小升初 幾何專項

1、小升初幾何專題 幾何（一） 平面圖形一、 知識地圖 二、 基礎(chǔ)知識小學(xué)奧數(shù)的平面幾何問題，是以等積變形為主導(dǎo)思想，結(jié)合五大模型的變化應(yīng)用，交織而成。攻克奧數(shù)平面幾何，一定要從等積變形開始。1、等積變形。等積變形，它的特點是利用面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，面積相等的兩個圖形我們就稱之為等積形。我們所研究的等積變形，更多的是三角形的等積變形，三角形等積變形的中心思想是等底等高，因為三角形的面積=底高2，所以說等底等高的兩個三角形面積相等。另外，等底等高的平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積也相等。在實際中，我們經(jīng)常用到的與等積變形相關(guān)的性質(zhì)主要有以下幾點：1直線平行于，可知；反之，如果

2、，則可知直線平行于。（因為平行線間的距離是處處相等的哦！，聰明的你想到了嗎？）2兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；特別地，我們有 等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積。平行四邊形的對角線平分它的面積3共邊定理：若和的公共邊所在直線與直線交于，則；4共角定理：在和中，若或，則。5過矩形內(nèi)部的一點引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個小矩形，其面積滿足：。 6E為矩形ABCD內(nèi)部的任意一點，則；當(dāng)E落在矩形的某條邊上時，也成立。特別地，（5）（6）兩條性質(zhì)對于平行四邊形同樣成立。2、五大模型。我們把學(xué)習(xí)中經(jīng)常

3、遇到的問題歸納為五個基本的模型，總的來說，這五個基本模型都是用來解決三角形邊與面積之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的問題。讓我們一起來感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相應(yīng)面積與底成正比關(guān)系：即：兩個三角形高相等，面積之比等于對應(yīng)底邊之比。 或：兩個三角形底相等，面積之比等于對應(yīng)的高之比。 S1S2 =ab ；拓展： 等分點結(jié)論（“鳥頭定理”）如圖，三角形AED占三角形ABC面積的= 鳥頭定理是對模型一的一個拓展，有興趣的話，你可以試著證明一下哦！模型二：任意四邊形中的比例關(guān)系 （“蝴蝶定理”）S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）蝴蝶定理為我們提供了解

4、決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。構(gòu)造模型，一方面我們可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系，另一方面，我們也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。模型三：梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ； S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b）2梯形蝴蝶定理，給我們提供了解決梯形面積與上下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道。構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性質(zhì)_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A_S1_S2_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A ； S1S2=a2A2 所謂

5、的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形，（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變他們都相似），與相似三角形相關(guān)，常用的性質(zhì)及定理如下：1相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。2相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于它們的相似比。3相似三角形周長的比等于它們的相似比。4相似三角形面積的比等于它們相似比的平方。5特別的，連接三角形兩邊中點的線段我們叫做三角形的中位線。關(guān)于三角形的中位線我們有這樣一個結(jié)論：三角形中位線定理：三角形的中位線長等于他所對應(yīng)的底邊長的一半。對于梯形，我們也有類似的結(jié)論。連接梯形兩腰得到的線段我們叫做梯形的中位線。梯形

6、的中位線長等于它上下底邊之和的一半。6那么如何判斷三角形是不是相似呢？我們一般有三種方法：a：三個角對應(yīng)相等的三角形相似，（事實上只要有兩個角相等就可以了）。b：有兩邊對應(yīng)成比例且其兩條邊的夾角相等的三角形相似。c：三邊分別對應(yīng)成比例的三角形相似。注意：在小學(xué)奧數(shù)里，最多出現(xiàn)的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)相似三角形，如模型四。相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SEGCBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SFGCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；燕尾定理因為圖形類似燕尾而得名，它的特殊性在于

7、，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑。3、計算過程中連接輔助線的四個原則。幾何作為數(shù)形結(jié)合的學(xué)科，圖形的運用往往在解題過程中起到至關(guān)重要的作用。在小學(xué)階段的平面幾何學(xué)習(xí)中，我們在運用圖形連接輔助線時一般遵循以下四個原則：1 把四邊形或者多邊形變?yōu)槿切?，例如? 連接等分點，例如：3 構(gòu)造模型，例如： 4做高線，構(gòu)造直角三角形三、經(jīng)典透析【例1】（）如下左圖。將三角形ABC的BA邊延長1倍到D，CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是_。審題要點： 題目中給出的已知條件都是邊的倍比關(guān)系，其余

