非正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

1、(三)非正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于非正態(tài)總體，抽樣分布不容易求得，而且分位數(shù)難以查 到，因此一般我們采用人樣本方法，主要是利用屮心極限疋 理，對(duì)于指數(shù)分布的總體除外。非正態(tài)總體均值檢驗(yàn)的大樣本方法設(shè)XX2,X”是總體X的樣本總體均值為E(X)= /,方差V(X) = O-2檢驗(yàn)假設(shè)：H ° : “ = “()，H1 : “ H “()由中心極限定理可知：卡一； N (0,1)a / yn在總休方差已知和未知兩種情形下檢驗(yàn)假設(shè)H 0 ： “ = “0(1) 總體方差已知:檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U二 N (0,1)(在成立的條件下) 給定顯著水平a,拒絕域?yàn)樨? -隹* «%/J” V&#

2、187; (2) 總體方差未知：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)臺(tái)廠=%二/v (0,1)(在成立的條件下) S / y/n給定顯著水平a,拒絕域?yàn)?X二隹 > “s /yjn心一 1)注:(1)如果是正態(tài)總體,殛一 “°S / V7(2)如果是單側(cè)檢驗(yàn),即備擇假設(shè)為 比：或者“v“。 在方差已知的情形下，相應(yīng)的拒絕域?yàn)榉讲钗粗樾蔚木芙^域?qū)⒎讲钜阎獣r(shí)的總體標(biāo)準(zhǔn)差史換為樣 本標(biāo)味差即可C1、0 1分布總體均值檢驗(yàn)總體Xb(l,p)(或者3(1, p),即PX = 1 = ”，PX = 0 = 1 - 0,0 v p < I檢驗(yàn)假設(shè)HQ : p = Pq, H : P工pQ總體均值E(X)= p,

3、方差V(X)= p(l- p)X X, b(n, P),但是二項(xiàng)分布的分位數(shù)不易計(jì)算，我們 衆(zhòng)用大樣本方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為U =.° =, UW（0、l）>/Po（l 一 Po）/Z?檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?. 普阿松分布總體的均值檢驗(yàn)設(shè) X P(2),檢驗(yàn) H。:2 = 20E(X) = V(X)= 2,所以可取統(tǒng)計(jì)量為X - 2(X - 2U =匚_I 也可取 U = /="/力lx In這兩個(gè)統(tǒng)汁量在假設(shè)H行都近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。C相應(yīng)的拒絕域?yàn)閁 >u aI F指數(shù)總體均值的檢驗(yàn)設(shè)X E"),密度函數(shù)f(x) = e0, x < 0I -1 -Z

4、/°山>°z2(«)分布的密度函數(shù)/(x)=22r "l2丿 0,x < 02AX z2(2), XXpX”是樣木，則有22工 X( = 2nAX %2n)z-i則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為z，= 2/20Fz2(2/)(在假設(shè)成立下) _r所以檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?nX > %1 a >U£ 2必°X <力；IITJ(四)檢驗(yàn)的實(shí)際意義和兩類錯(cuò)誤在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平Q起什么作用，有何實(shí)際意義？ 給定顯著性水平，檢驗(yàn)方法是否唯一？又是不是最優(yōu)的？最 優(yōu)準(zhǔn)則是什么？檢驗(yàn)的實(shí)際意義1、檢驗(yàn)的原理：小概率事件在一次試驗(yàn)屮不可能

5、發(fā)生，如 果發(fā)生了，則拒絕原假設(shè)Ho,否則接受原假設(shè)。這個(gè)原理只是在概率意義下成立，并不是嚴(yán)格成立，即不能 說(shuō)小概率事件在一次試驗(yàn)屮絕對(duì)不可能發(fā)生，所以在假設(shè)檢 驗(yàn)作出拒絕原假設(shè)或者接受原假設(shè)的判斷可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。2>在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)I%和備擇（備選）假設(shè)的地位不對(duì)等。一般顯著性水平Q較小，所以作出的判斷是'偏向原假設(shè) 的。因?yàn)樗７穸ㄔ僭O(shè)，需要有顯著性的事實(shí)，即小概率事 件發(fā)生，否則接受原假設(shè)。在檢驗(yàn)中接受原假設(shè)，并不等于 從邏輯上證明了原假設(shè)成立，而是找不到原假設(shè)不成立的有 力證據(jù)。例：_設(shè)總體XNg）,樣本均值方=0.5,樣本容量川=1, 顯著性水平« = 0

6、.05,檢驗(yàn)“ =0還是“ =1 兩種提出假設(shè)的方法：（1）H°:“ = O,= l（2）H0 :/ = !,: / = 0對(duì)于第（1）中捉法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)最口=耳一9=0.51檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閁 > %一,“一 = “0.9, = 164、而U = 0.5 <1.645,則接受原假設(shè)，即認(rèn)為“ =00 5-1對(duì)于第（2）中提法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U =-0.51檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?quot; < ua,ua = UQO5 =-1.645U =-0.5 > 1.645,則接受原假設(shè)，即認(rèn)為/ = !對(duì)于以上兩種提法，在同一顯著性水平下，作出了截然 不同的判斷。這種矛盾現(xiàn)彖可以解

7、釋為試驗(yàn)結(jié)果既不否定 “ =0也不否定“ =1,那么應(yīng)認(rèn)為“二0還是“ =1,則要看 '保護(hù)'誰(shuí)，所以原假設(shè)的提法至關(guān)重要。在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)是受保護(hù)的，受保護(hù)的程度取決于顯 著性水平a, a越小，以c(為概率的小概率事件就越難發(fā) 生，則原假設(shè)H。就越難被拒絕，所以在應(yīng)用中，要川假設(shè)* 驗(yàn)說(shuō)明某個(gè)結(jié)論，則一般設(shè)H。為該結(jié)論不成立，即把該結(jié)論 作為備擇假設(shè)。如果檢驗(yàn)作出的判斷拒絕原假設(shè)H。，則認(rèn)為 某個(gè)結(jié)論顯著成立。這種方法類似于數(shù)學(xué)證明中的反證法， 但是兩者不同，假設(shè)檢驗(yàn)是在概率意義下作出判斷，而反證 法則是在確定意義下作出判斷。檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤是實(shí)際上H。成立而作

8、出的判斷是拒絕原假設(shè)，這 類錯(cuò)誤也稱為“拒真”；第二類錯(cuò)誤是實(shí)際上H。不成立而作 出的判斷是接受原假設(shè)，這類錯(cuò)誤也稱為“受偽”我們關(guān)注的繪犯兩類錯(cuò)誤的概率。犯第一類錯(cuò)誤的概率PT e Ba l/0= P(XX2,，X”)e W l/0犯第二類錯(cuò)誤的概率PgP(XPX2,- Xn)&W IH(J注：這里的T是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。由前而拒絕域的構(gòu)造可知犯第一類錯(cuò)誤的概率和顯著性水平 Q之間關(guān)系滿足下面不等式：PT e Ba Hq= P(X|,X2,，x”)e W H 0 < a以下通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明這犯詬類錯(cuò)誤概率之間的關(guān)系。例:設(shè)總體x N (“,已知,X|,X2，X”為樣本，考慮檢驗(yàn)H &

9、#176; : “ =如，比:“=竹> “°的兩類錯(cuò)誤的概率。解:檢驗(yàn)的否定域?yàn)閁 >則犯第一類錯(cuò)誤的概率為尸UH. = a犯第二類錯(cuò)誤的概率為PUIHJ在7成立的條件下，U二X二仙N "匚工,1 bo / V/2、bo znIHJ =“I - “ob。/松由此町見(jiàn)，在樣本容量固定的情況下，要同時(shí)是的兩類錯(cuò)誤的概率都很小很難實(shí)現(xiàn)，內(nèi)為要使第一類 錯(cuò)誤很小，則檢驗(yàn)的否定域應(yīng)取為U > 2|, 2是大于 “一的數(shù)，這樣才能保證PU >2lH0）<a,而兄越人，則第二類錯(cuò)誤的概率PU < 2 I = 0）2叭一 “0越大，因而在樣本容量 定的情

10、況下，我們不可能同時(shí)使犯兩類錯(cuò)誤的概率都達(dá)到最小一股采取控制第一類錯(cuò)誤的概率在某一顯著水平Q內(nèi)，對(duì)于固定的幾使第二類 錯(cuò)誤盡可能小，并II.以此建立評(píng)價(jià)檢驗(yàn)是否最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn).我們可以把兩類錯(cuò)誤的概率用一個(gè)函數(shù)表示，這個(gè)函數(shù)稱為 檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)。定義：設(shè)W為H°（ewO。）的拒絕域，稱市下面式子定義的函數(shù)為 拒絕域?yàn)閣的檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)。也（&）2 W %1 0（O）"）；注：1、檢驗(yàn)水平和勢(shì)函數(shù)Z間的關(guān)系。P0X W<a，當(dāng) e ®0 時(shí)。檢驗(yàn)水平a實(shí)質(zhì)上度量了小概率事件發(fā)生概率小的程度。2、由勢(shì)函數(shù)定義可知：當(dāng)當(dāng)時(shí)，勢(shì)函數(shù)就是犯第一類錯(cuò)誤的概率。當(dāng)0 w G ；時(shí)，1 - g (0) = 0 ( 0)是犯第二類錯(cuò)誤的概率。3、由前而捌子的分析我們知道，在樣木容量固定的情形下， 難以給出一個(gè)檢驗(yàn)方法使得犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小，所 以我們可以尋求增人樣本容量的方法。但是樣本容量不可 能無(wú)限制地增大，所以采取將第一類錯(cuò)誤的概率控制在一 定的水平(檢驗(yàn)水平)內(nèi)，使犯第二類錯(cuò)誤的概率盡可能小。樣本容量的確定:在前而的例子種，所給定的檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率為JLI. - %PU=- 尹I / 5 丿設(shè)檢驗(yàn)水平0