精銳相似三角形

1、相似三角形 分析1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)五年考查內(nèi)容2010 年2011 年2012 年2013 年2014 年題號分值題號分值題號分值題號分值題號分值相似形的概念，相似比的意義，畫圖形的放大和縮小1612161112平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的有關(guān)定理21（1）23（2）523（2）相似三角形的概念相似三角形的判定和性質(zhì)及其應(yīng)用三角形的重心51625（2）23（2）24（3）24（2）24（3）25（1）25（3）17向量的有關(guān)概念向量的表示向量的加法和減 法、實數(shù)與向量相乘、向量的線性運算1515151015說明本表格按照中考試題評分標(biāo)準(zhǔn)將解答題的分值進(jìn)行拆分，只要解題過程中涉及

2、本模塊的內(nèi)容，表格中均有體現(xiàn)。小結(jié)考點解讀2中小學(xué)個性化輔導(dǎo)模塊考點水平層級圖形與幾何相似形的概念，相似比的意義，畫圖形的放大和縮小平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的有關(guān)定理相似三角形的概念相似三角形的判定和性質(zhì)及其應(yīng)用三角形的重心向量的有關(guān)概念向量的表示向量的加法和減法、實數(shù)與向量相乘、向量的線性運算備注記憶水平（記為）理解性理解水平（記為）探究性理解水平(記為)1相似形知識梳理1圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮2. 將一個圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形3. 形狀相同的兩個圖形叫做相似的圖形，即相似形【總結(jié)】1. 相似圖形的大小不一定相同，如果兩個相似圖形的大小相同，則

3、兩個相似形全等，當(dāng)兩個多邊形是全等形時，它們的對應(yīng)邊的長度的比值都是 1；2. 對于大小不同的兩個相似圖形，可以看作是大（小）的圖形由?。ù螅┑膱D形放大（縮?。┑玫?如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例【注意】1理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”；2多邊形的相似，要求相同，形狀相同（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例）例題精講【例 1】下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（ A 同一座城市的兩張比例尺不同的地圖； C 兩個正方形；【正確】 B ）B 一個人現(xiàn)在的和他十年前的；D 國旗上的五角星【例 2】下列各組圖形中一定是相似形的是 （填序號）（1） 兩個平行四邊

4、形一定相似；（2） 兩個矩形一定相似；（3） 兩個正方形一定相似；（4） 兩個菱形一定相似；（5） 兩個下底角相等的等腰梯形相似；（6） 有一個內(nèi)角為 80的兩個等腰三角形相似；（7） 有一個內(nèi)角為 100的兩個等腰三角形相似；（8） 等邊三角形都相似；（9） 直角三角形都相似；（10） 鄰邊之比都為 21 的兩個等腰三角形相似【正確】（3）、（7）、（8）、（10）3中小學(xué)個性化輔導(dǎo)， ABC 與 ABC 是相似圖形，若 AB=2.4 ，AB=3.6 ，BC =1，AC=2.7 ，試求 BCA【例 3】與 AC 【正確】 BC=1.5 ， AC = 1.8 ABC BC【例 4】如圖，在正方

5、形網(wǎng)格上，若使 ABC PBD ，則點 P 應(yīng)在（）DA P1 處；B P2 處；C P3 處；D P4 處C【正確】 D AB【例 5】若頂點在格點上的三角形稱為格點三角形，請在圖中畫一個格點三角形與原三角形相似【正確】FEABABD【總結(jié)】在“網(wǎng)格”中畫出與已知圖形相似的圖形的：首先確定對應(yīng)的比例數(shù)；其次根據(jù)比例數(shù)在格點上找出對應(yīng)邊的長度；最后根據(jù)對應(yīng)角相等，即可作出圖形“格點問題”兩個相似形的對應(yīng)邊的比值通常為過關(guān)演練1下列各命題中，真命題的是（A 矩形都相似C 有兩條邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似）B 一個角為 400 的兩個等腰三角形一定相似D 有一個銳角相等的兩直角三角形相似3下