8、的條件中只有一個三角形ABC的面積是已知，要想辦法使已知條件能夠相互關(guān)聯(lián)，使邊的倍比關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為面積之比，可以選擇模型一應(yīng)用。詳解過程：解：連結(jié)AE、BF、CD（如上右圖） 由EB=2BC，得SABE=2。同理可得SAED=2SBEF=2SCBF =6。 SCFD =3SACD =3。 所以 SDEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。專家點評：這是北京市第一屆“迎春杯”刊賽第32題，非常經(jīng)典。解題過程中通過連接AE、BF、CD，使題目中所給的邊的倍比關(guān)系可以構(gòu)造模型一相互關(guān)聯(lián)，再通過共高三角形面積與相應(yīng)底邊之間的對應(yīng)比例關(guān)系求解?！纠?】（）設(shè)，如果三角形的面積為19平方厘米，那么三角形

9、的面積是_平方厘米。審題要點：和【例1】類似，題目已知條件中邊的倍比關(guān)系比較多，可以考慮應(yīng)用模型一。解：SABC=(+) SABC+19專家點評：這是2004年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克A卷的，其實競賽題不一定都是很難，尤其是平面幾何部分，但他們十之八九都是很巧妙的，拿這道題來說，圖形長得很普通，而題目當(dāng)中又給了那么多的倍比關(guān)系，那我們是不是可以考慮構(gòu)造模型一呢？整體看，除了，其余三個我們可以直接用“鳥頭定理”。鳥頭定理也是本題的一個中心考點?！纠?】（）四邊形的對角線與交于點（如圖）所示。如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長度是的長度的_倍。審題要點：在本題中四邊形ABCD為任意四邊形，且

10、出現(xiàn)SABD：SBCD=1：3。聯(lián)想模型二蝴蝶定理結(jié)論。詳解過程：解法一：解法二：專家點評：本題是2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽的試題。在本題中，三角形和三角形的面積之比如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。方法一直接應(yīng)用模型二蝴蝶定理的結(jié)論，而我們也可以不應(yīng)用蝴蝶定理，那么觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，我們需要一個中介，于是做垂直于H，于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用模型一的結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出AO=CO?！纠?】：（）如下圖所示，AEEC12，CDDB14，BFFA13，三角形ABC的面積等于1，那么四邊形AFHG的面積是_。 審題要點：四邊形A

11、FHG的面積可以看作是三角形ABC的面積減去三角形BEC的面積再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積得到的。如何把三角形邊的倍比關(guān)系和要求的面積相聯(lián)系，是這道題的重點問題。 詳解過程：以下各圖為了強(qiáng)調(diào)相關(guān)部分，暫去掉另外線條。解： 如下圖所示，我們分別求出BFH、AGE的面積問題也就解決。如上圖，我們設(shè)BFHx，則AFH3x；設(shè)AHEy，則CEH2y；于是有ABE4x+y ACF3y+3x有，則9x，所以x；如下圖，我們設(shè)AEGa，則CEG2a；設(shè)CDGb，則BDG4b； 于是有ACD3a+b BCE2a+5b有，則13a，所以a；這樣，AFHGABEBFHAEG。專家點評： 求四邊形，可

12、由三角形的面積減去三角形的面積，再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積。而三角形的面積可從三角形面積與底邊的比例關(guān)系得到，于是問題轉(zhuǎn)化為如何求及。與可由二元一次方程組分別解得。 解法二：BH：HE=SBFC：SEFC=（）=12 所以SBFH=SABE（）=（）= 同理： AGGD=SABESBDE=（）=58所以，SAGE=SADC（）=（）= AGAD=5（5+8）=513所以，S四邊形AFHGSABESBFHSAEG=專家點評： 本題解法二應(yīng)用的考點比較多，基本解題思路和解法一差不多，都是由SFHG= SABE- SBFH- SAEG得出，而解法二首先應(yīng)用蝴蝶定理，先求線段BH與HE

13、的比例關(guān)系，再利用鳥頭定理解出及，最后求出S四邊形AFHG。比解法一略顯簡潔，而且計算上也比較方便。注意考點： 鳥頭定理和蝴蝶定理的應(yīng)用【例5】（）設(shè)正方形的面積為1，下圖中E、F分別為AB、BD的中點，GC=FC。求陰影部分面積。審題要點：陰影部分為三角形，知道底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可解出面積。解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根據(jù)相似三角形定理 CGCF=CICH=13 又CH=HB CICB=16即BICB=（6-1）6=56SBGE=。專家點評：本題考查模型四，利用三角形相似的性質(zhì)，求出三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系及長度，從而確定陰影部分的面積?！纠?】（）ABCD是

14、平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB，BC的中點，則圖中陰影部分的面積為平方厘米。審題要點：題目中出現(xiàn)E、F分別為邊的中點， 可以考慮應(yīng)用中位線定理。解：設(shè)G、H分別為AD、DC的中點，連接GH、EF、BD?？傻?SAED=S平行四邊形ABCD 對角線BD被EF、AC、GH平均分成四段，DOED= BD BD=23OEED=（ED-OD）ED=（3-2）3=13所以 SAE0=S平行四邊形ABCD=72=6SADO= 2SAEO=12。同理可得SCFM=6，SCDM=12。所以 SABC- SAEO- SCFM=24于是 陰影部分的面積=24+12+12=48專家點評： 這道題是2

15、000年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽A卷中的一道題。連接EF，BD，根據(jù)模型4以及三角形的中位線定理，判斷出O，M分別是其所在線段的三等分點，由此求出SAEO及SCFM，最后得出陰影部分的面積。注意：本題應(yīng)用了三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)?！纠?】（）如圖，矩形ABCD被分成9個小矩形，其中5個小矩形的面積如圖所示，矩形ABCD的面積為。審題要點：矩形被分割成9個小矩形，馬上可以聯(lián)想到矩形等積變形的兩個重要結(jié)論。解：矩形PFMD中，矩形OHND的面積等于243=8/3矩形ABCD中，矩形IBLH的面積等于（1+2）（16+4）（8/3）=45/2所以 矩形ABCD的面積=1+2+4+16+（

16、8/3）+（45/2）=289/6專家點評：本題是南京市第三屆興趣杯的原題，難度不大，主要是考察對矩形等積變形兩個重要結(jié)論之一： “過矩形內(nèi)部的一點引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個小矩形，其面積滿足：。”的應(yīng)用。先求出矩形OHND的面積，再求出矩形IBLA的面積，而矩形ABCD的面積由矩形OHND和矩形IBLA以及題目中所給的其他4個已知矩形的面積和求得。讀者可以自行通過求各邊比例方法進(jìn)行驗證，進(jìn)一步加深對定理的理解。【例8】（）如圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，且CD=2AB，點E、F分別是AD和BC的中點，已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是 平

17、方厘米。審題要點：陰影部分的面積可以分解為兩個三角形的面積之和，而E、F又是梯形兩腰的中點，連接EF，對上下兩個梯形分別應(yīng)用蝴蝶定理。解法一：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，連接EF，則EF=（a+2a）=a；所以 ABEF=a a=23，EFDC=a2a=34；所以h1=h=h；h2=h=h； 陰影部分=SEFM+SEFN=ah+ah=ah即ah=54，ah=140梯形ABCD的面積=（1+2）ah=ah=140=210（平方厘米）專家點評：陰影部分可以看為兩個同底三角形的面積之和，根據(jù)梯形的面積公式，求出兩個三角形的高和底，進(jìn)一步求出梯形面積，思考方法很簡單，但要注意計算的準(zhǔn)

18、確性。解法二：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，連接EF，則EF=（a+2a）=a；所以 ABEF=a a=23，EFDC=a2a=34；所以h1=h=h；h1=h=h；所以SEFMSEFN= h1 h1=hh=75根據(jù)梯形中的面積關(guān)系，得下圖。因為9x9y=xy=75且x+y=549=6（平方厘米）所以x=6=3.5（平方厘米），y=6-3.5=2.5（平方厘米）；所以梯形ABCD的面積=3.525+2.549=210（平方厘米）。專家點評：連接EF以后，我們也可以把它看成是兩個梯形疊放在在一起，應(yīng)用模型三梯形蝴蝶定理，可以確定各個小的三角形之中的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形A

19、BCD面積。注意：應(yīng)用梯形蝴蝶定理時注意比的運算?！纠?】（）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。求陰影面積與空白面積的比。審題要點：題目中陰影部分不規(guī)則，但是有邊的倍比關(guān)系，BE=EC，CF=2FD可以考慮將邊的倍比關(guān)系轉(zhuǎn)化為為面積之間的關(guān)系。解法：連接CG，CH，AC交BD于O，設(shè)SBEG=a，根據(jù)燕尾定理SBEG=SEGC=SABG=SAGC SDHF=SCFH=SAHD=SACH 又因為SAGC=SACH 所以SBEG=3SDHF SAGO=SCGO=SABG SAOH=SHOC=SAHD所以SABCD=4SABO=4（a+2a）=12a陰影面積：SBEG+ SAG

20、H+ SDFH=a+2.5a+0.5a=4a空白面積：12a-4a=8a 所以陰影面積與空白面積的比4a8a=12另解：設(shè)SBEG=a，則SECG=SGCO=SAGO=a, SABG=2a;設(shè)SHFD=b,則SHFC=2b,設(shè)SHCO=x,則SAHO=SHCO=x=專家點評： 連接CG，CA，CH，構(gòu)造模型五，應(yīng)用燕尾定理，分別求出三個陰影三角形面積，再求出平行四邊形ABCD的面積，用四邊形面積減去三個陰影三角形面積即為空白面積。亦可得到陰影面積與空白部分的面積之比。注意：本題考點：燕尾定理的應(yīng)用。拓展訓(xùn)練： 1、（寧波小學(xué)數(shù)學(xué)競賽1999），如圖所示，已知三角形中，連結(jié)、BZ和，三條線段分別

21、交于，。若（面積是1平方米，那么陰影的面積是多少平方米？初級提示： 連接AM2，BM3，CM1。深度點撥： 設(shè)、的面積分別為，分別解出，全解過程： 連結(jié)，。設(shè)、的面積分別為，得 所以有 同理有 AEB=+=+4=+=3+3= 陰影部分面積為 2、如圖，四邊形的面積是66平方米，求四邊形的面積。初級提示：連接DB、AC，構(gòu)造模型一。深度點撥：找出四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積關(guān)系。全解過程： 連接。設(shè)， 又， 同理， 連接AC，同理， （平方米）。 3、如圖，在梯形ABCD中，ADBE=43，BEEC=23，且BOE的面積比AOD的面積小10平方厘米。梯形ABCD的面積是 平方厘米。初級提

22、示：應(yīng)用模型一求出三角形ABD的面積深度點撥：求出三角形BCD的面積全解過程： ADBEEC=869， -=-=10，=10，=40。 4、如圖，在一個邊長為6正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原長正形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 。 初級提示：將小正方形的四個頂點分別與大正方形的四個頂點連接深度點撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理求出空白部分面積全解過程：解法一：設(shè)任意一個梯形（如圖），上底為a，下底為b，則陰影部分的面積可以表示為S1、S2、S3的和，而S3S4=S1S2=（S1+S3）（S2+S4）=ab，同理S1S3

23、=S2S4=ab，所以：S1S2S3S4=a2ababb2，所以陰影部分的面積等于。連接兩個正方形的對應(yīng)頂點，則可以得到四個梯形，運用這條結(jié)論，每個梯形中陰影部分的面積都占到了，所以陰影部分面積是兩個正方形之間的面積的，陰影部分的面積為，解法二：取特殊值，使得兩個正方形中心相重合，由上右圖可知，A、B、C、D均為相鄰兩格點的中點，則圖中四個空白處的三角形的高為1.5，因此空白處的總面積為，陰影部分的面積是。5、如圖所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面積分別是2、3、4，問四邊形ADFE的面積是多少？ 初級提示：連接AF，構(gòu)造模型一深度點撥：應(yīng)用三角形面積之比等于底邊之比求出三角形

24、AFD和三角形AFE的面積全解過程：設(shè)SAFD=a，SAFE=b 2a=3+b 4b=3（2+a） a= b= S四邊形ADFE=a+b= 6、如圖，在ABC中，延長BD=AB，CE=BC，F(xiàn)是AC的中點，若ABC的面積是2，則DEF的面積是多少？初級提示：連接CD，構(gòu)造模型一深度點撥：SDCF=SDCA=2 SFCE=SBCF= SDEC=SDCB=1全解過程： 解法一：SDCF=SDCA=2 SFCE=SBCF= SDEC=SDCB=1 SDEF=SDCF+SFCE+SDEC=解法二：本題還可以用共角定理“當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比

25、”。 在ABC和CFE中，ACB與FCE互補(bǔ)，又；同理可得： 7.如圖，長方形ABCD中，E為AD中點，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。初級提示：三角形AHB和三角形DHF相似深度點撥：作OE垂直AD，交AF于O全解過程：根據(jù)三角形相似的性質(zhì) ABDF=AHHF=53又因為E為AD中點OEDF=12所以ABOE=103 AGGO=103所以AG=AO=8.在邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；求四邊形ABGD的面積。初級提示：連接EF、BD深度點撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理全解過程：等腰梯形四部分面積比為1339所以等腰梯形的面積=所以得9、

26、如圖，正方形ABCD面積為1，M是AD邊上的中點，求圖中陰影部分的面積。 初級提示： 構(gòu)造梯形蝴蝶定理。深度點撥：SAMG： SAGB： SMCG： SGCB=1224全解過程： 梯形AMCB中各個三角形面積比 1224 陰影面積占梯形面積（2+2）/（1+2+2+4）= 本題還可有其他解法（如下）解法二：連結(jié)、，設(shè)與交于，。 又 =x 得，又，所以，。 。解法三：做 則， 連接 又 解法四：與等底等高 作， 設(shè) 解法五： =+=+=10：（07年仁華學(xué)校試題）已知四邊形ABCD，CHFG為正方形，S甲S乙=18，a與b是兩個正方形的邊長，求ab=？ 初級提示：連接EO，AF，應(yīng)用燕尾定理。深

27、度點撥：做OMAE，ONEF，全解過程：如圖，根據(jù)燕尾定理：SAOF SAOE=ba （1）， SAOF SFOE=ab （2）所以 SAOE SFOE=a2b2 作OMAE，ONEF， AE=EF， OMON= a2b2 SAOD SHOF=a3b3=18 ab=12幾何（二） 曲線圖形一、 知識地圖二、 基礎(chǔ)知識小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了一些簡單的幾何圖形，充分掌握這些圖形的性質(zhì)特點及周長和面積的計算方法是我們解決奧數(shù)平面幾何問題的重要前提。1組合圖形的面積在求解組合圖形的面積時，中心思想只有一個：把不規(guī)則的變?yōu)橐?guī)則的，把不可求的變?yōu)榭梢郧蟮模巡皇煜さ淖優(yōu)槲覀兪煜さ?。在小學(xué)奧數(shù)的幾何問題中

28、，這個思想不單單可以在求組合圖形面積的時候應(yīng)用，求解立體圖形的表面積和體積問題時候一樣也是解決問題的法寶，甚至可以說是全部小學(xué)奧數(shù)幾何問題的思想精髓。在求解組合圖形的面積時，我們通常可以通過以下思考方法把圖形轉(zhuǎn)化我們所熟知的圖形。1、 加減法把要求的圖形轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形相加或者相減的形式，這種解決圖形補(bǔ)問題的方法，稱為加減法。2、 割補(bǔ)法把要求的圖形通過切割再拼補(bǔ)成規(guī)則圖形，這種方法稱為割補(bǔ)法。3、 旋轉(zhuǎn)平移法。圖形的一部分通過旋轉(zhuǎn)或者平移，正好可以和圖形的其他部分拼成規(guī)則圖形，這種方法稱為旋轉(zhuǎn)平移法。4、 重疊法要求的組合圖形可以看作是幾個規(guī)則圖形的重疊部分，可以應(yīng)用容斥原理求得圖形的面積

29、，這種方法稱為重疊法。5、 比例法把要求的圖形分成幾個部分，通過尋找各個部分之間的比例關(guān)系求解的方法稱為比例法。2圖形旋轉(zhuǎn)的問題在這里，我們主要研究的是平面圖形在平面旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的問題。一般情況下，我們所能遇到的有以下兩種問題：1、求圖形一邊掃過的面積在遇到這類問題時，我們只要先找到要求的是哪條邊掃過的面積，再看這條邊是以哪個點為圓心運動，首先你讓這條邊以這個點為圓心按照題目的要求轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)停止后，這條邊旋轉(zhuǎn)所得的面積就是你要求的圖形一邊掃過的面積。2、求圖形掃過的面積在求圖形一邊掃過的面積的基礎(chǔ)之上，要注意，圖形中最長處旋轉(zhuǎn)時所成圖形，我們在旋轉(zhuǎn)的圖形一邊停止旋轉(zhuǎn)時，在相應(yīng)的位置補(bǔ)上圖形的其他

