北師大九年下學(xué)案

1、第一章 直角三角形的邊角關(guān)系§1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）學(xué)習(xí)目標(biāo):1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.學(xué)習(xí)重點(diǎn):1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.學(xué)習(xí)難點(diǎn):理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.學(xué)習(xí)方法:引導(dǎo)探索法.學(xué)習(xí)過程:一、生活中的數(shù)學(xué)問題:1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？2、生活問題數(shù)學(xué)化：如圖：梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？以

2、下三組中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？二、直角三角形的邊與角的關(guān)系（如圖，回答下列問題）RtAB1C1和RtAB2C2有什么關(guān)系?有什么關(guān)系？如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?由此你得出什么結(jié)論?三、例題：例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?例2、在ABC中，C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、隨堂練習(xí)：1、如圖，ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎?2、如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn)B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001)3、若某

3、人沿坡度i3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高_(dá)米.4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為，則tan_.5、如圖，RtABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結(jié)果保留根號) 五、課后練習(xí)：1、在RtABC中,C=90°,AB=3,BC=1,則tanA= _.2、在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=_.3、在ABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=_.4、在RtABC中,C是直角

4、,A、B、C的對邊分別是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如圖,在菱形ABCD中,AEBC于E,EC=1,tanB=, 求菱形的邊長和四邊形AECD的周長.7、已知:如圖,斜坡AB的傾斜角a,且tan=,現(xiàn)有一小球從坡底A處以20cm/s 的速度向坡頂B處移動,則小球以多大的速度向上升高?8、探究: 、a克糖水中有b克糖(a>b>0),則糖的質(zhì)量與糖水質(zhì)量的比為_; 若再添加c克糖(c>0),則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量的比為_.生活常識告訴我們: 添加的糖完全溶解后,糖水會更甜,請根據(jù)所列式子

5、及這個生活常識提煉出一個不等式: _. 、我們知道山坡的坡角越大,則坡越陡,聯(lián)想到課本中的結(jié)論:tanA的值越大, 則坡越陡,我們會得到一個銳角逐漸變大時,它的正切值隨著這個角的變化而變化的規(guī)律,請你寫出這個規(guī)律:_. 、如圖,在RtABC中,B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延長BA、BC,使AE=CD=c, 直線CA、DE交于點(diǎn)F,請運(yùn)用(2) 中得到的規(guī)律并根據(jù)以上提供的幾何模型證明你提煉出的不等式.§1.1從梯子的傾斜程度談起（第二課時）學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義. 2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三

6、角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算. 4.理解銳角三角函數(shù)的意義.學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.學(xué)習(xí)方法： 探索交流法.學(xué)習(xí)過程：一、正弦、余弦及三角函數(shù)的定義想一想：如圖(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2) 有什么關(guān)系? 呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?

7、請討論后回答.二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系：三、例題：例1、如圖，在RtABC中，B=90°，AC200.sinA0.6，求BC的長.例2、做一做：如圖，在RtABC中，C=90°，cosA，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請用一般式表達(dá).四、隨堂練習(xí)：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在ABC中，C90°，sinA，BC=20，求ABC的周長和面積.3、在ABC中.C=90°，若tanA=，則sinA= .4、已知：如圖，C

8、D是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC2AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明)五、課后練習(xí)：1、在RtABC中, C=90°,tanA=,則sinB=_,tanB=_.2、在RtABC中,C=90°,AB=41,sinA=,則AC=_,BC=_.3、在ABC中,AB=AC=10,sinC=,則BC=_.4、在ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列結(jié)論正確的是( ) A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=5、如圖,在ABC中,C=90°,sinA=,則等于( )A. B. C. D.6、RtABC中,C=90&

9、#176;,已知cosA=,那么tanA等于( )A. B. C. D.7、在ABC中，C=90°,BC=5,AB=13,則sinA的值是A B C D8、已知甲、乙兩坡的坡角分別為、, 若甲坡比乙坡更徒些, 則下列結(jié)論正確的是( ) A.tan<tan B.sin<sin; C.cos<cos D.cos>cos9、如圖,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等于sinA的是( ) A. B. C. D.10、某人沿傾斜角為的斜坡前進(jìn)100m,則他上升的最大高度是( )m A. B.100sin C. D. 100cos11、如圖,分別求,

10、的正弦,余弦,和正切.12、在ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在RtABC中,BCA=90°,CD是中線,BC=8,CD=5.求sinACD,cosACD和tanACD.14、在RtABC中,C=90°,sinA和cosB有什么關(guān)系?15、如圖,已知四邊形ABCD中,BC=CD=DB,ADB=90°,cosABD=.求：sABD：sBCD§1.2 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)

11、值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義. 2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算. 3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值. 2.能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算. 3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.學(xué)習(xí)方法： 自主探索法學(xué)習(xí)過程：一、問題引入問題為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：含30°

12、;和60°兩個銳角的三角尺；皮尺.請你設(shè)計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.二、新課問題 1、觀察一副三角尺，其中有幾個銳角?它們分別等于多少度?問題 2、sin30°等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.問題 3、cos30°等于多少?tan30°呢?問題 4、我們求出了30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角45°、60°，它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的?結(jié)論：三角函數(shù)角度sincotan30°45°60°例1計算：(1)sin30°+cos45°； (2

