大學(xué)物理-麥克斯韋電磁理論與電磁波8ppt課件

1、第八章 麥克斯韋電磁理論和電磁波 1。一平行板電容器的兩極板為圓形金屬板，面積均為S，接于一交流電源時(shí)，板上的電荷隨時(shí)間變化，即 。試求：tqqmsin(1) 電容器中的位移電流密度的大??；(2) 設(shè) 為由圓板中心到該點(diǎn)的距離，兩板之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布 rB解 （1由題意可知， ，對(duì)于平行板電容器電位移矢量的大小為tqqmsintSqSqDmsin0所以，位移電流密度的大小為 tSqtSqttDjmmDcos)sin(2) 由于電容器內(nèi)無(wú)傳導(dǎo)電流，故 。又由于位移電流具有軸對(duì)稱(chēng)性，故可用安培環(huán)路求解磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè) 為由圓板中心到場(chǎng)點(diǎn)的距離，并以 為半徑做圓周路徑L。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理可知0

2、0jrr LrHdlH2經(jīng)過(guò) 所圍面積的位移電流為 L 2rjdSjDSD所以 tSrqrjHmDcos22最后可得 tSrqHBmcos200注釋?zhuān)河捎谄叫邪咫娙萜鳂O板上的電荷 隨時(shí)間作周期性變化，可知電容器極板間的電場(chǎng)也是時(shí)間的函數(shù)，則由隨時(shí)間變化的電位移通量可求出位移電流 。由于全電流具有軸對(duì)稱(chēng)性，可用全電流安培環(huán)路定理求出磁場(chǎng)強(qiáng)度H，最后求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B。從結(jié)果中看到，B B(r,t)，表明在平行板電容器中的磁場(chǎng)是非均勻磁場(chǎng)。qDI2。充電，試求：如圖a所示，用二面積為 的大圓盤(pán)組成一間距為d的平行板電容器，用兩根長(zhǎng)導(dǎo)線垂直地接在二圓盤(pán)的中心。今用可調(diào)電源使此電容器以恒定的電流0S0I

3、(1) 此電容器中的位移電流密度；(2) 如圖b所示，電容器中 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度； P(3) 證明在此電容器中從半徑為 、厚度為 的圓柱體表面流進(jìn)的電磁能與圓柱體內(nèi)增加的電磁能相等。rd解 (1) 由全電流概念可知，全電流是連續(xù)的。電容器中位移電流密度 的方向應(yīng)如圖c所示，其大小為0I00SIjD通過(guò)電源給電容器充電時(shí)，使電容器極板上電荷隨時(shí)間變化，從而使極板間電場(chǎng)發(fā)生變化。因此，也可以這樣來(lái)求 :Dj由于 0000SdtddtdQI由于 ，因此 D0DjSdtdDSI000所以 00SIjD(2) 由于傳導(dǎo)電流和位移電流均呈軸對(duì)稱(chēng)，故磁場(chǎng) 也呈軸對(duì)稱(chēng)，顯然過(guò) 點(diǎn)的 線應(yīng)為圓心在對(duì)稱(chēng)軸上的圓，如

4、圖c）所示。BPB根據(jù)全電流安培環(huán)路定理，將 用于此 線上，有 dSjjdlBSDL00B dSjjrBdlBSDL002 200rjdSjDSD 2000rSI得 20002rSIrB所以 rSIB0002(3) 在電容器中作半徑為 、厚度為 的圓柱體，如圖d所示。由坡印廷矢量 分析可知，S垂直指向圓柱體的側(cè)壁，這表明電磁場(chǎng)的能量是從側(cè)壁流人圓柱體內(nèi)的。在單位時(shí)間內(nèi)流人的能量為rdHES rdEHrdS22由于。 00000BBDEH 00200000000022IQSrSrISQ所以 rdIQSrrdS22200200002002IQSdr由于傳導(dǎo)電流和位移電流都不隨時(shí)間變化，故磁場(chǎng)和磁場(chǎng)

