北京市清華附中2015-2016學(xué)年高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015-2016學(xué)年北京市清華附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，則集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，42x20是x0的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也必要條件3在等比數(shù)列an中，a2=6，a3=18，則a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D804設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn若a1=d=1，則的最小值為（）A10BCD +25為了得到函數(shù)y=sin（2x）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象（）A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左

2、平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6已知平面向量，滿足|=2，（ +2）（）=6，則與的夾角為（）ABCD7己知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當(dāng)0x1對(duì)，f（x）=x2若直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象在0，2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（）A0B0或C0或D或8設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則（）AABC=90°BBAC=90°CAB=ACDAC=BC二、填空題9已知兩點(diǎn)A（1，1），B（1，2），若=，則C點(diǎn)坐標(biāo)是_10在等差數(shù)列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a

3、11）=24，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于_11設(shè)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_12若正數(shù)a，b滿足a+b=10，則+的最大值為_13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），函數(shù)y=ex的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，P為函數(shù)y=ex圖象上的任意一點(diǎn)，則的最小值_14已知點(diǎn)A（，），B（，1），C（，0），若這三個(gè)點(diǎn)都在函數(shù)f（x）=sinx的圖象上，則正數(shù)的 所有取值的集合為_三、解答題.15已知an是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，數(shù)列bn滿足b1=4，b4=20，且bnan為等比數(shù)列（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和16已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x（1

4、）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間0，m上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)m的最小值17如圖，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，C、D分別是圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，ABO為正三角形（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四邊形CABD的周長(zhǎng)為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值18已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在m，n（2，3），且mn，使得f（m）=f（n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍19設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）當(dāng)a=0時(shí)，求證：f（x）

5、x，對(duì)任意的x（0，+）成立；（2）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍20設(shè)集合S=x|x=，kN*（1）請(qǐng)寫出S的一個(gè)4元素，使得子集中的4個(gè)元素恰好構(gòu)成等差數(shù)列；（2）若無(wú)窮遞減等比數(shù)列an中的每一項(xiàng)都在S中，且公比為q，求證：q（0，）；（3）設(shè)正整數(shù)n1，若S的n元子集A滿足：對(duì)任意的x，yA，且xy，有|xy|，求證：n152015-2016學(xué)年北京市清華附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，則集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，4【考點(diǎn)】交

6、、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【分析】根據(jù)補(bǔ)集與并集的定義，進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，4，B=2，4，UA=2，（UA）B=2，4故選：D2x20是x0的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)x20，得到x的范圍和x0比較即可【解答】解：由x20得到：x0，而x0推不出x0，不是充分條件，由x0能推出x0，是必要條件，x20是x0的必要不充分條件，故選：B3在等比數(shù)列an中，a2=6，a3=18，則a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D80【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)等

7、比數(shù)列an中，a2=6，a3=18，求得數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求和【解答】解：等比數(shù)列an中，a2=6，a3=18，=3， =2a1+a2+a3+a4=2+618+54=40故選B4設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn若a1=d=1，則的最小值為（）A10BCD +2【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】由已知條件推導(dǎo)出=，由此利用均值定理取最小值【解答】解：等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sna1=d=1，=1+=+=，當(dāng)且僅當(dāng)，即n=4時(shí)，取最小值故選：B5為了得到函數(shù)y=sin（2x）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象（）A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

8、D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【考點(diǎn)】五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（x+）的圖象【分析】先將函數(shù)變形，再利用三角函數(shù)的圖象的平移方法，即可得到結(jié)論【解答】解：函數(shù)y=sin（2x）=sin2（x），為了得到函數(shù)y=sin（2x）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度故選A6已知平面向量，滿足|=2，（ +2）（）=6，則與的夾角為（）ABCD【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】根據(jù)條件進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得出，從而可求出的值，進(jìn)而便可得出向量的夾角【解答】解：；=6；故選：C7己知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當(dāng)0x1對(duì)，f（x）=x2若直

