函數(shù)迭代和函數(shù)方程上

1、函數(shù)迭代與函數(shù)方程21函數(shù)迭代 函數(shù)迭代的定義設（其中）是一個函數(shù)，對任意，記，則稱是函數(shù)在上的次迭代，并稱是的迭代指數(shù)如果有反函數(shù)，則記為，于是，迭代指數(shù)可取所有整數(shù) 簡單的函數(shù)迭代求一個函數(shù)的次迭代，是數(shù)學競賽中的一種基本題型對于一些簡單的函數(shù)，它的次迭代是容易得到的若，則，若，則，若，則， 函數(shù)迭代的求法數(shù)學歸納法這里用到的是先猜后證的想法，即先對函數(shù)迭代幾次，觀察出其規(guī)律，然后猜測出的表達式，最后用數(shù)學歸納法證之這種方法只適用于一些較為簡單的函數(shù)遞歸法設是定義在上且取值于的函數(shù)，由此定義數(shù)列：已知，且，一方面，若已求得，則，即通項公式；另一方面，如果已求得的通項公式，則取，而，從而，即

2、的表達式由上述知，函數(shù)的次迭代可以通過構(gòu)造數(shù)列的方法來解，其步驟為第一步，設，；第二步，由，求出；第三步，相似法相似法是求函數(shù)的次迭代的一個重要方法若存在一個函數(shù)以及它的反函數(shù)，使得，我們就稱通過和相似，簡稱和相似，記為，其中稱為橋函數(shù)相似關(guān)系是一個等價關(guān)系，也就是說它滿足：自身性，；對稱性，若，則；傳遞性，若，則如果與相似，即，那么， ，這樣一來，我們便把的迭代問題轉(zhuǎn)化為的迭代問題不動點法關(guān)于的方程的根稱為的不動點不動點法的基本思想是根據(jù)函數(shù)的不動點得出橋函數(shù)的一個性質(zhì)，進而確定橋函數(shù)的形狀，然后利用相似法求出函數(shù)的次迭代 函數(shù)的不動點具有如下的性質(zhì)：若是的不動點，則，即也是的不動點設，因此

3、有，若，則有，即是的不動點對于一些簡單的函數(shù)，利用不動點，把函數(shù)變形后再迭代，最后用數(shù)學歸納法證之，會使計算簡單些利用不動點找橋函數(shù)的方法：由不動點的性質(zhì)知，橋函數(shù)具有下列性質(zhì)：它將的不動點映成的不動點，通常為了便于求解，通常為，等2函數(shù)方程 函數(shù)方程的定義解為函數(shù)的方程為函數(shù)方程例如等都是函數(shù)方程 函數(shù)方程解法 尋求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程叫作解函數(shù)方程，一般有以下幾種方法：代換法代換法是解函數(shù)方程的常用手段，其基本思想是：將函數(shù)方程中的自變量適當?shù)匾詣e的自變量代換（當然在代換時應特別注意函數(shù)的定義域不能發(fā)生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設法求得未知數(shù)如，令，則，于是，即，經(jīng)

4、檢驗它是函數(shù)方程的解代換法在單變量函數(shù)方程中尤為多用賦值法所謂賦值法，就是對自變量賦予某些特殊的數(shù)值，從而挖掘出題中隱含的條件，并且通過這些新條件簡化函數(shù)方程，逼近最終目標如函數(shù)滿足，求令，得，由此令則，從而可知令易得；令易知綜上可知遞歸法函數(shù)方程的遞歸解法，是一種借助于數(shù)列對函數(shù)方程加以研究的方法設是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，如果存在一個遞推關(guān)系和初始條件，當知道，的值后，由可以惟一地確定的值，我們就稱為遞歸函數(shù)，遞歸法主要解決遞歸函數(shù)板塊一 函數(shù)的迭代【例 1】 已知是定義在上的函數(shù)，并且滿足，求的值【例 2】 設，求；設，求；設，求【例 3】 設，求；設，求；設，求板塊二 函數(shù)方程【例 4】 定義在上的函數(shù)滿足關(guān)系式，求求解函數(shù)方程，已知函數(shù)對任意、有，求【例 5】 求所有滿足下列條件的函數(shù)，使得；對所有，成立；若，則【例 6】 已知函數(shù)滿足，求滿足條件的一個 習題1. 設，其中為實數(shù)，若，則 習題2. 某同學從換乘中心出發(fā)坐車去第一家商店，在店里花了剩余的錢的一半，然后坐車返回換乘中心之后又坐車去第二家商店，在店里花了剩余錢的一半，然后坐車返回換乘中心接著他用同樣的方式進出第三家和第四家商店，當他返回換乘中心時候，發(fā)現(xiàn)身上只剩一元錢若無論從換乘中心到商店還是從商店到換乘中心的車費都是一元錢，問：他在四家商店總共花了多少錢？ 習題3.