 度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué) 模型薄板的小撓度彎曲理論是由三個(gè)基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析.實(shí)踐證明是完全正確的.

4、學(xué)習(xí)思路：1、薄板基本概念；2、基爾霍夫假設(shè)1、薄板基本概念薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件， 它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面 所圍成的物體，幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸，簡稱板薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此，需要 首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。薄板的上下兩個(gè)平行面稱為板面，垂直于平行面的柱面稱為板邊，如圖所示。 兩個(gè)平行面之間的距離稱為板厚，用表示.平分板厚的平面稱為板的中面。設(shè)薄板寬度為a、b，假如板的最小特征尺寸為 b，如果b>1/5,稱為厚板；如果/bwi/80,稱為膜板；如果1/80W /bwi/5，稱為薄板。厚板屬于彈性力學(xué)空 間問題，

5、而膜板只能承受膜平面內(nèi)部的張力，因此，板的彎曲問題主要是薄板。如果薄板的外載荷作用于板的中面，而且不發(fā)生失穩(wěn)問題時(shí)，屬于平面應(yīng)力問 題討論.如果外載荷為垂直于板的中面作用的橫向載荷，則板主要變形為彎曲變形。中 面在薄板彎曲時(shí)變形成為曲面，中面沿垂直方向，即橫向位移稱為撓度。對(duì)于薄板，仍然有相當(dāng)?shù)膹澢鷦偠龋绻麚隙刃∮诤穸鹊奈宸种?，屬于小?度問題;如果超過這個(gè)界限，屬于大變形問題。本章只討論薄板的小撓度彎曲問題。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬 度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué) 模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個(gè)基本假設(shè)

6、作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè) 2、基爾霍夫假設(shè)薄板的小撓度彎曲理論是由三個(gè)基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。設(shè)中面為xy平面，則1、變形前垂直于中面的直線變形后仍然保持直線 ，而且長度不變。這相當(dāng)于 梁的彎曲變形平面假設(shè)，如圖所示2、 垂直于中面方向的應(yīng)力分量z, zx, zy遠(yuǎn)小于其他應(yīng)力分量，其引起的變 形可以不計(jì)，但是對(duì)于維持平衡是必要的，這相當(dāng)于梁的彎曲無擠壓應(yīng)力假設(shè)3、 薄板彎曲時(shí)，中面各點(diǎn)只有垂直中面的位移 W,沒有平行中面的位移，即uz=o=O， vz=o=O， w=w（ x, y）w

7、（x， y）稱根據(jù)這一假設(shè)，板的中面將沒有變形發(fā)生。板的中面位移函數(shù)為撓度函數(shù)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析，實(shí)踐證明是完全正確的根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù) w(x, y).下面的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x, y)表達(dá)薄板內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度 函數(shù)所要滿足的微分方程。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解屬于位移解法。§2.2薄板小撓度彎曲問題的基本方程學(xué)習(xí)要點(diǎn)：根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x, y)

8、。因此,薄板的小撓度彎曲問題求解采用位移解法。本節(jié)的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程 ，用撓度函數(shù)w(x, y) 表達(dá)薄板內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平 衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。分析中應(yīng)該注意，根據(jù)基本假設(shè)，與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對(duì)應(yīng) 的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是忽略不計(jì)的。但是應(yīng)該注意這些應(yīng)力分量對(duì)于平衡的影 響必須考慮。通過分析可以得到薄板問題的廣義力和對(duì)應(yīng)的廣義位移.根據(jù)單元體的平衡， 可以得到關(guān)于廣義力和廣義位移的關(guān)系式。然后將其描述為撓度函數(shù)表達(dá)的薄板 基本方程。學(xué)習(xí)思路：1、位移與應(yīng)變分量；2、應(yīng)力分量；3、廣義力；4、廣義位

9、移與平衡 關(guān)系；5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程。1、薄板位移和應(yīng)變分量根據(jù)薄板彎曲的第一個(gè)假設(shè)，則幾何方程為du敗0v卽dw3玄4二；=4砂=0根據(jù)幾何方程的第3式，則:從而w=w（x, y）。薄板厚度方向的位移與z坐標(biāo)無關(guān)，可以應(yīng)用板的中面位移表達(dá)板的撓度。根據(jù)幾何方程的5，6式，有duSz Sy對(duì)z積分，可得91="-亍皿兀必滬“心）注意到第3個(gè)假設(shè)，uz=o=0，血=o=O，因此f （x，y）= g（x，y）=0，所以加dwu -z, v 龍Sr上述分析將位移分量通過撓度函數(shù) w（x， y）表示。根據(jù)幾何方程可以得到撓度函數(shù)表達(dá)的應(yīng)變分量。有加一氐加一卽加 - -aS上式表明

10、，薄板的彎曲應(yīng)變是沿厚度線性分布的， 在板的中面為零，上下板面處 達(dá)到極值。2、薄板的應(yīng)力分量根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，本構(gòu)方程簡化為代入應(yīng)變表達(dá)式加一必加¥加一一 一一a3w嚴(yán)_2注3y &x 8x3y薄板小撓度彎曲問題的正應(yīng)力和切應(yīng)力沿厚度也是線性分布的?；炯僭O(shè)中的z= zx= zy= 0,與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是不計(jì)的。應(yīng)該注意的問題是，這些應(yīng)力分量相對(duì)于其它應(yīng)力 分量產(chǎn)生的變形可以不計(jì)，但是對(duì)于平衡的影響必須考慮。這里必須放棄物理方 程中關(guān)于的z= zx= zy= 0的結(jié)論，而要求z = ( x+ y)工；zxM zyO。由于不計(jì)xz, y

11、z,所以xz= yz= 0,根據(jù)幾何方程，當(dāng)然必須放棄物理方程中 關(guān)于的xz和yz的部分，即要xz= yz= 0,而xz, yz又不等于0。3、廣義力對(duì)于矩形薄板，采用圖示坐標(biāo)系.如果從薄板中選取一個(gè)微小單元體 dxdy,單元體在Oxy平面的投影為矩形abed，單元體上部有橫向載荷qdxdy,底面為自由表面。其中外法線與x軸平行的的側(cè)面有應(yīng)力分量 x， xz， xy,根據(jù)公式-Ez aS 護(hù)尺去卄歹)-Ez 3sw幻二(訂 + y日1 - v dy dx 丁 _ - Ez 3%G 1-v1 SxSy可以知道，應(yīng)力分量x， xz， xy均以中面為對(duì)稱面而反對(duì)稱分布。這些應(yīng)力分量將分別組成合成彎矩

12、Mx,扭矩My和橫向剪力F*,如圖所示如果用Mx,My和F*分別單位長度的彎矩，扭矩和橫向剪力。則同理，討論外法線與x軸平行的的側(cè)面,有%窮砥M廠J W血叫二二J 6血忌二J血F面設(shè)法將上述內(nèi)力用撓度函數(shù)w （x, y）表示.將應(yīng)力表達(dá)式-Ez丄護(hù)叭6二兀(r+訐)'1- pa鯽-Ezav -、(.+ r J丿1-計(jì)加丿-EzTG 2敢3y代入上述內(nèi)力分量表達(dá)式，有35 滬叭，-ES3討1V心陽石（麗其中12(1-i/2)+1/上述內(nèi)力Mx, My, Myy和Fsx和F®稱為廣義力。分別作用于單元體的側(cè)面邊界 如圖所示4、廣義位移與平衡關(guān)系上述廣義力對(duì)應(yīng)的廣義應(yīng)變?yōu)?2W護(hù)W