9、線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象在0，2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（）A0B0或C0或D或【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【分析】由題意可得函數(shù)的圖象，屬性結(jié)合可得當(dāng)直線為圖中的m，或n是滿足題意，求出其對(duì)應(yīng)的a值即可【解答】解：由對(duì)任意的xR，都有f（x+2）=f（x）可知，函數(shù)的周期為T=2，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)0x1對(duì)，f（x）=x2可作出函數(shù)y=f（x）和直線y=x+a的圖象，當(dāng)直線為圖中的直線m，n時(shí)，滿足題意，易知當(dāng)直線為m時(shí)，過(guò)原點(diǎn)，a=0，當(dāng)直線為n時(shí)，直線與曲線相切，聯(lián)立，消y可得x2xa=0，由=1+4a=0可得a=，故a的值為0，或，故

10、選C8設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則（）AABC=90°BBAC=90°CAB=ACDAC=BC【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】設(shè)|=4，則|=1，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點(diǎn)P，設(shè)HP0=a，則由數(shù)量積的幾何意義可得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，由此能求出ABC是等腰三角形，AC=BC【解答】解：設(shè)|=4，則|=1，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點(diǎn)P，設(shè)HP0=a，則由數(shù)量積的幾何意義可得，=|=|2（a+1）|，=a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a

11、0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，于是a=1，因此我們得到HB=2，即H是AB的中點(diǎn)，故ABC是等腰三角形，所以AC=BC故選：D二、填空題9已知兩點(diǎn)A（1，1），B（1，2），若=，則C點(diǎn)坐標(biāo)是【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算即可得出【解答】解： =，=故答案為：10在等差數(shù)列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于26【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可得出【解答】解：等差數(shù)列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，6a4+6a10=24，2a7=4，即a

12、7=2則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和S13=13a7=26故答案為：2611設(shè)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3a1【考點(diǎn)】其他不等式的解法；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【分析】由于函數(shù)為分段函數(shù)，可分別討論當(dāng)a0和a0兩種情況，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，當(dāng)a0時(shí)，1，得0a1當(dāng)a0時(shí)，1，解得a3，即3a0，故答案為：3a112若正數(shù)a，b滿足a+b=10，則+的最大值為【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】對(duì)無(wú)理數(shù)可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表達(dá)式的最大值【解答】解：正數(shù)a，b滿足a+b=10，令y=+，則y2=a+2

13、+b+3+2，a+b=10，15=a+2+b+32（當(dāng)a+2=b+3時(shí)等號(hào)成立），y230，+的最大值為故答案為：13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），函數(shù)y=ex的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，P為函數(shù)y=ex圖象上的任意一點(diǎn)，則的最小值1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】由題意可得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得=x0+，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+ex，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)可得其極值，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案【解答】解：由題意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）（1，0）=（1，1），設(shè)P（x0，），所以=（x0，），故=x0+，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+ex，則g（x）=1+ex，令其等于0可得x

14、=0，且當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，故函數(shù)g（x）在x=0處取到極小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值為：1故答案為：114已知點(diǎn)A（，），B（，1），C（，0），若這三個(gè)點(diǎn)都在函數(shù)f（x）=sinx的圖象上，則正數(shù)的 所有取值的集合為|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4【考點(diǎn)】y=Asin（x+）中參數(shù)的物理意義【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，分類討論，求得每種情況下正數(shù)的值，從而得出結(jié)論【解答】解：若三個(gè)點(diǎn)都在函數(shù)f（x）=sinx的圖象上，則有sin（）=，sin（）=1，sin=0，則，即，求得正數(shù)的 所有取值的集合為：|=8k+

15、2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4故答案為：|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4三、解答題.15已知an是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，數(shù)列bn滿足b1=4，b4=20，且bnan為等比數(shù)列（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解數(shù)列的和【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d=3an=a1+（n1）d=3n（n=1，2，）數(shù)

16、列an的通項(xiàng)公式為：an=3n；設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得：q3=8，解得q=2bnan=（b1a1）qn1=2n1從而bn=3n+2n1（n=1，2，）數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為：bn=3n+2n1；（2）由（1）知bn=3n+2n1（n=1，2，）數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n（n+1），數(shù)列2n1的前n項(xiàng)和為=2n1數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n（n+1）+2n116已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間0，m上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)m的最小值【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性及其求法【分析】

