多元函數(shù)積分學(xué)下

1、這里為半圓與軸圍成的區(qū)域，其面積為例 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段分析：由于被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)，用第一種方法無(wú)法求出，所以應(yīng)選第二種方法解：記，則，（）添加方程為的曲線弧，則為閉曲線（如圖所示），于是 評(píng)注：此題添加的線段也可以選擇平行于坐標(biāo)軸的折線三、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題 曲線積分是否與路徑無(wú)關(guān) 若，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)或有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，判斷曲線積分在內(nèi)是否與路徑無(wú)關(guān)常有下列方法：法一：如存在內(nèi)一條簡(jiǎn)單閉曲線，使，則曲線積分與路徑有關(guān)；法二：如存在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，則曲線積分與路徑有關(guān)；法三：如是單連域，且在內(nèi)恒有，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；法四：如存在，使得在內(nèi)恒有

2、，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；法五：設(shè)存在單連域，使得且，而且存在內(nèi)的一條包含點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線，使，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 在下列區(qū)域上是否與路徑無(wú)關(guān)？ ； 解：記，則， 不是單連通區(qū)域，則不是在區(qū)域上與路徑無(wú)關(guān)充分必要條件事實(shí)上，若取曲線，逆時(shí)針?lè)较?，則 因此在區(qū)域上不與路徑無(wú)關(guān)； 是單連通區(qū)域，則是在區(qū)域上與路徑無(wú)關(guān)充分必要條件因此區(qū)域上是與路徑無(wú)關(guān) 設(shè)（1） 求，其中為以原點(diǎn)為圓心半徑為2的圓周，取逆時(shí)針?lè)较颍?） 分別在與且時(shí)討論積分是否與路徑無(wú)關(guān)解：（1）=令方向逆時(shí)針上式=（2）不難求得（且），并且在或且時(shí)都連續(xù)而是為單連通區(qū)域，所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；當(dāng)且卻不是單連通區(qū)域，故不一定與路徑無(wú)

3、關(guān)又由（1）知，所以一定與路徑有關(guān) 求解已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題 此類(lèi)問(wèn)題一般是利用來(lái)完成任務(wù)的例 確定的值，使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求當(dāng)分別為時(shí)，此曲線積分的值解：由于與路徑無(wú)關(guān)，所以從而 ，所以因此所求曲線積分 設(shè)在平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并對(duì)任意恒有，求解：由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件得 從而可得 又 由題設(shè)條件知=，可得 ， 從而故 四、關(guān)于原函數(shù)的討論 原函數(shù)是否存在 此類(lèi)問(wèn)題完全等價(jià)于曲線積分是否與路徑無(wú)關(guān) 問(wèn)在下列區(qū)域上是否是某二元函數(shù)的全微分？ 域 域解：記，則 是單連通區(qū)域，且在內(nèi)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且在內(nèi)恒有，所以在域內(nèi)是某二元函數(shù)的全微分； 域不

4、是單連域，令表示全平面，則是單連域，且設(shè)，方向逆時(shí)針，則是內(nèi)的包含原點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，而且 所以在域內(nèi)是某二元函數(shù)的全微分 求的原函數(shù) 選擇，使是某一函數(shù)的全微分，并求解：由于，在整個(gè)平面上都有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，所以它是某一函數(shù)全微分的充分必要條件為 即 ，所以 確定常數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求解：由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?， 顯然當(dāng)時(shí)，與都連續(xù)，由混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件可得特別令可得：，所以從而記，則 五、曲線積分的應(yīng)用 求八分之一球面的邊界曲線的質(zhì)心，設(shè)曲線的線密度為解：設(shè)邊界曲線在坐標(biāo)平面上的弧段分別為記曲線的質(zhì)心為，由計(jì)算公式知，其中，由于，從而同理 又因?yàn)樵谏虾?/p>

5、有，所以，因此故 由對(duì)稱(chēng)性知，即重心坐標(biāo)為 質(zhì)點(diǎn)沿著以為直徑的半圓周（在線段的右下方），從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中受到變力的作用，的大小等于點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，其方向垂直于，且與軸正向夾角小于，求變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功解：變力沿曲線弧段從點(diǎn)到點(diǎn)所作的功為 ，其中此題關(guān)鍵是把變力的表達(dá)式寫(xiě)出設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以與垂直的向量應(yīng)為，由題設(shè)知，所以，又與軸正向夾角小于，所以，因此從而 于是六、曲線積分證明題 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)光滑曲線弧的長(zhǎng)度為，證明 ，其中證明：設(shè)光滑曲線弧上任一點(diǎn)處的單位切向量為，則，（其中）所以 設(shè)為正值連續(xù)函數(shù)，為取逆時(shí)針?lè)较?，證明 證明：根據(jù)格林公式 又由于區(qū)域是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的，所以利用