6、列說法中，一定正確的是（）A 有一個角對應(yīng)相等的兩個平行四邊形相似C 兩個矩形的長和寬對應(yīng)成比例，這兩個矩形相似B 有一個邊對應(yīng)相等的兩個菱形相似D 底角是 60的兩個等腰梯形相似4下列中，正確的是（ ）A 各有一個角是 67的兩個等腰三角形相似C 各有一個角是 45的兩個等腰三角形相似B 鄰邊之比都為 21 的兩個等腰三角形相似D 鄰邊之比都為 23 的兩個等腰三角形相似5在正方形的網(wǎng)格上的三角形中,與DABC 相似的三角形是(填序號)4中小學(xué)個性化輔導(dǎo)A(1)C(2)B(3)CCP4P3P2P12比例線段知識梳理1來說，兩個數(shù)或兩個同類的量 a 與b 相除，叫做 a 與b 的比，記作a ：

7、 b （或 a ），其中b 0 ab除以b 所得的商叫做 a 與b 的比值如果a ： b 的比值等于 k ，那么 a=kb 2兩條線段的長度的比叫做兩條線段的比3如果a : b = c : d （或 a = c ），那么就說 a、b、c、d 成比例其中a 叫做第一比例項， b 叫做第二比例bd項； c 叫做第三比例項； d 叫做第四比例項4在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段【注意】要注意比例線段的順序性與要統(tǒng)一5如果比例的兩個內(nèi)項（或兩個外項）相同，那么這個相同的項叫做比例中項如a : b = b : c（ b : a = c :

8、 b ）時， b 叫做 a 和c 的比例中項 a 、b 、c 滿足： b2 = ac 【注意】比例中項的應(yīng)用一定要注意題目中的表述：比如題目中若出現(xiàn)“線段”或“ 否則，取正、負(fù)兩個值”時，值為正值；6比例的基本性質(zhì)：（1） 如果 a = c ，那么 ad =bc bd（2） 比例線段的比例式中，只要乘積形式不變， a、b、c、d 的位置可以靈活變化若 a = c，則 a = b 、 b = d、 c = d 、 b = a 、 c = a 、 d = c 、 b = dbdcdacabdcdbbaac【思考】命題“如果 ad =bc ，那么 a = c ”是真命題還是假命題，為什么？bd7合比

9、性質(zhì)：如果 a = cbd如果 a = cbd如果 a = cbd如果 a = cbd，那么 a+b = c+d；bd，那么 a - b = c - d ；bdac，那么=；b+ad +cac=，那么b - ad - c8等比性質(zhì)：如果 a =c，那么 a+cac=k （ b+d 0 ）；=kbdb+dbd5中小學(xué)個性化輔導(dǎo)如果 a = c = e =bdf= m ，那么 a+c+e+m = a = c = e = m =k（ b+d +f +n 0 ）nb+d +f +nbdfn【注意】等比性質(zhì)的條件9如果點 P 把線段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP PB ）兩段，其中 AP 是

10、AB 和 PB 的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割點 P 稱為線段 AB 的黃金分割點 AP 與 AB 的比值 5 -1 稱為黃金分割數(shù)，它的近似2值為0.618 【注意】1來說，一條線段的黃金分割點有兩個；短邊= 長邊= 5 -1 2利用黃金分割時一定是：長邊 全長2例題精講【例 1】比例的基本性質(zhì)：若 a = d，則下列比例式中不正確的是（）bcA a= bB d= cC a = bbD =cdcabcdad【解題指導(dǎo)】:乘積形式不變【正確】 B 【例 2】比例中項：已知線段 a 2cm， b 9cm，那么線段 a 和b 的比例中項為 【解題指導(dǎo)】: x2 = a b 【正確】 2 3

11、cm cm 【例 3】合比性質(zhì)：x + y設(shè) 2y3x0（y0），則y【解題指導(dǎo)】: x = 2 y3【正確】 5 36中小學(xué)個性化輔導(dǎo)【例 4】等比性質(zhì)的應(yīng)用：xy = z 則 x + y + z =（1）若=y + z1089【解題指導(dǎo)】:（1）設(shè)k 法；（2）設(shè) x=10，y=8，z=9 】 27 17【正確（2）若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且 a + b - c = 6 , 則 a =； b =； c =【解題指導(dǎo)】: 設(shè) k 法】 a = 6; b = 8; c = 10.【正確a + c + eace3（3）若 =,bdf4= _則b + d + f【解題指導(dǎo)】

12、:等比性質(zhì)的應(yīng)用【正確】 3 4【例 5】黃金分割：已知線段 AB 長為 2cm， P 是 AB 的黃金分割點，則較長線段 PA =； PB =【解題指導(dǎo)】: PA = PB =5-1 ABPA2【正確】 PA = 5 -1; PB = 3 - 5 【例 6】比例尺：圖紙上畫出的某個零件的長是32mm ，如果比例尺是1: 20 ，這個零件的實際長是m 【解題指導(dǎo)】:設(shè)實際長為 x,則 32 =x20【正確】0.64m 1過關(guān)演練1 7 : x = (5 + x) : 2 中的 x =2如果 x : y = 2 : 3 ，則下列各式不成立的是（）A x + y = 5B y - x = 1x +