17、（1）根據(jù)二倍角及輔助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）根據(jù)正弦函數(shù)圖象，f（x）=0，sin（2x+）=0，解得2x+=k，（kZ），當(dāng)k=10，為f（x）的第10個(gè)零點(diǎn)，求得m的最小值【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+，=sin（2x+）最小正周期T=，f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，（kZ），解得：k+xk+，（kZ），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：k+，k+（kZ）；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間0，m上恰好有10個(gè)

18、零點(diǎn)，由正弦函數(shù)周期性，可知：f（x）=0，sin（2x+）=0，解得：2x+=k，（kZ），x=，當(dāng)k=10，x=，正數(shù)m的最小值17如圖，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，C、D分別是圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，ABO為正三角形（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四邊形CABD的周長(zhǎng)為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型；三角函數(shù)的最值；平面直角坐標(biāo)系與曲線方程【分析】（1）根據(jù)ABO為正三角形求得BOA，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求得sinAOC和cosAOC，進(jìn)而利用兩角和公式求得cosBOC（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進(jìn)而根據(jù)

19、ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y(tǒng)的函數(shù)解析式，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后，利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值【解答】解：（1）ABO為正三角形，BOA=60°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，tanAOC=，sinAOC=，cosAOC=，cosBOC=cos（AOC+60°）=cosAOCcos60°sinAOCsin60°=（2）由余弦定理可知AC=2sin，BD=2sin（），AB=OB=1，CD=2，=，0x當(dāng)x=時(shí)，ymax=518已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在m，n（2，

20、3），且mn，使得f（m）=f（n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）結(jié)合（1）得到f（x）在（0，2a）遞增，在（2a，+）遞減，滿足條件，從而得到關(guān)于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）=（x2+ax+a）ex，f（x）=，a20即a2時(shí)，2a0，令f（x）0，解得：2ax0，令f（x）0，x0或x2a，f（x）在（，2a）遞減，在（2a，0）遞增，在（0，+）遞減；a2=0即a=2時(shí)，f（x）=0，f（x）在R遞減；a20即a2時(shí)，2a0，令f（x）0，解得：0x2a，令f（x）0，

21、x2a或x0，f（x）在（，0）遞減，在（0，2a，）遞增，在（2a，+）遞減；（2）由（1）得：22a3，解得：1a019設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）當(dāng)a=0時(shí)，求證：f（x）x，對(duì)任意的x（0，+）成立；（2）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【分析】（1）求出f（x）的表達(dá)式，令g（x）=ln（x+1）x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）g（0）=0，從而證出結(jié)論；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=2ax2+axa+1，通過(guò)討論a的范圍，判斷

22、函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)；（3）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出滿足題意的a的范圍即可【解答】解：（1）a=0時(shí)，f（x）=ln（x+1），定義域是（1，+），令g（x）=ln（x+1）x，g（x）=1=0，g（x）在（0，+）遞減，g（x）g（0）=0，故f（x）x，對(duì)任意的x（0，+）成立；（2）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，x（1，+）f（x）=，令g（x）=2ax2+axa+1（i）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，此時(shí)f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)（ii）當(dāng)a0時(shí)，=a28a（1a）=a（9a8）當(dāng)0a時(shí)，0，g（x）0，

23、f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)a時(shí)，0，設(shè)方程2ax2+axa+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1x2x1+x2=，x1，x2由g（1）0，可得1x1，當(dāng)x（1，x1）時(shí)，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（x1，x2）時(shí)，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x（x2，+）時(shí)，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)（iii）當(dāng)a0時(shí)，0由g（1）=10，可得x11x2當(dāng)x（1，x2）時(shí)，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（x2，+）時(shí)，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減因此函數(shù)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)； 當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn) （3）由（2）可知：當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增f（0）=0，x（0，+）時(shí)，f（x）0，