6、對(duì)稱(chēng)性可得 ，從而有 所以，故 例6.3.24 設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的都有證明：對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有分析：利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件解： 等式兩端對(duì)求導(dǎo)得上式中令，則.設(shè)，則， 則由可得 .故由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有七、其它例 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)（I）證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式分析： 證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將進(jìn)行分解討論

7、；而（II）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)即可解：（I）如圖，將分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有 . 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而 §6.4 曲面積分本節(jié)重點(diǎn)是計(jì)算兩類(lèi)曲面積分、高斯公式、斯托克斯公式 ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、對(duì)面積的曲面積分（第一類(lèi)曲面積分）1對(duì)面積的曲面積分的概念 定義定義：設(shè)曲面是光滑的（或分片光滑的），函數(shù)在上有界，把任意分成小片，設(shè)第小片的面積為，在第小片上任取一點(diǎn)，作乘積（），并作和如果當(dāng)各小片曲面的直徑的最大者時(shí)，該和的極限總

8、存在（與曲面的分法及點(diǎn)的取法均無(wú)關(guān)），則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在上對(duì)面積的曲面積分或第一類(lèi)曲面積分，記作，即 基本性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)類(lèi)似于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)2對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 利用化簡(jiǎn)計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的化簡(jiǎn)方法有兩種 利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn),有下列三個(gè)命題命題1：如果積分曲面關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則其中為曲面被平面分出來(lái)的一部分命題2：如果積分曲面關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則其中為曲面被平面分出來(lái)的一部分命題3：如果積分曲面關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則其中為曲面被平面分出來(lái)的一部分 將積分曲面的方程代入被積函數(shù)化簡(jiǎn) 利用二重積分計(jì)算設(shè)積分曲面由方程給出，在平面上投影區(qū)域?yàn)椋瘮?shù)在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)在上連續(xù)，則 利

9、用三重積分計(jì)算例4.1 計(jì)算 ，其中是曲面解：由于曲面關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)、分別關(guān)于變量、是奇函數(shù)，所以由對(duì)稱(chēng)性可得 于是 （因?yàn)樵谏希├?.2 計(jì)算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分解：曲面的單值方程為 則面積元素 在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋河谑怯?對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用 設(shè)曲面形的物體，在空間占有一片曲面，其上任一點(diǎn)的面密度為，假定在上連續(xù)，則 該物體的質(zhì)量為： 該物體質(zhì)心坐標(biāo)為： ， ， 該物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類(lèi)曲面積分）1對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念 定義定義：設(shè)是光滑的（或分片光滑的）有向曲面，函數(shù)在上有界，把

10、任意分成小片，設(shè)第小片在平面上的投影為，在第小片上任取一點(diǎn)，作乘積（），并作和如果當(dāng)各小片曲面的直徑的最大者時(shí)，該和的極限總存在（與曲面的分法及點(diǎn)的取法均無(wú)關(guān)），則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，記作，即 類(lèi)似地 一般地 基本性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)類(lèi)似于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)，如若把分成，則 設(shè)是有向曲面，是和取相反側(cè)的有向曲面，則 2對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 利用二重積分計(jì)算用二重積分計(jì)算的步驟 （一代）將積分曲面的方程表示為形如的單值函數(shù)； （二投）將積分曲面向平面投影，得投影區(qū)域； （三定號(hào)）轉(zhuǎn)換為二重積分 當(dāng)有向曲面的法向量與軸正方向的夾角為銳角時(shí)，則 當(dāng)有向曲面的法向