13、)sin260°+cos260°-tan45°.例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)果精確到0.01 m)三、隨堂練習(xí)1.計算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) sin45°+sin60°-2cos45°； ；(+1)-1+2sin30°-； (1+)0-1-sin30°1+()-1；sin60

14、76;+； 2-3-(+)0-cos60°-.2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°.高為7 m，扶梯的長度是多少?3如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高ABCD=30 m，兩樓問的距離AC=24 m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高?(精確到0.1 m，1.41，1.73)四、課后練習(xí)：1、RtABC中，則；2、在ABC中，若,，則，面積S ；3、在ABC中，AC：BC1：，AB6，B，ACBC4、等腰三角形底邊與底邊上的高的比是，則頂角為 （）（A）600 （B）900（C）1200（D）15005、

15、有一個角是的直角三角形，斜邊為，則斜邊上的高為 （）（A） （B） （C） （D）6、在中，若，則tanA等于（ ） （A） （B） （C） （D）7、如果a是等邊三角形的一個內(nèi)角，那么cosa的值等于（ ） （A） （B） （C） （D）18、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要（ ） （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元9、計算：、 、 、 、 、·tan60° 、10、請設(shè)計一種方案計算tan15°的值。§1.4 船有觸礁的危險嗎

16、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用. 2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.學(xué)習(xí)方法： 探索發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)過程：一、問題引入：海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨

17、輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.二、解決問題：1、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1 m)2、某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4 m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m)三、隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB5 m，現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固

18、另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?2.如圖,水庫大壩的截面是梯形ABCD.壩頂AD6m，坡長CD8m.坡底BC30m，ADC=135°. (1)求ABC的大?。?(2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3)3如圖，某貨船以20海里時的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1)問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由. (2)為避免受到臺風(fēng)的

19、影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：1.4， 1.7)四、課后練習(xí)：1. 有一攔水壩是等腰樓形,它的上底是6米,下底是10米,高為2米,求此攔水壩斜坡的坡度和坡角.2.如圖,太陽光線與地面成60°角,一棵大樹傾斜后與地面成36°角, 這時測得大樹在地面上的影長約為10米,求大樹的長(精確到0.1米).3.如圖,公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯,且QPN=30°,點(diǎn)A處有一所學(xué)校,AP=160米,假設(shè)拖拉機(jī)行駛時,周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN的方向行駛時 ,學(xué)校是否會受到噪聲影響?請說明理由.4.如圖,某地為響應(yīng)市政府“形

20、象重于生命”的號召,在甲建筑物上從點(diǎn)A到點(diǎn)E掛一長為30米的宣傳條幅,在乙建筑物的頂部D點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角為40°,測得條幅底端E的俯角為26°,求甲、乙兩建筑物的水平距離BC的長(精確到0.1米).5.如圖,小山上有一座鐵塔AB,在D處測得點(diǎn)A的仰角為ADC=60°,點(diǎn)B的仰角為BDC=45°在E處測得A的仰角為E=30°,并測得DE=90米, 求小山高BC 和鐵塔高AB(精確到0.1米).6.某民航飛機(jī)在大連海域失事,為調(diào)查失事原因,決定派海軍潛水員打撈飛機(jī)上的黑匣子,如圖所示,一潛水員在A處以每小時8海里的速度向正東方向劃行,在A處

21、測得黑匣子B在北偏東60°的方向,劃行半小時后到達(dá)C處,測得黑匣子B在北偏東30 °的方向,在潛水員繼續(xù)向東劃行多少小時,距離黑匣子B最近,并求最近距離.7.以申辦2010年冬奧會,需改變哈爾濱市的交通狀況,在大直街拓寬工程中, 要伐掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以B為圓心,半徑與AB等長的圓形危險區(qū),現(xiàn)在某工人站在離B點(diǎn)3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂點(diǎn)A的仰角為60°,樹的底部B點(diǎn)的俯角為30°, 如圖所示,問距離B點(diǎn)8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險區(qū)內(nèi)?8.如圖,某學(xué)校為了改變辦學(xué)條件,計劃在甲教學(xué)樓的正北方21米處的一塊空地上(BD=21米),再建一幢與甲教學(xué)等高

22、的乙教學(xué)樓(甲教學(xué)樓的高AB=20米),設(shè)計要求冬至正午時,太陽光線必須照射到乙教學(xué)樓距地面5米高的二樓窗口處, 已知該地區(qū)冬至正午時太陽偏南,太陽光線與水平線夾角為30°,試判斷: 計劃所建的乙教學(xué)樓是否符合設(shè)計要求?并說明理由.9.如圖,兩條帶子,帶子的寬度為2cm,帶子b的寬度為1cm,它們相交成角,如果重疊部分的面積為4cm2,求的度數(shù).1.5 測量物體的高度1.下表是小明同學(xué)填寫活動報告的部分內(nèi)容:課題在兩岸近似平行的河段上測量河寬測量目標(biāo)圖示測得數(shù)據(jù)CAD=60°,AB=30m,CBD=45°,BDC=90°請你根據(jù)以上的條件,計算出河寬CD

