重慶市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題含解析.

1、2018 年重慶一中高2019 級(jí)高二下期半期考試數(shù)學(xué)試題卷（理科）第卷（選擇題，共60 分）一、選擇題：（本大題共12 個(gè)小題 , 每小題 5 分 , 共 60 分） .1.是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為（）A.B.C.1D.-1【答案】 B【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算即可詳解：由題意得故選 B點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于容易題2.極坐標(biāo)方程所表示的圖形是（）A. 橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓【答案】D【解析】分析：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程后再進(jìn)行判斷詳解：，把代入上式可得,即，極坐標(biāo)方程表示的是以（1,0 ）為圓心，半徑為1 的圓故選 D點(diǎn)睛：本題考查

2、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的互化，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行求解3.用數(shù)學(xué)歸納證明：時(shí)，從到時(shí)，左邊應(yīng)添加的式子是（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】 分析：分別求出時(shí)左邊的式子，除以時(shí)左邊的式子，即得結(jié)論.詳解：當(dāng)時(shí)，左邊等于時(shí)左邊的式子， 用時(shí)左邊的式子，當(dāng)時(shí)，左邊等于，故從“”到“”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是，故選 C.點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.4.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值（）A. 0.6B.

3、 0.4C. 0.3D. 0.2【答案】 C【解析】分析：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得正態(tài)曲線的對(duì)稱軸線的特點(diǎn)，得到，從而可得結(jié)果.詳解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)曲，得對(duì)稱軸是，所以，故選 C.點(diǎn)睛：本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運(yùn)算，重點(diǎn)考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對(duì)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運(yùn)算能力.5. 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9 ，現(xiàn)播種了 1000 粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種 2 粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】試題分析：，所以考點(diǎn)：二項(xiàng)分布

4、【方法點(diǎn)睛】一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布（如二項(xiàng)分布X B（ n， p），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X） np）求得 . 因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度.視頻6. 通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn) 100 名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015則有（）以上的把握認(rèn)為“該市民能否做到光盤與性別有關(guān)”，附表及公式0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A. 90%B. 95

5、%C. 99%D. 99.9%【答案】 A【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算 的值，和臨界值表比對(duì)后即可得到答案 . 詳解：將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有的把握認(rèn)為“該市居民能否做到光盤”與性別有關(guān).點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（ 1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（ 2）根據(jù)公式計(jì)算的值； (3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤 . ）7.若，則的值為（）A.2B.0C.-1D.-2【答案】 C【解析】分析：令求得的值，再令得到的值，兩式相減可得所求詳解：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，令，得.令，得.故選 C點(diǎn)

6、睛：因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法8.已知函數(shù)，若 是從 1， 2， 3 中任取的一個(gè)數(shù)，是從 0， 1，2 中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為（）A.B.C.D.【答案】 D【解析】試題分析：將記為橫坐標(biāo)，將記為縱坐標(biāo)，可知總共有9 個(gè)的結(jié)果，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，滿足題中條件為，即，所以滿足條件的基本事件有共 6 個(gè)基本事件，所以所求的概率為，故選 D考點(diǎn)：古典概型9.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)的現(xiàn)場(chǎng)錄制，5 人坐成一排，若小明的父母至少有一人與他相鄰，

7、則不同坐法的總數(shù)為（）A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】 C【解析】根據(jù)題意，可分三種情況討論：若小明的父母只有一人與小明相鄰且父母不相鄰時(shí)，先在其父母中選一人與小明相鄰，有種情況，將小明與選出的家長(zhǎng)看出一個(gè)整體，考慮其順序種情況，當(dāng)父母不相鄰時(shí)，需要將爺爺奶奶進(jìn)行全排列，將整體與另一個(gè)家長(zhǎng)安排在空位中，有種安排方法，此時(shí)有種不同坐法；若小明的父母的只有一人與小明相鄰且父母相鄰時(shí)，將父母及小明看成一個(gè)整體，小明在一端，有種情況，考慮父母之間的順序，有種情況，則這個(gè)整體內(nèi)部有種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有種情況，此時(shí)有種不同坐法；小明的父母都小明相鄰，即小明在中間，父母

