大學(xué)運籌學(xué)課程知識點總結(jié)

1、1. 用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出問題具有惟一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解還是無可行解。 2.將下述線性規(guī)劃問題化成標(biāo)準(zhǔn)形式。 （1） 解：令， 3.分別用圖解法和單純形法求解下述線性規(guī)劃問題，并對照指出單純形表中的各基可行解對應(yīng)圖解法中的可行域的哪個頂點。 解：圖解法：單純形法：將原問題標(biāo)準(zhǔn)化：Cj10500q對應(yīng)圖解法中的點CBBbx1x2x3x40x3934103O點0x4852018/5sj0105000x321/5014/51-3/53/2C點10x18/512/501/54sj-16010-25x23/2015/14-3/14B點10x1110-1/72/7sj35/200

2、-5/14-25/14最優(yōu)解為（1,3/2,0,0），最優(yōu)值Z=35/2。單純型法步驟：轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問題；找到一個初始可行解，列出初始單純型表；最優(yōu)性檢驗，求cj-zj，若所有的值都小于0，則表中的解便是最優(yōu)解，否則，找出最大的值的那一列，求出bi/aij，選取最小的相對應(yīng)的xij，作為換入基進行初等行變換，重復(fù)此步驟。 4.寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題。（1）（2）5. 給出線性規(guī)劃問題要求：（1）寫出其對偶問題；（2）已知原問題最優(yōu)解為，試根據(jù)對偶理論，直接求出對偶問題的最優(yōu)解。解：（1）（2）因為，第四個約束取等號，根據(jù)互補松弛定理得：求得對偶問題的最優(yōu)解為：，最優(yōu)值min w=

3、16。弱對偶性的推論：(1) 原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界(2) 如原問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)值無界(具有無界解)，則其對偶問題無可行解；反之對偶問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)值無界，則其原問題無可行解。注意：本點性質(zhì)的逆不成立，當(dāng)對偶問題無可行解時，其原問題或具有無界解或無可行解，反之亦然。(3) 若原問題有可行解而其對偶問題無可行解，則原問題目標(biāo)函數(shù)值無界；反之對偶問題有可行解而其原問題無可行解，則對偶問題的目標(biāo)函數(shù)值無界。強對偶性(或稱對偶定理) 若原問題及其對偶問題均具有可行解，則兩者均具有最優(yōu)解，且它們最

4、優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。互補松弛性在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中，如果對應(yīng)某一約束條件的對偶變量值為非零，則該約束條件取嚴(yán)格等式；反之如果約束條件取嚴(yán)格不等式，則其對應(yīng)的對偶變量一定為零。影子價格資源的市場價格是其價值的客觀體現(xiàn)，相對比較穩(wěn)定，而它的影子價格則有賴于資源的利用情況，是未知數(shù)。因企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化，資源的影子價格也隨之改變。影子價格是一種邊際價格。資源的影子價格實際上又是一種機會成本。隨著資源的買進賣出，其影子價格也將隨之發(fā)生變化，一直到影子價格與市場價格保持同等水平時，才處于平衡狀態(tài)。生產(chǎn)過程中如果某種資源未得到充分利用時，該種資源的影子價格為零；又當(dāng)資源的影子價格不

5、為零時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費完畢。影子價格反映單純形表中各個檢驗數(shù)的經(jīng)濟意義。一般說對線性規(guī)劃問題的求解是確定資源的最優(yōu)分配方案，而對于對偶問題的求解則是確定對資源的恰當(dāng)估價，這種估價直接涉及資源的最有效利用對偶單純型法：轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題；確定換入基變量，bi小于0中的最小的那一排，再求（cj-zj）/aij，且aij<0,找出最小值，這對應(yīng)的xi便是換入基，若所有的bi都大于0，則找到了最優(yōu)解7 下列表分別給出了各產(chǎn)地和各銷地的產(chǎn)量和銷量，以及各產(chǎn)地至各銷地的單位運價，試用表上作業(yè)法求最優(yōu)解。 注意要基可行解的個數(shù)一定是行列變量數(shù)減一銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A1414

6、68A212508A337514銷量656320解：（1）確定初始方案西北角法：銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A1628A2358A3134銷量656320最小元素法：銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A1538A2538A3134銷量656320沃格爾法：銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量行罰數(shù)12342125081162A337514124431銷量656320列罰數(shù)1211121131141 8.下表給出一個運輸問題及它的一個解，試問：（1）表中給出的解是否為最優(yōu)解？請用位勢法進行檢驗。（2）若價值系數(shù)C24由1變?yōu)?，所給的解是否仍為最優(yōu)解？若不是，請求出最優(yōu)解。（3）若所

7、有價值系數(shù)均增加1，最優(yōu)解是否改變？為什么？（4）若所有價值系數(shù)均乘以2，最優(yōu)解是否改變？為什么？銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A14146853A212611082A33751431銷量856322解：（1）銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量uiA141468053A2126110182A337514131銷量856322vj0140空格檢驗數(shù)為：460125所有檢驗數(shù)均大于等于零，該方案為最優(yōu)方案。（2）若價值系數(shù)C24由1變?yōu)?，66-2-145由于有檢驗數(shù)小于零，所以此方案不是最優(yōu)方案。5（-2）3（+2）8（+2）2（-2）3（-2）1（+2）調(diào)整為：358213空格檢驗數(shù)為：461225所