23、(結(jié)果保留根號).2.下面是活動報告的一部分, 請?zhí)顚憽皽y得數(shù)據(jù)”和“計算”兩欄中未完成的部分.課題測量旗桿高測量示意圖測得數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值BD的長24.19m23.97m測傾器的高CD=1.23mCD=1.19m傾斜角a=31°15a=30°45a=31°計算旗桿高AB(精確到0.1m)3.學(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后, 某校九年級數(shù)學(xué)老師布置一道利用測傾器測量學(xué)校旗桿高度的活動課題,下表是小明同學(xué)填寫的活動報告,請你根據(jù)有關(guān)測量數(shù)據(jù), 求旗桿高AB(計算過程填在下表計算欄內(nèi),用計算器計算).活動報告課題利用測傾器測量學(xué)校旗桿的高測量示意圖測量數(shù)據(jù)BD的長BD

24、=20.00m測傾器的高CD=1.21m傾斜角=28°計算旗桿高AB的計算過程(精確到0.1m)4.某市為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展,計劃修建跨河大橋,需要測出河的寬度AB, 在河邊一座高度為300米的山頂觀測點(diǎn)D處測得點(diǎn)A,點(diǎn)B的俯角分別為=30°,=60°, 求河的寬度(精確到0.1米) 5.為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度, 學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索: 實(shí)踐一:根據(jù)自然科學(xué)中光的反射定律,利用一面鏡子和一根皮尺, 設(shè)計如圖(1)的測量方案:把鏡子放在離樹(AB)8.7(米)的點(diǎn)E處,然后沿著直線BE 后退到點(diǎn)D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A,再用皮尺量得

25、DE=2.7米,觀察者目高CD=1.6米,請你計算 樹AB的高度(精確到0.1米) 實(shí)踐二:提供選用的測量工具有:皮尺一根;教學(xué)用三角板一副;長為2. 5米的標(biāo)桿一根;高度為1.5米的測角儀一架,請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案, 回答下列問題: (1)在你設(shè)計的方案中,選用的測量工具是_. (2)在圖(2)中畫出你的測量方案示意圖; (3)你需要測得示意圖中哪些數(shù)據(jù),并分別用a,b,c,等表示測得的數(shù)據(jù)_. (4)寫出求樹高的算式:AB=_. 6.在1:50000的地圖上,查得A點(diǎn)在300m的等高線上,B點(diǎn)在400m的等高線上, 在地圖上量得AB的長為2.5cm,若要在A、B之間建一條索道,那么纜索

26、至少要多長? 它的傾斜角是多少?(說明:地圖上量得的AB的長,就是A,B兩點(diǎn)間的水平距離AB,由B向過A 且平行于地面的平面作垂線,垂足為B,連接AB,則A即是纜索的傾斜角.)300350400AB 7、為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索：AB太陽光線CDE實(shí)踐一：根據(jù)自然科學(xué)中的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如右示意圖的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）8.7米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這是恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=2.7米，觀察者目高CD=1.6米，請你計算樹（AB）的高度（精確到0.1米）AB實(shí)踐二：提供選用的測量

27、工具有：皮尺一根；教學(xué)用三角板一副；長為2.5米的標(biāo)桿一根；高度為1.5米的測角儀（能測量仰角、俯角的儀器）一架。請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案，回答下列問題：（1）在你設(shè)計的方案中，選用的測量工具是（用工 具的序號填寫） （2）在右圖中畫出你的測量方案示意圖；（3）你需要測得示意圖中的哪些數(shù)據(jù)，并分別用a、b、c、等表示測得的數(shù)據(jù)： （4）寫出求樹高的算式：AB= 第一章回顧與思考1、等腰三角形的一腰長為，底邊長為，則其底角為（ ）A B C D 2、某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度，壩外斜坡的坡度，則兩個坡角的和為 （ ）A B C D 3、如圖，在矩形ABCD中，DEAC于E，設(shè)ADE

28、=，且, AB = 4, 則AD的長為（ ） （A）3 （B） （C） （D）4、在課外活動上，老師讓同學(xué)們做一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450，則對角線所用的竹條至少需（ ） （A） （B）30cm （C）60cm （D）5、如果是銳角，且，那么 º6、如圖，在坡度為1：2的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是 米7、如圖,P是的邊OA上一點(diǎn), 且P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),則= ,=_. 8、支離旗桿20米處的地方用測角儀測得旗桿頂?shù)难鼋菫?，如果測角儀高為1.5米那么旗桿的有為 米（用含的三角比表示）9、在Rt中AB，CM是斜邊AB上的中線，將沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，如果CD恰好與AB垂直，那么A等于 度10、如圖，某公路路基橫斷面為等腰梯形.按工程設(shè)計要求路面寬度為10米，坡角為，路基高度為5.8米，求路基下底寬（精確到0.1米）. 11、“曙光中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC