北師大版本數(shù)學八上1.1（探索勾股定理）說課稿3課時

1、第一章勾股定理1探索勾股定理（一）一、學生起點分析八年級學生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力在小學，他們已學習了一些幾何圖形面積的計算方法（包括割補法），但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能力還遠遠不夠部分學生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認識什么是“勾股定理”此外，學生普遍學習積極性較高，探究意識較強，課堂活動參與較主動，但合作交流能力和探究能力有待加強二、教學任務分析本節(jié)課是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上)第一章勾股定理第一節(jié)第1課時.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學的發(fā)展和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用本節(jié)是直角三角

2、形相關知識的延續(xù)，同時也是學生認識無理數(shù)的基礎，充分體現(xiàn)了數(shù)學知識承前啟后的緊密相關性、連續(xù)性此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學與人文價值三、教學目標分析 知識與技能目標用數(shù)格子（或割、補、拼等）的辦法體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關系，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用 數(shù)學思考讓學生經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗證”的數(shù)學思想，并體會數(shù)形結合和特殊到一般的思想方法 解決問題進一步發(fā)展學生的說理和簡單推理的意識及能力；進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系 情感與態(tài)度在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理

3、在中國古代的研究，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發(fā)奮學習四、教法學法1.教學方法：引導探究發(fā)現(xiàn)法2.學習方法：自主探究與合作交流相結合五、教學過程設計本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾股定理；第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課內(nèi)容：2002年世界數(shù)學家大會在我國北京召開，投影顯示本屆世界數(shù)學家大會的會標：會標中央的圖案是一個與“勾股定理”有關的圖形，數(shù)學家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號今天我們就來一同探索勾股定理（板書課題）意圖：緊扣課題，自然引入，

4、同時滲透愛國主義教育.效果：激發(fā)起學生的求知欲和愛國熱情.第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾股定理1探究活動一：內(nèi)容：（1）投影顯示如下地板磚示意圖，讓學生初步觀察：（2）引導學生從面積角度觀察圖形： 問：你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？學生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：結論1 以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積意圖：從觀察實際生活中常見的地板磚入手，讓學生感受到數(shù)學就在我們身邊通過對特殊情形的探究得到結論1，為探究活動二作鋪墊.效果：1探究活動一讓學生獨立觀察，自主探究，培養(yǎng)獨立思考的習慣和能力；2通過探索發(fā)現(xiàn)，讓學生得到成功體驗，激發(fā)進一步探究的熱情和

5、愿望.2探究活動二：內(nèi)容：由結論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質呢？（1）觀察下面兩幅圖：（2）填表：A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）左圖右圖（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流（學生可能會做出多種方法，教師應給予充分肯定） 圖1 圖2 圖3學生的方法可能有：方法一：如圖1，將正方形C分割為四個全等的直角三角形和一個小正方形， 方法二：如圖2，在正方形C外補四個全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，方法三：如圖3，正方形C中除去中間5個小正方形外，將周圍部分適當拼接可成為正方形，如圖3中兩塊紅色（或兩

6、塊綠色）部分可拼成一個小正方形，按此拼法，（4）分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？學生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：結論2 以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積意圖：探究活動二意在讓學生通過觀察、計算、探討、歸納進一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角形的性質由于正方形C的面積計算是一個難點，為此設計了一個交流環(huán)節(jié).效果：學生通過充分討論探究，在突破正方形C的面積計算這一難點后得出結論2.3議一議：內(nèi)容：（1）你能用直角三角形的邊長、來表示上圖中正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長

7、度2中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？勾股定理（gou-gu theorem）：如果直角三角形兩直角邊長分別為、，斜邊長為，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方數(shù)學小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名（在西方稱為畢達哥拉斯定理）意圖：議一議意在讓學生在結論2的基礎上，進一步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關系，得到勾股定理.效果：1讓學生歸納表述結論，可培養(yǎng)學生的抽象概括能力及語言表達能力.2通過作圖培養(yǎng)學生的動手實踐能力.第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應用內(nèi)容：例 如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面1

8、0m處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處. 大樹在折斷之前高多少？（教師板演解題過程）練習：1、基礎鞏固練習：（口答）求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度：2、生活中的應用： 小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機. 小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？意圖：練習第1題是勾股定理的直接運用，意在鞏固基礎知識效果：例題和練習第2題是實際應用問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，又服務于生活，意在培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識運用數(shù)學知識解決實際問題是數(shù)學教學的重要內(nèi)容.第四環(huán)節(jié)：課堂小結內(nèi)容：教師提問：1這一節(jié)課我

9、們一起學習了哪些知識和思想方法？2對這些內(nèi)容你有什么體會？請與你的同伴交流在學生自由發(fā)言的基礎上，師生共同總結：1知識：勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么.2方法： 觀察探索猜想驗證歸納應用； 面積法； “割、補、拼、接”法.3思想： 特殊一般特殊； 數(shù)形結合思想意圖：鼓勵學生積極大膽發(fā)言，可增進師生、生生之間的交流、互動效果：通過暢談收獲和體會，意在培養(yǎng)學生口頭表達和交流的能力，增強不斷反思總結的意識.第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)內(nèi)容：作業(yè)：1教科書習題1.1；2閱讀讀一讀勾股世界；3觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長是否滿足.意圖：課后作業(yè)設計包括了三個層面：作業(yè)1是為了

10、鞏固基礎知識而設計；作業(yè)2是為了擴展學生的知識面；作業(yè)3是為了拓廣知識，進行課后探究而設計，通過此題可讓學生進一步認識勾股定理的前提條件效果：學生進一步加強對本課知識的理解和掌握六、教學設計反思（1）設計理念依據(jù)“學生是學習的主體”這一理念，在探索勾股定理的整個過程中，本節(jié)課始終采用學生自主探索和與同伴合作交流相結合的方式進行主動學習教師只在學生遇到困難時，進行引導或組織學生通過討論來突破難點.（2）突出重點、突破難點的策略為了讓學生在學習過程中自我發(fā)現(xiàn)勾股定理，本節(jié)課首先情景創(chuàng)設激發(fā)興趣，再通過幾個探究活動引導學生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三角形，學生通過觀

11、察圖形，計算面積，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關系，進而得到勾股定理（3）分層教學，拓展資源基礎訓練1為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小剛搬來一架高為2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米的墻上，則梯腳與墻角的距離應為米2如圖，小張為測量校園內(nèi)池塘A，B兩點的距離，他在池塘邊選定一點C，使ABC90°，并測得AC長26m，BC長24m，則A，B兩點間的距離為m3如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為（不取近似值）4底邊長為16cm，底邊上的高為6cm的等腰三角形的腰長為cm5一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開

12、港口以12km/h的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距km提高訓練6一個長為10m為梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直高度為8m，梯子的頂端下滑2m后，底端滑動m7如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積的和是cm28已知RtABC中，C90°，若cm，cm，則RtABC的面積為（）（A）24cm2 （B）36cm2（C）48cm2（D）60cm29如圖，分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，然后分別以三個正方形的中心為圓心，正方形邊長的一半為半徑作圓，記三個圓的面積分別為S1

13、，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關系是（）（A） （B）（C） （D）無法確定10暑假中，小明和同學們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶. 他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，則登陸點到埋寶藏點的直線距離為km知識拓展11如圖，已知直角ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積12如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它恰好落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長意圖：進行分層訓練，既滿足了不同學生的需求，同時

14、也便于老師及時地了解學生的情況.老師可以根據(jù)學生的情況選擇上述題目進行練習，也可留作家庭作業(yè).效果：通過分層練習，充分激發(fā)學生的學習熱情，教師應留給學生充分的時間思考,在獨立思考的基礎上，鼓勵學生相互討論，得出結果.（4）評價方式根據(jù)新課標的評價理念，在本課主要從以下幾個方面對學生學習情況進行評價：首先，在探索勾股定理的過程中，對學生的參與熱情、情感態(tài)度、探究的積極性、探究的效果等學習情況進行評價其次，在“勾股定理的簡單應用”這一教學環(huán)節(jié)中，通過例題和練習，可有效地評價學生理解和掌握知識的情況第三，在“課堂小結”這一環(huán)節(jié)中，教師可從學生的自由發(fā)言和交流中，了解到各個教學目標的達成情況第四，通過

15、課后作業(yè)的完成情況，進一步了解學生對勾股定理的理解和掌握的程度教師根據(jù)這些評價結果做出相應的反饋和調節(jié)，調整、設計下節(jié)課或下階段的教學內(nèi)容，以達到盡可能好的教學效果第一章勾股定理探索勾股定理（三）一、學生起點分析學生的知識技能基礎：本節(jié)課內(nèi)容選自義務教育課程標準實驗教科書北京師范大學版的數(shù)學教材八年級上冊的第一章第一節(jié)，本節(jié)課為第三課時，課題為拼圖與勾股定理。在本章的前面幾節(jié)課中，學生已經(jīng)學習了勾股定理，了解了勾股定理的廣泛使用，學習了利用割補法計算圖形的面積來驗證勾股定理。學生的活動經(jīng)驗基礎：學生在初一學習過基本幾何圖形的面積計算的一些方法，例如：割補法等，但運用面積法和割補思想解決問題意識

16、和能力還不夠，因此，可能還需要教師有意識的引導；在先前的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了一些拼圖、圖案設計的實踐活動，如制作七巧板，這些都為本節(jié)課的活動（拼圖對勾股定理進行無字的證明）奠定了一定的基礎。二、學習任務分析本課題是學生初步認識了“勾股定理”后，對勾股定理探究的加深與提高，具有一定的挑戰(zhàn)性。課本上設計了豐富的拼圖活動，讓學生經(jīng)過自己的操作和思考，既經(jīng)歷驗證勾股定理的過程，獲得相應的數(shù)學活動經(jīng)驗，又能了解中外多種方法，開闊視野，感受古代人民的聰明才智。為此確定如下教學目標：知識與技能目標：1.通過對幾種常見的勾股定理驗證方法的分析和欣賞，理解數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；2.經(jīng)歷綜合運用已有知識解

17、決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。過程與方法目標： 1經(jīng)歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值；2通過驗證過程中數(shù)與形的結合，體會數(shù)形結合的思想以及數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。3通過豐富有趣的拼圖活動，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計算、推理交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達的能力，獲得一些研究問題的方法與經(jīng)驗。情感與態(tài)度目標：1. 通過豐富有趣的拼圖活動增強對數(shù)學學習的興趣；通過探究總結活動，讓學生獲得成功的體 驗和克服困難的經(jīng)歷，增進數(shù)學學習的信心；在合作學習活動中發(fā)展學生的合作交流的意識和能力。教學重點：1通過綜合

18、運用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。2通過拼圖驗證勾股定理的過程，使學習獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗。教學難點：1利用“五巧板”拼出不同圖形進行驗證勾股定理。2利用數(shù)形結合的方法驗證勾股定理。教學準備：剪刀、雙面膠、硬紙板、直尺（或三角板）、鉛筆、多媒體課件。三、教學過程設計本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)驗證方法的收集與整理第二環(huán)節(jié)驗證過程的分析與欣賞第三環(huán)節(jié)嘗試拼圖，驗證定理第四環(huán)節(jié)練習提升第五環(huán)節(jié)勾股定理的文化價值第六環(huán)節(jié)小結反思第七環(huán)節(jié)課題拓展第一環(huán)節(jié)驗證方法的收集與整理<一>課前自主探究活動具體的做法是：請各個學習小組從網(wǎng)絡或書籍

19、上，盡可能多地尋找和了解驗證勾股定理的方法，并填寫探究報告：勾股定理證明方法匯總方法種類及歷史背景驗證定理的具體過程知識運用及思想方法   意圖：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。同時勾股定理是世界上證法最多的定理，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，希望學生能從這些證明方法中學習到一些重要的數(shù)學方法、數(shù)學思想。鼓勵同學們作為新時期的學習者，也能探索出自己的證明方法，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。學生活動需注意的地方：上這節(jié)課前一個星

20、期教師布置給學生以下活動：查有關勾股定理的資料（可上網(wǎng)查，也可查閱報刊、書籍）.實行“小組合作制”，各小組中自己推薦一人擔任“發(fā)言人”，一人擔任“書記員”，在小組結束后，由小組的“發(fā)言人”匯報本小組的結果，提前兩三天由幾位學生匯總(教師可適當指導)?？衫谩岸嗝襟w視頻展示臺”展示本組找到的證明方法，其他小組給予評價，這樣既保證討論的有效性，也調動了學生的學習積極性。<二>探究成果的交流與展示以下是學生搜集的勾股定理的證明方法:1.趙爽證明2.1876年美國總統(tǒng)Garfield證明3.意大利著名畫家達·芬奇的證法4.畢達哥拉斯5.青朱出入圖6.在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)

21、的一種拼圖證明7.歐幾里得證明.意圖：使學生在上這節(jié)課時就對勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學生認識到勾股定理的重要性，學習勾股定理是非常必要的，激發(fā)學生的學習興趣，同時，這一活動，也是一次對學生進行愛國主義教育、培養(yǎng)民族自豪感的好機會，可以激勵他們奮發(fā)向上，同時培養(yǎng)他們的自學能力、歸類總結等能力。第二環(huán)節(jié) 驗證過程的分析與欣賞 內(nèi)容：教師引導學生對收集的驗證方法進行歸類整理：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關系。第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，“無字證明”

22、分三種類型：意圖：適當?shù)臍w類整理有助于學生提高對有關驗證方法的認識，加深學生的理解。第三環(huán)節(jié) 嘗試拼圖，驗證定理內(nèi)容：五巧板的制作（動手操作，合作探究）·教師介紹“五巧板”的制作方法，學生拿出準備好的硬紙板制作“五巧板”。·步驟：做一個RtABC，以斜邊AB為邊向內(nèi)做正方形ABDE，并在正方形內(nèi)畫圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分。沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。1利用五巧板拼“青朱出入圖”。2取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方形，將另外一幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？3用上面的兩幅五巧板，還可拼

23、出其它圖形，你能驗證勾股定理嗎？4利用五巧板還能通過怎樣拼圖來驗證勾股定理？ abcbc可能的拼圖方案：bca意圖：通過前面的展示，學生可能已經(jīng)基本理解了所謂的“無字證明”，但沒有通過親身的體驗，可能仍有相當數(shù)量的學生難以認同，甚至部分學生可能還存在一定的懷疑，為此利用五巧板拼圖證明勾股定理，力圖通過學生的親身實驗進一步確認“無字證明”的驗證方法。活動注意事項：注意給學生提供充分的實踐、探索和交流的時間，鼓勵他們積極思考解決問題的方法，并與他人進行合作與交流；在學生活動時，教師需要及時了解學生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗證勾股定理的情況，并對部分小組或學生進行適當?shù)闹笇?。最后需要對這些方法進行

24、適當?shù)男〗Y與提升：以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形結合的思想方法，其中第一、三種類型還與拼圖有著密切的關系。第四環(huán)節(jié)練習提升1.議一議:觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2_b_a_a_c_b_c2.一個直角三角形的斜邊為20cm ,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關系呢？學生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2。通過這個結論，學生將對直角三角形三邊的關系有進一步的認識，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎。第五環(huán)節(jié) 勾股定理的文化價值(1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學中數(shù)與形的第一定理。(2) 勾