8、有檢驗數(shù)均小于等于零，該方案為最優(yōu)方案。（3）不改變，不影響檢驗數(shù)的大小。（4）不改變，不影響檢驗數(shù)的符號。解的最優(yōu)性檢驗：1.閉回路法：找各個非基變量的閉合回路，依次加減求檢驗數(shù)，是先減再加，若所有的檢驗數(shù)的值都全非負(fù)，那么此可行解是最優(yōu)解。2.位勢法（對偶變量法）：增加位勢列ui和位勢行vj；計算位勢，ui+vj=基可行解的對應(yīng)的運費，指定其中某一值為0，算出其他幾位的值，填入表中；計算檢驗數(shù)，某非基變量對應(yīng)的運費減對應(yīng)的位勢行和位勢列，若檢驗數(shù)全為非負(fù)，則為最優(yōu)解。（檢驗數(shù)都是非基變量經(jīng)過處理后的值，處理過程中應(yīng)用的是基變量）解的改進：1.以檢驗數(shù)小于0的xi為換入基（取最小的那個）2.

9、 找此xi的閉合回路，以xi為始沿順逆時針方向把定點依次編號3. 在所有偶數(shù)頂點中，找出運輸量最少的頂點作為xi的換出變量4. 將基數(shù)頂點的運輸量增加xj，偶數(shù)頂點的運輸量減少xj，重新得到一組新的方案5. 進行解的最優(yōu)性檢驗9.公司決定使用1000萬元新產(chǎn)品開發(fā)基金開發(fā)A，B，C三種新產(chǎn)品。經(jīng)預(yù)測估計，開發(fā)A，B，C三種新產(chǎn)品的投資利潤分別為5%、7%、10%。由于新產(chǎn)品開發(fā)有一定風(fēng)險，公司研究后確定了下列優(yōu)先順序目標(biāo)：第一，A產(chǎn)品至少投資300萬元；第二，為分散投資風(fēng)險，任何一種新產(chǎn)品的開發(fā)投資不超過開發(fā)基金總額的35%；第三，應(yīng)至少留有10%的開發(fā)基金，以備急用；第四，使總的投資利潤最大

10、。試建立投資分配方案的目標(biāo)規(guī)劃模型。解，設(shè)A，B，C三種新產(chǎn)品的開發(fā)投資額分別為萬元，目標(biāo)規(guī)劃模型為：Pl是優(yōu)先因子，關(guān)系為l越小，則有絕對的優(yōu)先性，還有一種是相對的優(yōu)先性，用權(quán)系數(shù)來表示目標(biāo)規(guī)劃的一般格式;minpld+或d-（要明白為什么是寫d+或d-，min里的d是要取值為零的，即若不等式要大于零時，則寫d-）；必須要滿足的絕對約束，還有目標(biāo)約束；xj>0,d+,d->0目標(biāo)規(guī)劃的圖解法：先畫絕對約束的可行域，然后按照優(yōu)先性優(yōu)先考慮某個目標(biāo)約束，隨著min系數(shù)中d+或者d-的增大移動曲線，畫出最合適的那條，直到最后10.用割平面法解下列整數(shù)規(guī)劃：（1）解：引進松弛變量，將問題

11、化為標(biāo)準(zhǔn)形式，用單純形法解其松弛問題。cj1100qCBXBbx1x2x3x40x36【2】11030x42045015sj11001x1311/21/2060x480【3】-218/3sj01/2-1/201x15/3105/6-1/61x28/301-2/31/3sj00-1/6-1/6找出非整數(shù)解變量中分?jǐn)?shù)部分最大的一個基變量（x2），并寫下這一行的約束：將上式中的所有常數(shù)分寫成整數(shù)與一個正的分?jǐn)?shù)值之和得：將上式中的分?jǐn)?shù)項移到等式右端，整數(shù)項移到等式左端得：得到割平面約束為：引入松弛變量，得割平面方程為：cj11000CBXBbx1x2x3x4x51x15/3105/6-1/601x28

12、/301-2/31/300x5-2/300【-1/3】-1/31sj00-1/6-1/60sj/arj1/21/21x10100-15/21x240101-20x320011-3sj0000-1/2最優(yōu)解為，最優(yōu)值為s4=0，最優(yōu)解不唯一？11.用分支定界法解下列整數(shù)規(guī)劃（1）解：最優(yōu)解（3,1），最優(yōu)值z=7。12. 匈牙利解法：見課本145頁13.如圖，是一倉庫，是商店，求一條從到的最短路。解：P=T=0T=¥T=¥T=¥T=¥T=¥T=¥T=¥T=¥T=¥P=T=2T=¥T=11T=¥T=7T=¥T=4T=¥T=¥T=13T=11T=¥T=7T=¥P=T=4T=¥T=¥T=13T=11T=¥P=T=7T=11T=13T=¥T=13P=T=11T=¥T=11T=13T=¥T=13T=16P=T=11T=13T=¥P=T=13T=16T=13T=20T=16P=T=13T=19P=T=16T=19P=19最短路長為19。最短路為：0129，0329，0349，01249，0789。14.如圖，發(fā)點，分別可供應(yīng)10和15個單位，收點，可以接收10