5、的能量也都不隨時(shí)間變化。但電容器中的電場(chǎng)是隨時(shí)間增強(qiáng)的，故電場(chǎng)的能量是隨時(shí)間增加的。圖d中圓柱體內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)增加的電場(chǎng)的能量為 )2()21(2020202drdtddrDdtddtdWe )2(220020drSQdtd002002002002IQSdrdtdQQSdr 顯然，單位時(shí)間內(nèi)流人圓柱體的能量與圓柱體內(nèi)增加的能量相等。 注釋?zhuān)?本題中由于電源給平行板電容器穩(wěn)定充電，電容器極板上電荷不斷變化，使極板內(nèi)部電場(chǎng)穩(wěn)定變化，產(chǎn)生不隨時(shí)間變化的位移電流，進(jìn)而在電容器內(nèi)部激發(fā)磁場(chǎng)。由于傳導(dǎo)電流和位移電流的對(duì)稱(chēng)性分布，可用安培環(huán)路定理求解B。問(wèn)題3中的結(jié)果表明電磁場(chǎng)的能量是從電容器的側(cè)面流入的，且

6、單位時(shí)間內(nèi)流入電容器中的能量與電容器內(nèi)增加的能量相等。3。如下圖，已知電路中直流電源的電動(dòng)勢(shì)為12V、電阻R = 6，電容器的電容 ，試求：FC0 . 1 （1接通電源瞬時(shí)電容器極板間的位移電流： （2） s時(shí)，電容器極板間的位移電流； (3) 位移電流可持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間。（通常認(rèn)為經(jīng)過(guò)10倍電路時(shí)間常數(shù) 后電流小到可忽略不計(jì)）6106t解 : 對(duì) 串聯(lián)電路的暫態(tài)過(guò)程有RCCqdtdqR求解該方程得： ，表示極板上的電荷量是隨時(shí)間變化。)1 (1012)1 (610616ttRCeeCq在電容器內(nèi)，由上題結(jié)論得電容器中的位移電流為 tqStStDSjIDD0ttee6106106666261010

7、12對(duì)應(yīng)不同的情況，可求得(1) 在接通電源的瞬時(shí) ，電容器極板間的位移電流A0t2DI (2) 當(dāng) s時(shí)， 6106t11066102266eeIDA (3) 在 時(shí)可認(rèn)為電流忽略不計(jì)，即 。所以 10t0DI56106106101010RCt(s) 注釋: 當(dāng)接通電源后，電源給電容器充電，所以電容器極板上的電荷量隨時(shí)間變化，在電容器中產(chǎn)生位移電流。但當(dāng)充電過(guò)程結(jié)束時(shí)，電容器極板上的電荷q不再變化，電容器內(nèi)部的電場(chǎng)也不再變化，故此時(shí)位移電流消失。 4. 一球形電容器，其內(nèi)導(dǎo)體半徑為 ，外導(dǎo)體半徑為 ，兩極板 之間充有相對(duì)介電常數(shù)為 的介質(zhì)?，F(xiàn)在電容器上加電壓，內(nèi)球 與外球的電壓為V= ，假設(shè)

8、 不太大，以致電容器電場(chǎng)分 布與靜電場(chǎng)情形近似相等，試求介質(zhì)中的位移電流密度以及通過(guò) 半徑為 的球面的位移電流。1R2RrtVsin021RrRr解: 設(shè)電容器極板上帶有電荷 ，由位移電流密度公式可知 tq tDjD由于球形電容器具有球形對(duì)稱(chēng)，可用電場(chǎng)高斯定理求出球形極板間的電位移矢量為 (為徑向單位向量) 024rrtqD0r球形電容器極板間的電勢(shì)差為 210122104)()11(4RRRRtqRRqVrr與上式聯(lián)立，消去 ，得q012202100122210sin)()(trRRrVRRrRRrVRRDrr所以位移電流密度為 01220210cos)(trRRrVRRtDjrD在電容器中