11、量與軸正方向的夾角為鈍角時(shí)，則 當(dāng)有向曲面的法向量與軸正方向的夾角為直角時(shí)，則 類(lèi)似，可計(jì)算， 利用三重積分計(jì)算借助高斯公式，把第二類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分計(jì)算 轉(zhuǎn)換為第一類(lèi)曲面積分計(jì)算例4.3 計(jì)算，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)分析：計(jì)算第二類(lèi)曲面積分，按“一代、二投、三定號(hào)”的法則，化為二重積分計(jì)算解：由于的法向量與軸垂直，所以 的方程為單值函數(shù)，在平面上的投影域，而的法向量與軸正向夾角為銳角，所以 的方程為單值函數(shù)，在平面上的投影域，而的法向量與軸正向夾角為銳角，所以 于是3第二類(lèi)曲面積分的應(yīng)用設(shè)有矢量場(chǎng)，沿逐片光滑有向曲面的通量為 三、高斯公式與斯托克斯公式1高斯

12、公式定理：設(shè)為空間有界閉域，為的邊界曲面，方向取外側(cè)，如果，在上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則必有 例4.4 計(jì)算曲面積分，其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)分析：積分曲面封閉且方向取外側(cè)，又，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以滿足高斯公式的條件，用高斯公式計(jì)算此曲面積分解：由高斯公式可得 由三重積分的對(duì)稱(chēng)性可知 所以2斯托克斯公式定理：如果曲線為曲面的邊界曲線，為分段光滑的空間有向閉曲線，為逐片光滑的有向曲面，且的方向與的側(cè)（即法向量的指向）符合右手規(guī)則又在包含在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 例4.5 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分，其中為平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界，它的正

13、向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手法則解：記是平面在第一卦限部分取上側(cè)按斯托克斯公式，有 由于的法向量，所以于是四、兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系設(shè)為有向曲面，為上任一點(diǎn)，為在點(diǎn)的單位法向量，則 ?？碱}型及其解法與技巧一、計(jì)算第一類(lèi)曲面積分 利用化簡(jiǎn)計(jì)算 設(shè)曲面，則：（1）；（2）； （3）解：曲面關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都是對(duì)稱(chēng)的由于函數(shù)是的奇函數(shù)，利用對(duì)稱(chēng)性可得；將方程代入被積函數(shù)可得；由于方程中的有輪換對(duì)稱(chēng)性，所以 故 利用二重積分計(jì)算將第一類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分的一般步驟如下： 將積分曲面的方程用單值函數(shù)表（不妨設(shè)積分曲面的單值函數(shù)表達(dá)形式為）； 根據(jù)積分曲面單值函數(shù)的表達(dá)形式，求出積分曲面在相應(yīng)

14、坐標(biāo)面上的投影區(qū)域（在上表達(dá)形式下，需向平面投影，得到投影域）； 根據(jù)積分曲面單值函數(shù)的表達(dá)形式，求出相應(yīng)的面積元素（在上表達(dá)形式下，面積元素為）； 將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分并計(jì)算例 計(jì)算，其中為上半平面（解：將積分曲面的方程表示成單值函數(shù)為：，積分曲面在平面上的投影域?yàn)椋?，面積元素為： 所以= 例 計(jì)算，其中為曲面被平面所截下的有限部分解：令為在第一卦限的部分，則由第一類(lèi)曲面積分的對(duì)稱(chēng)性可得 由于，它在平面上的投影域?yàn)椋涿娣e元素為 所以 例 計(jì)算，其中是由與所圍立體的表面解：記在曲面上的部分為，在曲面上部分為，則 ：，在平面上投影域，；：，在平面上投影域， 利用三重積分計(jì)算當(dāng)積分曲面是封閉

15、曲面且沒(méi)有具體方程（或被積函數(shù)沒(méi)有具體表達(dá)式），此類(lèi)第一類(lèi)曲面積分一定轉(zhuǎn)化為第二類(lèi)來(lái)完成解題思路為：利用兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系化為第二類(lèi)曲面積分；利用高斯公式將第二類(lèi)曲面積分化為三重積分；計(jì)算三重積分例 設(shè)函數(shù)在球面所包圍的閉區(qū)域上有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足關(guān)系式 若為外法線方向的單位向量，計(jì)算解：設(shè)，則，所以，由高斯公式可得 二、計(jì)算第二類(lèi)曲面積分 積分曲面為非封閉曲面此類(lèi)第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算常用下列方法：法一：直接化為二重積分計(jì)算；法二：轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)曲面積分計(jì)算；法三：添加一個(gè)有向曲面，它與原曲面構(gòu)成一個(gè)封閉曲面（需與原曲面有相同的方向），然后借助高斯公式，利用三重積分計(jì)算（一般常取與坐標(biāo)面平行