8、在兩邊，將 人看成一個(gè)整體，考慮父母的順序，有種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有種情況，此時(shí)，共有種不同坐法；綜上所述，共有種不同的坐法，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了排列、組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意，認(rèn)真審題，進(jìn)行不重不漏的分類討論，本題的解答中，分三種情況：小明的父母中只有一個(gè)人與小明相鄰且父母不相鄰；小明的父母有一個(gè)人與小明相鄰且父母相鄰；小明的父母都與小明相鄰，分別求解每一種情況的排法，即可得到答案。10.重慶一中為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力，組織了一場(chǎng)類似最強(qiáng)大腦的賽，兩隊(duì)各由 4 名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手，除第三局勝者得2 分外，其余各局勝者均得 1 分，每局的負(fù)

9、者得0 分 . 假設(shè)每局比賽隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的概率為（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：分三種情況求解：即A隊(duì) 5分B隊(duì)0分；A隊(duì) 4分B隊(duì)1分；A隊(duì)3分B隊(duì)2分，然后根據(jù)互斥事件的概率公式可得所求詳解：（1） A 隊(duì) 5 分 B 隊(duì) 0 分，即 A 隊(duì)四局全勝，概率為（ 2） A隊(duì) 4 分 B 隊(duì) 1 分，即 A 隊(duì)一、二、四局中敗1 局，第 3 局勝，其概率為.（ 3） A 隊(duì) 3 分 B 隊(duì) 2 分，包括兩種情況：A隊(duì)第 3 局?jǐn)。溆喔骶謩?；A隊(duì)第一、二、四局中勝 1 局，第 3 局勝其概率為由互斥事件的概率加法公式

10、可得所求概率為故選 A點(diǎn)睛：求解概率問(wèn)題時(shí)首先要通過(guò)讀題理解題意，分清所求概率的事件及對(duì)應(yīng)的概率類型，然后選擇相應(yīng)的公式求解求解時(shí)對(duì)于復(fù)雜事件的概率要合理分解為簡(jiǎn)單事件的概率處理，同時(shí)要合理選擇計(jì)數(shù)的方法，使得問(wèn)題的解決順利進(jìn)行11. 將編號(hào) 1， 2， 3， 4 的小球放入編號(hào)為 1， 2， 3 的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號(hào)不能相同，則不同的放球方法有（）A.16種B.12種C.9種D.6種【答案】 B【解析】分析：分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計(jì)數(shù)加法原理求解即可 .詳解：由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球分組為如下情況時(shí)，

11、放球方法有：當(dāng) 1 與 2 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；當(dāng) 1 與 3 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；當(dāng) 1 與 4 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；當(dāng) 2 與 3 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；當(dāng) 2 與 4 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；當(dāng) 3 與 4 號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2 種不同的放法；因此，不同的放球方法有12 種，故選 B.點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用，解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件. 解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺

12、漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.12.已知函數(shù)，對(duì)任意，都存在，使得，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：由題意得設(shè)得到關(guān)于的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)詳解：由得令，則，且，即，令，然后將的最大值可得所求結(jié)果，用 表示出來(lái)，令，則，當(dāng)在時(shí)，上單調(diào)遞減，且單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有最大值，且，即的最大值為故選 A點(diǎn)睛：本題考查恒成立、能成立問(wèn)題，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過(guò)引入?yún)?shù)，將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的問(wèn)題處理，然后利用導(dǎo)數(shù)為工具，求得關(guān)于的函數(shù)的最值，從而得到所求的最值第卷（非選擇題，共90 分）二、填空題（本大題共4 個(gè)小題，每小題5 分，共 20分）各題答案必須填寫在答題

13、卡相應(yīng)的位置13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 _ 【答案】 60【解析】分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為 ，從而可求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng) .詳解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為 .點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題. 二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（ 2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（ 3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用 .14. 甲、乙、丙三名同學(xué)參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績(jī)采用