9、，作半徑為 的球面（ r ），通過(guò)它的位移電流為r1R2RtRRVRRrjdSjIrDDDcos441202102 的流向沿徑向，且隨時(shí)間變化。 DI 注釋 球形電容器兩極板間的電壓隨時(shí)間變化，所以極板間電場(chǎng) 變化，產(chǎn)生位移電流。從結(jié)果中看出，介質(zhì)中各處的位移電流密度不同，而穿過(guò)任意球面的位移電流與球面大小無(wú)關(guān)。 5. 如下圖，電荷 以速度 向 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（ 到 點(diǎn)的距離以 表示）。在 點(diǎn)處作一半徑為a的圓，圓面與 垂直。試求通過(guò)該圓面的位移電流和圓周上各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。qvOqOxOvB解 電荷在其周?chē)ぐl(fā)電場(chǎng)，同時(shí)由于電荷運(yùn)動(dòng)，根據(jù)麥克斯韋假設(shè)，此時(shí)隨時(shí)間變化的電場(chǎng)又激發(fā)磁場(chǎng)。設(shè) 時(shí)刻穿

10、過(guò)圓面上的電位移通量為 tSDdSD 為使計(jì)算簡(jiǎn)便，可以 為球心，r為半徑，a為小圓半徑的底面， 做一球冠，球面上各點(diǎn)的 的大小相等，穿過(guò)題意圓面的電位 移通量與穿過(guò)球冠的電位移通量相等。即qDhrrqDSdSDSD242球冠cos12cos242qrrrrq)1 (222axxq 代入位移電流的定義式，得 vrqadtdxaxaqdtdIDD322322222 取半徑為a的圓為積分回路L，由麥克斯韋方程，有 vrqaIdlHLD322 由于 運(yùn)動(dòng)沿圓面的軸線，系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性，所以環(huán)路上各點(diǎn) 的H大小相等，即q vrqaaH3222sin4423rqvrqvaH 得 sin4200rqvHB

11、寫(xiě)成矢量形式有 2004rrqvB 這正是運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式。 注釋: 求出電位移通量，就可由位移電流定義求解 ，因此本 題的關(guān)鍵是求解 。取球冠求 的優(yōu)點(diǎn)是球面上各點(diǎn) 的大小 一樣，便于計(jì)算。而在圓面上各點(diǎn)D的大小是不相同的，需求 用積分來(lái)解決。由于問(wèn)題具有軸對(duì)稱(chēng)性，可用安培環(huán)路定理求 解 。DIDDDB如下圖，由電容為0. 025 F的電容器和自感系數(shù)為1.015H的線圈構(gòu)成一振蕩電路，若忽略線路中的電阻，充電后電容器所帶電量的幅值為2.5 C。試求：610(1) 充電時(shí)電容器兩極板間電位差隨時(shí)間的變化率；(2) 電路中電流隨時(shí)間的變化率；(3) 電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量分別隨時(shí)間的變化率。解：

12、 在圖示中，將開(kāi)關(guān)K先后扳向位置2,1使電容器充、放電，便可在 電路中產(chǎn)生電流的周期性變化。設(shè)電路中電荷隨時(shí)間的變化規(guī)律為L(zhǎng)Ctqqcos0則電路中的充、放電流為 tqdtdqIsin0由于在LC電路中， ，所以回路的振蕩頻率LC1 LCf212 （1由題意可知 rads20001LC Hz100021LCf所以 ttqq2000cos105 . 2cos60代人電容器的電容公式，有 6610025. 02000cos105 . 2tCqV100cos(2000 ) V t表明電容器兩極板間電壓隨時(shí)間作用周期性變化。 （2） 已知電路中電荷變化規(guī)律，則有 tqdtdqIsin0)2000sin(106 . 12t （3） 電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為 (J)CtqCqWe2)(cos212202)2000cos(101256t線圈儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為 (J) )(sin212122202tLqLI