16、的平面）評(píng)注：若三個(gè)被積函數(shù)至少有兩個(gè)不為零，常選用法三； 若三個(gè)被積函數(shù)至少有兩個(gè)不為零，且積分曲面為平面，一般選用法二例 計(jì)算，其中為球面的外側(cè)位于的部分解：用平面將分成上、下兩部分，分別記為，方程為，在平面上投影域?yàn)?，方程為，在平面上投影域?yàn)?，所?例 計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分上側(cè)分析：由于積分曲面為平面，且三個(gè)函數(shù)都不為零，所以化為第一類(lèi)曲面積分計(jì)算解：因?yàn)闉槠矫嬖诘谒呢韵薏糠稚蟼?cè)，所以法向量為從而 例 計(jì)算，為錐面被平面所截部分的外側(cè)解：上任意點(diǎn)的外法線向量為 所以由于積分曲面關(guān)于坐標(biāo)面都是對(duì)稱(chēng)的，利用對(duì)稱(chēng)性可得 由于的方程為，它在平面上的投影域?yàn)椋娣e元素為 因此

17、 例 計(jì)算，其中為曲面的下側(cè)解：添加曲面，其法向量與軸正向相同，則為閉曲面，它們圍成的閉區(qū)域記為，由高斯公式得 積分曲面為封閉曲面此類(lèi)第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算常用下列方法：法一：直接化為二重積分計(jì)算（不能用高斯公式時(shí)）；法二：借助高斯公式用三重積分計(jì)算（一定要檢驗(yàn)高斯公式的條件是否滿足）評(píng)注：若在包圍的有界閉域上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則直接使用高斯公式；若在包圍的有界閉域內(nèi)除點(diǎn)外，有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，此時(shí)可以在內(nèi)作一包含的封閉曲面“挖掉”，在上用高斯公式，然后計(jì)算上的曲面積分例 計(jì)算，其中為球面的外側(cè)解：這里，在內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，故由高斯公式可得： 例 計(jì)算，其中為不穿過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑閉曲面，取外

18、側(cè)解：記圍成的區(qū)域?yàn)檫@里，且 ，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，由高斯公式可得 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)除外有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，作曲面，方向取外側(cè)則 例 計(jì)算其中為錐面與平面所圍立體表面外側(cè)解：由于在所圍的區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（軸上的點(diǎn)），所以不能用高斯公式，只能利用二重積分計(jì)算令為在錐面上部分外側(cè)，它在平面上的投影域?yàn)?令為在平面上部分取上側(cè)，它在平面上的投影域?yàn)榱顬樵谄矫嫔喜糠秩∠聜?cè)，它在平面上的投影域?yàn)閯t三、空間曲線上第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算 此類(lèi)曲線積分的計(jì)算常用下列方法：法一：利用定積分計(jì)算，前提是，易找到的參數(shù)式方程，并且所化成的定積分容易計(jì)算；法二：借助斯托克斯公式用第二類(lèi)曲面積分計(jì)算例 計(jì)算曲線積

19、分，其中是沿螺線，從到的有向曲線段解：用定積分計(jì)算由于當(dāng)對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)，所以 +例 計(jì)算曲線積分其中是曲線從z軸正向往z軸負(fù)向看的方向是順時(shí)針的解法一：令 則，當(dāng)對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，當(dāng)對(duì)應(yīng)終點(diǎn)于是解法二：設(shè)是平面上以為邊界的有限部分，其法向量與z軸正向的夾角為鈍角，為在面上的投影區(qū)域利用斯托克斯公式知 四、曲面積分的用應(yīng)例 設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，球面在定球內(nèi)部的那部分的面積最大解：不妨認(rèn)為球面的球心在，于是的方程為在定球面內(nèi)的部分必在的下半個(gè)面中，故其方程為下求兩個(gè)平面的交線在平面上的投影曲線由所以?xún)蓚€(gè)平面的交線在平面上的投影曲線為記曲線圍成的區(qū)域?yàn)?，于是在定球?nèi)部的面積 經(jīng)計(jì)算