14、等級(jí)制（分為三個(gè)層次），得 的同學(xué)直接進(jìn)入第二輪考試. 從評(píng)委處得知，三外同學(xué)中只有一人獲得.三名同學(xué)預(yù)測(cè)誰(shuí)能直接進(jìn)入第二輪比賽如下：甲說(shuō)：看丙的狀態(tài)，他只能得或 ；乙說(shuō)：我肯定得；丙說(shuō)：今天我的確沒(méi)有發(fā)揮說(shuō)，我贊同甲的預(yù)測(cè).事實(shí)證明：在這三名同學(xué)中，只有一人的預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，那么得的同學(xué)是 _ 【答案】甲【解析】若得的同學(xué)是甲，則甲、丙預(yù)測(cè)都準(zhǔn)確，乙預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，符合題意；若得的同學(xué)是乙，則甲、乙、丙預(yù)測(cè)都準(zhǔn)確，不符合題意；若得的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙預(yù)測(cè)都不準(zhǔn)確，不符合題意。綜上，得的同學(xué)是甲 .15. 袋中有 6 個(gè)黃色、 4 個(gè)白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1 個(gè)球，取 2 次，則事件

15、“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率為_(kāi) 【答案】【解析】分析：根據(jù)條件概率進(jìn)行求解即可詳解：設(shè)“第一次取得白球”為事件 A，“第二次恰好取得黃球”為事件由題意得 ，B點(diǎn)睛：解決概率問(wèn)題時(shí)，若條件中含有“在, 發(fā)生的條件下，求 , 發(fā)生的概率”的字樣，則一般為條件概率類型求解時(shí)可根據(jù)條件概率的定義進(jìn)行，即進(jìn)行求解16.已知橢圓為其左、右焦點(diǎn)， 為橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足的內(nèi)心為 ，且有（其中 為實(shí)數(shù)），則橢圓的離心率_ 【答案】【解析】分析：由題意得為的重心，設(shè)，由重心坐標(biāo)公式可得的縱坐標(biāo)，由可得內(nèi)心 的縱坐標(biāo)與相同，然后利用的面積等于被內(nèi)心分割而成的三個(gè)小三

16、角形的面積之和建立的等式，從而可得離心率詳解：設(shè)， G為的重心， G點(diǎn)坐標(biāo)為，軸， I 的縱坐標(biāo)為在中，又I 為的內(nèi)心， I 的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑由于 I 把分為三個(gè)底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，即，橢圓 C的離心率點(diǎn)睛：解答本題時(shí)注意兩點(diǎn)：（ 1）讀懂向量式的含義，正確地將向量式轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，這是解題的基礎(chǔ)（ 2）求橢圓的離心率時(shí)，要把條件中給出的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式或不等式，通過(guò)解方程或不等式可得離心率或其范圍三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知曲線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，（

17、為極角）（ 1）分別寫出曲線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；（ 2）已知為曲線的上頂點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，求的最大值 .【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】試題分析： （ 1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫出曲線C1 的普通方程與曲線C2 的參數(shù)方程；（ 2）由（ 1）知，所以當(dāng)或時(shí)，最大 .試題解析：（ 1）（ 2）由（ 1）知，當(dāng)或時(shí)，最大為.18. 某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了 12 份問(wèn)卷，得到其測(cè)試成績(jī)（百分制）的莖葉圖如下：（ 1）寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000 名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0

18、 分以上的人數(shù)；（ 2）從所抽取的70 分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4 人，記表示測(cè)試成績(jī)?cè)?0 分以上的人數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（ 1）約為 2000 人；（ 2）見(jiàn)解析 .【解析】分析： （1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可得中位數(shù)，然后根據(jù)樣本中70 分以上的成績(jī)所占的比例可得總體中 70 分以上的人數(shù)（ 2）根據(jù)題意得到 的可能取值， 分別求出對(duì)應(yīng)的概率得到分布列，然后可得期望詳解：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)為76，樣本中70 分以上的所占比例為，故可估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0 分以上的約為30002000 人（ 2 由題意可得的可能取值為0， 1， 2， 3， 4,. 的分別列為：0123

19、4.點(diǎn)睛：本題考查莖葉圖的應(yīng)用以及用樣本估計(jì)總體，同時(shí)考查分布列、期望的求法，主要考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬中等題19.如圖，已知直角梯形所在平面垂直于平面，.（ 1）點(diǎn)是直線中點(diǎn)，證明平面；（ 2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（ 1）見(jiàn)解析；（ 2）.【解析】試題分析： （ 1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量，求出平面平面的法向量，利用向量與平面垂直，即可證明線面平行；（ 2）求出平面與平面的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值試題解析：（ 1）設(shè) AB a，取 AC的中點(diǎn) O，連接 EO， OP.AE AC，又 EAC6

20、0， EOAC.又平面 ABC平面ACDE， EO平面ABC， EOOP，又 OPAB，ABAC，所以 OPAC.以射線 OP， OC，OE分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則 C（ 0， ， 0），A（ 0， 0），E（ 0， 0，），D（ 0， ，）， B（ a， ， 0） .則 P（ ， 0，0），設(shè)平面 EAB的法向量為（ x0， y0， z0） .（ a， 0， 0），（ 0， ，），0，0，即，令 z0 1，得 y0，又 x0 0， （ 0，1）.DP平面EAB（另法：?。?2）設(shè)平面EBD的法向量為，AB 中點(diǎn) F，然后證DPEF 或證平面ODP

21、平面（ x1， y1， z1），易知平面ACDE的一個(gè)法向量為EAB）（ 1， 0，0） .，即，令 z1 1，則 x1， y1 0，（，0， 1） .考點(diǎn)：線面位置關(guān)系的判定與證明；二面角的求解20. 一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6 組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：溫度212324272932產(chǎn)卵數(shù) /個(gè)61120275777（ 1）若用線性回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1 ）；（ 2）若用非線性回歸模型求關(guān) 的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)試與（ 1）中的線性回歸模型相比，用說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）

22、.附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為；相關(guān)指數(shù).【答案】（ 1）；（ 2）回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好；當(dāng)溫度時(shí)，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190 個(gè) .【解析】分析：(1) 根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出與的值從而可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結(jié)合樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得 關(guān)于的回歸方程；(2) 根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小，即可比較模型擬合效果的優(yōu)劣；代入回歸方程求值計(jì)算即可得結(jié)果.詳解：（ 1）由題意得，所以，關(guān)于的線性回歸方程為；（ 2）由所給數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，相關(guān)指數(shù)為.因?yàn)?，所以回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好.由得當(dāng)溫度時(shí)

23、，即當(dāng)溫度時(shí)，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190 個(gè).點(diǎn)睛：求回歸直線方程的步驟：確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；計(jì)算的值；計(jì)算回歸系數(shù)；寫出回歸直線方程為； 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).21. 在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) 是直線上的動(dòng)點(diǎn)， 定點(diǎn)，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（ 1）求點(diǎn) 的軌跡的方程；（ 2）過(guò)點(diǎn) 的直線交軌跡于兩點(diǎn)， 為 上任意一點(diǎn)，直線交 于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò) 軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.【答案】（ 1）；（ 2）和.【解析】分析： （ 1）根據(jù)條件可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、

24、以直線 為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為（ 2）假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn),設(shè). 由題意可得，由得設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和上式可得，解得，進(jìn)而可得以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)詳解：（1）由已知得垂直平分，故又軸，則，所以點(diǎn)到點(diǎn) 的距離和到直線的距離相等，故點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，由條件可得軌跡的方程為（ 2）假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)設(shè),則，直線的方程為，令得即同理可得.由已知得恒成立 ,即，即設(shè)直線的方程為，由消去 整理得，所以，于是，整理得，解得故以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）拋物線的定義有兩方面的作用，一是用來(lái)判斷點(diǎn)的軌跡是拋物線，二是當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，可將曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到快速解題的目的（ 2）判斷定點(diǎn)時(shí)，可假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系