13、13D=x= 1Cy + 14y3y32 y37中小學(xué)個性化輔導(dǎo)3下列各組中的四條線段成比例的是()A a = 2,b = 3,c = 2, d = 3B a = 4,b = 6,c = 5, d = 10C a = 2,b = 5,c = 2 3, d = 15D a = 2,b = 3,c = 4, d = 14已知線段a，b，c ，求作線段 x ，使 x = ac ，以下做法正確的是（b）xbbaaaaxcxcccbxbABCD5. 已知線段 BC 10 cm ， C 是 AB 的黃金分割點，且 AC BC ，則 AB cm 6. 在 15000 的地圖上，某兩地間的距離是30cm ，那

14、么這兩地的實際距離為_千米.7已知 x y z = 345 , 且 x + y + z = 12 ,那么 x =, y =, z =8已知， x : y : z = 2 : 3 : 4 ，則 x + 2 y - z 的值為x - y + 3z9已知線段a = 2,b = 2 2, c = 5 6 ，則c、b、a 的第四比例項 d a4b10已知=，且b 是c、a 的比例中項，則 ，若a 是b、c 的比例中項，則 b b3cc11已知C 是線段 AB 的黃金分割點， AC BC ，若 AC =5 -1 米，則 AB =米212美是一種感覺，當(dāng)下半身長與身高的比值越接近 0.618 時，越給人一種

15、美感如圖，某女士身高165cm，下半身長 x 與身高 l 的比值是 0.60，為盡可能達(dá)到效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A 4cmB 6cmC 8cmD 10cm13. 在 ABC 中， AB = AC ， A 36， C 的平分線交 AB 于點 D ，求 BD ： AD 8中小學(xué)個性化輔導(dǎo)3三角形一邊的平行線知識梳理1三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例2. 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例3. 三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形

16、的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊4. 三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊【總結(jié)】三角形一邊平行線的A以理解為兩個基本圖形：“ A ”字形與“8”字形AlEDA DElBCBCBlCDE【注意】在運用判定定理時一定要是兩邊上的比才能得平行。5平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例【總結(jié)】平行線分線段成比例以理解為基本圖形：“井”字形6平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那

17、么在另一條直線上截得的線段也相等9中小學(xué)個性化輔導(dǎo)例題精講C一、“A”字型：【例 1】如圖, AM :MB=AN:NC=1:3 ，則 MN:BC=NABM由 AM :MB=AN:NC 得 MN /BC ， MN = AM = 1 BCAB4【解題指導(dǎo)】A 字型的簡單應(yīng)用?！菊_】 1 4【例 2】如果梯形兩底的比為 5：9，其中一腰的長為 16cm，那么將這腰從大底向小底方向延伸cm能與另一腰所在的直線相交【解題指導(dǎo)】本題仍是 A 字型的應(yīng)用如圖：x5169A【正確】 20cm 【例 3】在DABC 中， D、E 分別是 AB、AC 上的點，下列比例式中不能判定 DE / /BC 的是（）DE

18、A AD =AEB AD =ABC AD = DED AD =AEBCABACAEACABBCDBEC【解題指導(dǎo)】必須由邊上的比得平行【正確】C【例 4 】 如圖，在 DABC 中， C = 90 ， 四邊形 EDFC 為內(nèi)接正方形， AC=5，BC=3 ，則 AE：DF =B【解題指導(dǎo)】因為四邊形為正方形，所以 AE：DF 可以轉(zhuǎn)化為 AE：DE 5F【正確】 3AEC【例 5】如圖， DE /BC ， EF /AB ，則下列式子中成立的是（）AA ADBFABDEEFACADDBBFFC=B.C.D.DBECBCACABCEEDBFC【解題指導(dǎo)】這類題型首先排除涉及到的 DE、EF 的比【

19、正確】 D 1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)D【例 6】已知：如圖，在DABC 中， DE /BC ， DF /AC ，若 AE =8 ， EC =5 ， BF=4 ，求：四邊形 DFCE的周長AE = DE 轉(zhuǎn)化為 AE =DE8DE【解題指導(dǎo)】即：=ACBCACBF +DE134+DE】114 5【正確【例 7】在DABC 中，D、E 是邊 AB、AC 邊上的點，且 DE / / BC, BE 平分ABC ，已知 AB=6 ，BC =8 求DE 的長【解題指導(dǎo)】A 字型與角平分線與平行的結(jié)合ADE24【正確】7BC【例 8】如圖， AA1、BB1、CC1 相交于O ， AB A1B1 ， BC B1C1

20、 ，求證： AC A1C1 BC1【解題指導(dǎo)】需找中間比OA1AOAOBOC】=OAOBOC【正確B1C111【例 9】如圖，在DABC 中， MN / / BC ， DN / /MC ，下列結(jié)論正確的是（）ANAMADDNAMANACDNMN=D=ABCNCABDMMCMBMCBCAD【解題指導(dǎo)】需找中間比MN【正確】 D CB【例 10】如圖，已知點 D、E 在DABC 的邊 AB、AC 上，且 DE /BC ，以 DE 為一邊作平行四邊形 DEFG ，延長 BG 、CF 交于點 H ，連接 AH ，求證： AH /EF 【解題指導(dǎo)】較復(fù)雜的找中間比【正確】略【例 11】如圖，有燈桿 AB

21、（底部 B 不能直接到達(dá)），在燈光下，小明在點 D 處測得的影長 DF1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)3m，沿 BD 方向到達(dá)點 F 處再測得得影長 FG4m，如果小明得身高為 1.6m，求 B、D 之間距離和路燈桿 AB 的高度ACEBDFG【解題指導(dǎo)】A 字型的應(yīng)用【正確】 BD=9m，AB=6.4m 【例 12】已知：如右圖， AD/BC ， AC 與 BD 交于點O ，過點O 作OE /DA ，交 AB 于點 E 。當(dāng) AD=3 ，BC =6 時，求OE 的長CDO【解題指導(dǎo)】兩個比例式相加AEB【正確】OE=2 二、“8”字型：【例 1】如圖，在平行四邊形AH：HE =ABCD中， E 為的 BC

22、 中點, F 是 BE 的中點, AE 與 DF 交于 H ，則DA【正確】 4：1 HFECBAPBP = 3 則 MN =【例 2】如圖， DPMN 中，點 A、B 分別在 MP 和 NP 的延長線上,BAMBN8BAAP】 5【正確MN3【例 3】如圖，梯形 ABCD 中， AD BC ,對角線 AC 、BD 交于點O , BE CD 交CA 延長線與，求證：OC 2 = OA OE EAD【解題指導(dǎo)】需找中間比OCB【正確】略【例 4】己知菱形 ABCD 的邊長是 3，點 E 在直線 AD 上， DE =1，聯(lián)結(jié) BE 與對角線 AC 相交于點 M ，1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)AMMC則的值是

23、【解題指導(dǎo)】多解問題】 2 或 4【正確33三、“A”與“8”字的綜合應(yīng)用【例 1】如圖，梯形 ABCD 中， E、F 為上下底中點， AF、BE 交于 N ， EC、DF 交于 M ，連接 MN ，求證： MN /BC AEDNM【解題指導(dǎo)】A 字型與 8 字型的綜合應(yīng)用BFCENAE EMDEAEDE【正確】：由：8 字型可得=；=由中點可得=BNBF MCCF，所以 MN /BC BFCF所以 EN = EMBNMC四、做輔助線構(gòu)造“A”字構(gòu)造“8”字【例 1】如圖， DABC 中， AD 是中線，點 F 在 AD 上，且 AF：FD=1：2 ， BF 的延長線交 AC 于 E ，求AE

24、：EC的值【解題指導(dǎo)】需做輔助線：做平行線【正確】： 14AEFBDC【例 2】已知：如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 是邊 AB 的中點，點 F 在邊 BC 上，且 CF=3BF，EF 與BD 相交于點 G，求 BG 的值DGADE【解題指導(dǎo)】延長即可GC【正確】： 1 5B FAE = 1 ，BF=EF ，AF 交 BC 于 D ，則【例 3】如圖在DABC 中，E 為 AC 上的一點，BD：DC =EC2AE【解題指導(dǎo)】需做平行線1F【正確】 3BDC五、“井”字型：ADl1, AB = 2 , AC = 5 , DF = 10 ,則 DE =【例 1】如圖l/ /l / /l123

25、BEl2Fl3C1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)【正確】4ABDE【例 2】如圖，若=,則 AD/BE /CF ，這是一個AD命題（填“真”或“假”）BCEFEBCF【正確】假【例 3】如圖，已知： AB / /CD / / EF AE : ED = 3 : 2 , AB = 4 , CD = 9 ，則 EF =ABEF【正確】7【例 4】如圖，已知 AD/BE/CF，下列比例式成立的是（DC）ABADBCEFACEFABDE =B =C=D =ADEBEACDFDFBCEFBCADBECF【正確】 B過關(guān)演練1 DABC 中,直線 DE 交 AB 于 D ,交 AC 于點 E ,那么能推出 DE / /

26、BC 的條件是()AB = 3 EC1AD2 DE2， =，=；A B AD2 AE2AB3 BC3AD = 2 CE2AD4 AE4， =D = ， =CDB3 AE3AB3 EC32如圖、已知 D 是 AB 上一點，如果 DE BC ， DF AC ，點 E ， F 分別在 AC ， BC 上，那么下列比例式中正確的是（ ）A AEDE ;B AE = CFECFBC DEDFD FCECA=ECBCBCACBCACDECBFC3如圖已知菱形 ADEF , AC = 15 , AB = 10 ，則CF =FEADB4在DABC 中，已知點 D 、E 分別在邊 AB 、AC 上，DE / /

27、 BC 如果 AD = 1cm ，AB = 3cm ，DE = 4cm ，那么 BC =cm ADE則5如圖，在DABC 中， DE / / BC ， AD = 1 ，DB2DEBCBC1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)6已知：如圖，在DABC 中， BD 是ABC 的平分線，過點 D 作 DE / /CB ，交 AB 于點 E ， AD = 1 ，DC3ADE = 6 ，則 AB =DECBADBE27如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 是邊 BC 上的點，AE 交 BD 于點 F，如果=，F(xiàn)BC3BF那么FDBEC=AB8如圖， AB / /CD ， AC 與 BD 交于點O ，若 OC = 5 ，則 A

28、O =OBOOD3DCADAODO9如圖，四邊形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于O ，若=， AO =8， CO =12，COBOOBC =15，則 AD =BCAE = 1ED210 如圖， E 是平行 四邊形 ABCD邊 AD 上一點， 且， CE 與 BD 交于點 O ，則 BOOD=A EDOCB11DABC 中，D 在線段 AC 上，BD 平分ABC ，DE /AB 交 BC 于點 E ， AB = 5, BE = 3 ,求EC 的長ADB12 DADE 中，點 B 和點C 分別在 AD、AE 上，且 AB=2BD ， AC =2CE ，則 BC：DE =EC13已知：如圖，

29、在梯形 ABCD 中，AB/CD 且 AB=2CD ，點 E、F 分別是 AB 和 BC 的中點，EF 與 BD相交于點 M 求證： DM =2BM CDMFEBA1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)14已知：如圖， AB / / PD ， BC / / PE 求證： AC / / DE DPABOCE15某校九年級（1）班學(xué)生在學(xué)習(xí)了相似三角形一請你幫助他們計算：，設(shè)計并實施了測量學(xué)校國旗旗桿高度的方案，（1） 方案 1（晴天用）：在同一時刻，量得某一同學(xué)的身高是 1.5 米，影長是 1 米，旗桿的影長是 8米，則旗桿的高度是米（2） 方案 2（陰天用）：如圖，在 B 處站立一位身高 1.8 米的學(xué)生甲，在點

30、 F 處站立著學(xué)生乙，學(xué)生乙從點 E 處看到學(xué)生甲的頭頂 A ，旗桿頂C 在一直線上（點 F 、B 、D 也在一直線上），已知 EF =1.5 米， BD =34 米， FB =1 米，求旗桿的高度16如圖，DABC 中，點 D 為邊 BC 上的一點，點 P 在線段 AD 上，過 P 作 PM /AC ，交交 AC 于 N （1）若 D 為 BC 中點，且 AP : PD = 1: 2 ,求 AM : AB ；AB 于 M ，PN /AB ，（2）若 D 為 BC 中點，求證： AMAN=；ABAC（3）若 D 為 BC 邊上任意一點，求證： AMANAP+=ABACADAAMNNMppBCDBCD1中小學(xué)個性化輔導(dǎo)17梯形 ABCD 中，點 E 在 AB 上,點 F 在 CD 上，且 AD=a ， BC=b ， (1)如