20、，所以由于，命是唯一的駐點(diǎn)，又，所以當(dāng)時(shí)最大例 求一段均勻圓柱面對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力解：設(shè)引力，由對(duì)稱(chēng)性知因此只需求沿軸的分量的大小便可在圓柱面上任一點(diǎn)處取一小片曲面微元，則此小片曲面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為記為在平面前方的部分，由對(duì)稱(chēng)性可得而方程為，面積元素為所以例 設(shè)密度為1的流體的流速，曲面是由曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，其法向量與軸正向夾角為銳角，求單位時(shí)間內(nèi)流體流向曲面正側(cè)的流量解：旋轉(zhuǎn)面的方程為： 令是平面在內(nèi)的部分取上側(cè)，是平面在內(nèi)的部分取下側(cè) 知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)測(cè)試一、選擇題1設(shè)為區(qū)間的正值連續(xù)函數(shù)，為任意常數(shù)，區(qū)域，則（A） （B） （C） （D） 2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，下列哪種情況必能

21、使成立（ ）和和 3設(shè)其中為連續(xù)的奇函數(shù)，是由所圍成的平面閉域則等于 4設(shè)函數(shù)連續(xù)，區(qū)域，則等于 5平面區(qū)域由圍成，若，則之間大小順序?yàn)?6設(shè)，則等于 7設(shè)連續(xù)，則=（ ） 8下列命題中不正確的是設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則在全平面與路徑無(wú)關(guān)設(shè)連續(xù)，則在全平面與路徑無(wú)關(guān)設(shè)在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，又，則在區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在區(qū)域上不是與路徑無(wú)關(guān)9設(shè)為球面，下列同一組的兩個(gè)積分均為零的是（ ）（A） （B）（C） （D）10設(shè)，為在第一卦限部分，則有（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題1交換積分的次序2交換積分次序，則3設(shè)，其中，則在極坐標(biāo)系下的二次積分為4設(shè)，其中，則在極坐標(biāo)系下的二次積分為5更換二

22、次積分的次序所得二次積分為6設(shè)（是常數(shù)），是全平面，則二重積分7設(shè)為閉區(qū)域，則8積分9已知區(qū)域，則10若為，為，而，則11給定面密度為的平面薄板，求薄板關(guān)于過(guò)的質(zhì)心和點(diǎn)的直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為12設(shè)為，則13若為球面與平面相交的圓，則14設(shè)曲線積分在（或）的區(qū)域內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān)，則15設(shè)為光滑有向閉曲線，它是光滑有向曲面的邊界，它們的方向符合右手法則，則 16設(shè)為上半橢球面，已知的面積為，則17向量穿過(guò)圓錐體的整個(gè)表面的流量為18曲面在點(diǎn)的切平面被柱面所截下的部分的面積為19設(shè)為球面的外側(cè)，則三、解答題1求，其中2求，其中 3計(jì)算，其中4計(jì)算56計(jì)算7計(jì)算，由所決定的區(qū)域8求，其中是由圓和所圍成的平

23、面區(qū)域9計(jì)算二重積分，其中積分域由的上半圓周、直線以及軸圍成 10計(jì)算 11計(jì)算12計(jì)算 13計(jì)算二重廣義積分，其中是第一象限內(nèi)曲線與之間的區(qū)域14計(jì)算15設(shè)區(qū)域由直線及軸及曲線圍成，求16設(shè)是曲線與直線圍成的平面區(qū)域，求17計(jì)算，其中由直線軸及曲線所圍成18計(jì)算，其中由圍成19計(jì)算三重積分，其中 20計(jì)算，其中是和的公共部分21計(jì)算，其中是由曲線繞周旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面與平面所圍成的形體22計(jì)算，其中為：23計(jì)算：I=24設(shè)為平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體區(qū)域，求；若又設(shè)為定值，問(wèn)怎樣取值時(shí)，最大，并求此最大值25設(shè)均勻物體由曲面與平面圍成求它對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)物體的密度為）26計(jì)算，其中為橢圓周27設(shè)，為圓周，取逆時(shí)針，求，其中為的外法線向量28計(jì)算，其中29計(jì)算，其中由到沿的上半圓周的一段弧30求曲線積分其中31計(jì)算曲線積分，其中為連接點(diǎn)與的線段下方的任意曲線，該曲線與線段圍成圖形的面積為232由A(-,-)到B(,-)的曲線弧33計(jì)算 34計(jì)算曲線積分，其中為正向閉路=135設(shè)是不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，試就的不同情況計(jì)算曲線積分：取正向36求一個(gè)可微函數(shù)滿足，并使曲線積分，及都與路徑無(wú)關(guān)37確定的值，使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求當(dāng)分別為時(shí)，此曲線積分的值38能否選取常數(shù)使得在區(qū)域上為某函數(shù)的全微分？若能求出39已知曲線積分為常