13、x - 2A&x:dyx是薄板中面在與Oxz平面平行的平面內(nèi)的曲率，曲率取負(fù)號(hào)是由于撓曲面d2w凸面向下為正曲率，而對(duì)應(yīng)的撓度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一.為負(fù)值。kxy稱為中面對(duì)于x，y軸的扭率。利用廣義應(yīng)變，可以將廣義力表示為辺=D（心+叫）My 二 D（勺 + 叫）陸r 二（I -考慮單元體的平衡則乞甌二0,工曬丸，工瓦屯 廣0,工你7 工丘丸如果討論M啟二0,即繞x軸的力矩之和等于零?？紤]單元體內(nèi)力對(duì)于角點(diǎn)的 力矩平衡，有cc"卽收2整理并且略去高階小量，有dMx +dy5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程同理，根據(jù)二i； "，有根據(jù)，可以得到(fcdy +dx 涉 + g

14、dxdy 二 0dxSfy簡化并且略去高階小量，有嚴(yán)和門 卽 逹將公式代入上式，并且注意到 Mxy=Myx，有攀+ 2篇十甞一今將撓度函數(shù)w(x, y)代入上式，則為拉普拉斯算符。公式或者寫作二*就是薄板小撓度彎曲問題的基本方程。從而，問題歸結(jié)為在滿足邊界條件的基礎(chǔ)上求解基本方程，確定撓度函數(shù);然后根據(jù)公式計(jì)算廣義力彎矩和扭矩；再根據(jù)公式-Ez護(hù)1(冇訐日 1- p卽-滬叭(+ v)1-1/八肝 &c“-Ez 8aw1-v2 dxdy確定薄板應(yīng)力分量。§12。3薄板邊界條件學(xué)習(xí)要點(diǎn)：薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于薄板基本方程為一個(gè)四階偏微分方程，因此對(duì)

15、于矩形薄板，每個(gè)邊界必須給出兩個(gè)邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式可以分為幾何邊界條件、面力邊界條件和混合邊界條件。分別對(duì)應(yīng)薄板的固定邊界、自由邊界和簡支邊界約束。由于薄板彎曲問題應(yīng)用位移解法，因此，本節(jié)對(duì)于不同的邊界約束，推導(dǎo)邊界 條件的撓度函數(shù)表達(dá)形式。應(yīng)該注意的自由邊界條件，由于自由邊界屬于面力邊界，因此轉(zhuǎn)換為位移邊 界條件時(shí)并不是完全獨(dú)立的，必須作進(jìn)一步的簡化 ，特別是兩個(gè)自由邊界角點(diǎn)的 約束變換。學(xué)習(xí)思路：1、典型邊界條件形式；2、自由邊界條件1、典型邊界條件形式薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件由于方程_ 1為一個(gè)四階偏微分方程，因此對(duì)于矩形薄板，每個(gè)邊界必須給

16、出兩 個(gè)邊界條件薄板彎曲問題的典型邊界條件形式為w和邊界切線方向轉(zhuǎn)角，t1、幾何邊界條件：就是在邊界上給定邊界撓度 為邊界切線方向2、面力邊界條件：在邊界給定橫向剪力和彎矩 3、混合邊界條件。在邊界同時(shí)給出廣義力和廣義位移 以下討論常見的邊界支承形式和對(duì)應(yīng)的邊界條件：、固定邊界對(duì)于固定邊界，如圖所示顯然有邊界撓度和轉(zhuǎn)角均為零的幾何條件。因此，在x=0邊界，有W二 0=0、簡支邊界薄板在簡支邊界，不能有撓度，但是可以有微小的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此邊界條件為撓 度為零和彎矩為零，屬于混合邊界條件。在x=0邊界，有由于同時(shí)在邊界x=0，有空二寫二0卽鏟所以邊界條/0=0h=o耳=0件可以寫作自由邊界對(duì)于自由邊界

17、在x=0邊界，有上式給出了 3個(gè)面力邊界條件，進(jìn)一步分析可以證明，這 3個(gè)面力邊界條件 并不是獨(dú)立的。其中扭矩可以用等效剪力來表示。作用在x=a邊界上長度為dy的微單元體上的扭矩可以用兩個(gè)大小相等，方 向相反，相距的垂直剪力取代顯然這種代換是靜力等效的根據(jù)圣維南原理，代換的影響僅僅是局部的因此，代換后，兩個(gè)微小單元之間增加一個(gè)集度為的剪力因此邊界x=a自由邊界，總的分布剪力為因此,邊界條件可以改寫作+ p1 _ =0a? 餌護(hù)丄"1n應(yīng)該指出，如果相鄰的兩個(gè)邊界都是自由邊界 ，則扭矩用上述剪力等效替代時(shí)， 在兩個(gè)邊界的角點(diǎn)將會(huì)出現(xiàn)沒有抵消的集中剪力 FSR，如果邊界角點(diǎn)受到支承, 這

18、個(gè)集中剪力就是支座對(duì)于薄板的角點(diǎn)的集中反力，如圖所示耳駕二2叭；v°処有對(duì)于懸空的角點(diǎn)，由于邊界角點(diǎn) B處于自由狀態(tài)，因此有根據(jù)公式二 03% dxdy ”電此時(shí)，支座反力可以根據(jù)公式算。如果在角點(diǎn)有支座，而且撓度被阻止發(fā)生，有§12。4矩形薄板的經(jīng)典解法學(xué)習(xí)要點(diǎn)：本節(jié)以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。問題求解的方法比較多，本節(jié)介紹分離變量法這種方法采用無窮級(jí)數(shù)形式求 解，在一般條件下，級(jí)數(shù)的收斂很快。求解的方法是根據(jù)薄板變形，首先將撓度函數(shù)寫作坐標(biāo) x和y的函數(shù)乘積形式。然后將撓度函數(shù)分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應(yīng)用邊界條件確定。學(xué)習(xí)思路

19、:1、邊界條件與撓度函數(shù)形式；2、撓度函數(shù)的分解；3、基本方程 的齊次解和特解；4、薄板的撓度和最大撓度。1、邊界條件與撓度函數(shù)形式下面以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法設(shè)矩形薄板邊 長分別為a和b，受均勻分布橫向載荷q （x，y）作用，如圖所示薄板的邊界條件為因此，問題的求解歸結(jié)為在滿足上述邊界條件求解基本方程勺7二g匕刃薄板彎曲問題求解的方法比較多，以下介紹應(yīng)用最廣泛的分離變量法。這種方法 采用無窮級(jí)數(shù)形式求解，在一般條件下，級(jí)數(shù)的收斂很快。對(duì)于直角坐標(biāo)，最為 方便的是萊維（L <Vy M ）解.設(shè)w-l盤其中Ym (y)是坐標(biāo)y的函數(shù).由于x=0和x=a為簡支邊界，

20、因此上述撓度函數(shù)是滿足簡支邊界條件的。問題是如何使得撓度函數(shù)的每一項(xiàng)都滿足二:tb/的邊界條件.2、撓度函數(shù)的分解由于問題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡化分析，設(shè)W=W1+W2其中W1和W2分別為基本方程的齊次解和特解。因此y吟二oDV 呻見二 g(“)由于W1為基本方程的齊次解，與載荷無關(guān)，而W1+W2必須滿足全部邊界條件，因 此將W1取為級(jí)數(shù)形式.并且考慮其對(duì)稱性，應(yīng)該取奇數(shù)，即f (即-2啤呼+啤in吧=0斫IXEC?由于上式對(duì)于所有的x均成立,所以方程的通解形式為打二理(4跡h竺+耳竺血h竺血h竺+戈竺連h竺與 Daaaaaa由于薄板彎曲關(guān)于x坐標(biāo)軸是對(duì)稱的，所以Ym (y)只能是y的偶函數(shù)。所以Cm=Dm=0因此由于對(duì)稱性條件的應(yīng)用，在'亠的兩個(gè)邊界上，原為4個(gè)邊界條