30、部分就可以很容易的找到整個圖形掃過的部分。3幾個特殊問題1、活動范圍的問題讓我們先來看看下面幾個問題：A、假設(shè)茫茫的草原上有一個木樁，樁子上用一根30米的繩子栓著一只羊，問羊能吃到的草的面積是多大？B、草場的主人因為業(yè)務(wù)發(fā)展，準(zhǔn)備建羊圈，但是因為資金短缺，所以只先建了一道墻，于是把羊還是用30米的繩子栓在了墻角邊，問羊這個時候能吃到草的面積是多大？C、羊圈建成了，羊在平時被栓在羊圈的西北角，羊圈長20米，寬10米，問羊這個時候能吃到的草的面積是多大？你注意到了嗎？栓著羊的繩子在碰到墻拐角的地方運動的圓心在變化，羊所能吃到草的范圍活動的半徑也在跟著變化。那么，我們說看變化，找規(guī)律，是解決羊吃草一

31、類問題重要思想。另外，數(shù)學(xué)源自生活，通過想象生活中的情景，比照數(shù)學(xué)題，尋找變化的規(guī)律也是一種不錯的方法。2、滾硬幣的問題請你一起動手來做一做：把兩個一角錢的硬幣挨放在一起，固定其中一個，把另一個延著其周圍滾動。當(dāng)滾動回到硬幣原來的位置時，想一想滾動的那個硬幣它自己自轉(zhuǎn)了多少周？注意觀察，滾動的硬幣繞著不動的硬幣走一周的距離實際上是以兩個硬幣的半徑為半徑的一個圓周長，而硬幣自轉(zhuǎn)的周長是以自身為半徑，前者是后者的幾倍，即是硬幣自轉(zhuǎn)了幾周。這也是一切硬幣滾動類問題的特點。常見的還有齒輪，滑輪等。經(jīng)典回顧【例1】（）圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P點為半圓周的中點，Q點為正方形一邊的中點。已知正

32、方形的邊長為10，那么陰影部分面積是多少？（取3.14。）審題要點：整個圖形由正方形和半圓組成。P為中點，則PD=PC，要 求陰影部分的面積，可以考慮我們前面講的幾種方法。解法一：陰影面積=整個面積-空白面積=（正方形ABCD+半圓）（三角形+梯形） =（1010+552）-1552+（5+15）52 =51.75專家點評：陰影面積的“加減法”。因為陰影部分面積不是正規(guī)圖形，所以通過整個面積減去空白部分面積來求解。過P點向AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形。解法二： S1=小正方形-圓=55-55上面陰影面積=三角形APE-S1=1552-55+55下面陰影面積=三角形Q

33、PF-S2=1052-（55-55）所以陰影面積=（1552-55+55）+（1052-55+55）=51.75專家點評：面積的“加減法”和“切割法”綜合運用，思路出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時，注意兩個考點：1.半葉形 2、圓，所以我們可以先把面積補(bǔ)上再減去補(bǔ)上的面積。解法三： 半葉形S1=圓-小正方形=55-55上面陰影面積=三角形ADP+S1=1052+55-55下面陰影面積=三角形QPC+S2=552+55-55陰影面積=（1052+55-55）+（552+55-55）=51.75專家點評：面積的“切割法”出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時，注意兩個考點：1.半葉形 2. 圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾

34、個我們會算的規(guī)則圖形。這道題是迎春杯真題。【例2】（）如圖，ABCG是47的長方形，DEFG是210的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？ 審題要點：要求兩個三角形的面積之差，題目沒有給出可以直接求出兩個三角形面積的條件，那么我們只能考慮應(yīng)用差不變原理。解法一： GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積-陰影MDE面積=（BCM面積+空白面積）-（MDE面積+空白面積）=三角形BHE面積-長方形CDEH面積=362-32=3。專家點評：加減思想的應(yīng)用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本題的解題關(guān)鍵。公共部分要與兩個三角形都可以構(gòu)成規(guī)則可

35、求的圖形才可以。解法二：GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4，DE=2 知道BCDE=CMDM 所以CM=2，MD=1。陰影面積差為：422-122=3專家點評：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而BC和DE均為已知的，所以關(guān)鍵問題在于求CM和DM。這兩條線段之和CD的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與DE截成的比例線段求得。另外本題還可以構(gòu)造如下解法，如圖：解法三：連接BD【例3】（）求右圖中陰影部分的面積。（取3）審題要點：ABC可以看出為等腰直角三角形。解法一：我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的、部分面積和即可，其中、面積相等

36、。易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角邊AB的長度未知。單獨求部分面積不易，于是我們將、部分平移至一起，如下右圖所示，則、部分變?yōu)橐粋€以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC=10。兩個四分之一圓的面積和為150，而、部分的面積和為1/21010=50，所以陰影部分的面積為150-50=100（平方厘米）。解法二：欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積。專家點評：本題考點 旋轉(zhuǎn)平移法。圖形通過旋轉(zhuǎn)，得到陰影部分的面積=半圓的

37、面積-等腰直角三角形的面積?！纠?】（）如圖，已知三角形GHI是邊長為26厘米的正三角形，圓O的半徑為15厘米，AOB=COD=EOF=90。求陰影部分的面積。審題要點：題中每一條陰影部分面積可以看做是兩個大小弓形的面積之差。解法：設(shè)J為弧GI的中點，則可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOI的面積=所以大弓形的面積： SGJI小弓形的面積：SFJE所以，總陰影面積=（138-64.125）3=221.625（平方厘米）專家點評： 本題難度在于判斷四邊形GJIO為菱形，圓中等長的弧所對的弦也是相等的，所以三角形GOJ為正三角形，其實三個陰影部分選擇哪一個作為解題的模型都可以?；?/p>

38、本上還是加減思想的應(yīng)用?？傟幱懊娣e=每塊陰影面積3=（大弓形小弓形）3關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積?？偨Y(jié)：本題考點 加減法?！纠?】（）如圖，ABCD是一個長為4，寬為3。對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向 旋轉(zhuǎn)90，分別求出四邊掃過圖形的面積。（取3）審題要點：要求邊掃過的面積，只需分別看一邊旋轉(zhuǎn)所得圖形。分析：1、容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如右圖： 因此DC邊掃過圖形的面積為4平方厘米，BC邊掃過圖形的面積為平方厘米。2、研究AB邊的情況。在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠(yuǎn)的點是A點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于這兩個點所掃過弧

39、線之間，見右圖中陰影部分： 下面來求這部分的面積。觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：扇形ACA,面積+三角形ABC面積-三角形ABC面積-扇形BCB,面積+三角形A,B,C,面積扇形ACA,面積一扇形BCB,面積 ；3、研究AD邊掃過的圖形。由于在整條線段上距離C點最遠(yuǎn)的點是A，最近的點是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如下圖陰影部分所示：用與前面同樣的方法可以求出面積為：專家點評：本題是祖沖之杯競賽的一道試題。旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下“變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的。先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚。最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么

40、直接告訴你，要么就“藏”在那兒，一定會有。 我們可以作進(jìn)一步的思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的?！纠?】（）求圓中陰影部分與大圓的面積之比和周長之比。 審題要點：陰影部分可以看作一個整體，那么大圓由四個陰影部分組成。 解法：把陰影看作一個特殊圖形，而大圓的面積恰好是4個這種特殊圖形 所以 陰影面積大圓面積=14 設(shè)小圓半徑為x，則大圓半徑為2x 陰影周長=小圓周長+小圓周長+小圓周長+大圓周長 =小圓周長+大圓周長 =2x+22x =x 大圓周長=22x=4x 所以 周長之比=x 4x=78專家點評：應(yīng)用圖形比例關(guān)

41、系求解圖形，也是整體考慮問題思想的典型代表?！纠?】（）如圖，半圓半徑=40CM，BM=CN=DP=22，每個陰影部分的弧長為半圓弧長的，求陰影部分面積？（=3）審題要點：圖中上半部分的三個陰影圖形并非真正的扇形，所以不能用扇形面積公式來解，只能應(yīng)用加減法，把圖形分解。那么每個陰影部分面積等于1/3半圓面積減去一大一小兩個相似三角形面積。解法：ABO為等邊三角形又AMB=120度MAE=30度 BAM=30度 BMA為等腰三角形即根據(jù)正三角形性質(zhì) 得BM=2EMBE=22+11=33（cm）陰影部分面積=3（4040-2033-2011） =3（800-330-110） =3360=1080（

42、平方厘米）專家點評：應(yīng)用加減法，把圖形化為我門常用的圖形來解題是這道題的關(guān)鍵所在。另一個難點是如何求出三角形的高，其實M，N，P分別是它們所在正三角形的中心。中心將其所在線段分為兩部分的比為12，知道這一性質(zhì)，便可應(yīng)用面積公式求出陰影面積?！纠?】（）如圖，哨所門前的兩個正三角形哨臺拴了兩條狼狗，拴狼狗的鐵鏈子長為10米，每個哨臺的面積為42.5平方米現(xiàn)在要綠化哨所所在地（哨所面積忽略不計，把其看做一點，在其周圍20米范圍內(nèi)鋪上草地）為了防止狼狗踐踏，則綠化的實際面積為多大合適？（=3）審題要點：首先確定兩條狼狗的活動范圍，利用加減法把活動范圍為一個菱形+兩個半圓，兩個半圓即一個整圓。 實際綠

43、化面積=大圓面積-（菱形+小圓面積+2哨所面積）解法：可以看出菱形面積為2倍的哨所面積，菱形面積=242.5=85 實際綠化面積=2020-（85+1010+242.5） =1200-（85+300+85） =1200-470=730（平方米）專家點評：本題屬于活動范圍題，注意確定狼狗的活動范圍為兩個5/6圓減去其重合部分，即一個菱形+一個圓，另外哨臺也是未綠化部分，注意以上兩點本題就不難求解?！纠?】（）如圖，15枚相同的硬幣排成一個長方形，一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一周，回到起始位置。問：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動了多少圈？審題要點：注意硬幣滾動時圓心的軌跡。解法一：當(dāng)硬幣在長方形的一條邊之內(nèi)滾

44、動一次時，由于三個硬幣的圓心構(gòu)成一個等邊三角形，所以這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了180-60-60=60。而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120。當(dāng)硬幣從長方形的一條邊滾動到另一條邊時，這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了360-60-60-90=150。而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了300。長方形的外圈有12個硬幣，其中有4個在角上，其余8個在邊上，所以這枚硬幣滾動一圈有8次是在長方形的一條邊之內(nèi)滾動，4次是從長方形的一條邊滾動到另一條邊。1208+3004=2160，所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動了2160，即自身

45、轉(zhuǎn)動了6圈。解法二：通過計算圓心軌跡的長度，每走一個2即滾動了一周。對于同樣是12個硬幣，所轉(zhuǎn)動的圓心軌跡其實分為兩部分，一是在“角”上的轉(zhuǎn)動，一是在“邊”上的滾動。抓住關(guān)鍵方法：圓心軌跡長度2=自身轉(zhuǎn)動圈數(shù)。專家點評：此題來源于小學(xué)數(shù)學(xué)ABC。圓運動的軌跡分兩種，一種所謂的“跨圓”運動；另一種所謂的“繞圓”運動。掌握“跨圓”運動一次30+60+30=120度；“繞圓”一次180度。角上4次“繞圓”，邊上12次“跨圓”，這樣結(jié)果便一目了然。拓展訓(xùn)練1、如圖，四邊形是平行四邊形，高CH=4cm, 、分別以、為半徑，弧、分別以、為半徑，陰影部分面積是多少平方厘米？初級提示： 深度點撥： =104=

46、40() 全解過程： =- =(2-)-(-2) 2、下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點；請計算圖中兩個陰影圖形的面積比。初級提示： 左圖陰影可用加減法 即正方形面積減去4個邊上的三角形面積。深度點撥： 右圖陰影面積可先看小正方形里的陰影面積為2個小三角形面積之和，而每個小三角形面積恰好是它所在直角三角形面積的三分之二，只要求出直角三角形面積，陰影面積便不難求出了，直角三角形面積為大正方形面積的十六分之一。全解過程： 左圖陰影面積=正方形面積-4個等腰三角形面積 =11-41 =1-= 右圖陰影面積=8個小三角形面積 =8（） =8=

47、所以 左：右=：=3：2 3、（2004第二屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽3），如圖，在平行四邊形中，已知三角形、的面積分別是73、100，求三角形的面積。初級提示：+=深度點撥：全解過程：4、下圖中除大圓外，所有的弧線都是半圓，且，圖中有上、下兩塊陰影區(qū)域，如果上面的陰影區(qū)域面積為100平方厘米，那么下面的陰影域面積為_平方厘米。初級提示：分析題意本題用割補(bǔ)法。深度點撥：陰影面積可分為四部分，分別求之。全解過程：設(shè)AB=1，則AC=3，AD=6，AE=10，DE=4，CE=7，BE=9。 上塊陰影面積=（S半圓AE-S半圓AD）+S半圓DE=（1/225-

48、1/29）+1/24=8+2=10 下塊陰影面積=（S半圓AC-S半圓AB）+（S半圓BE-S半圓CE） =（1/29/4-1/21/4）+（1/281/4-1/249/4）=+4=5因為上塊陰影面積=100 所以下塊陰影面積=505 如圖，1=15，圓的周長為62.8厘米，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影部分面積？初級提示：連接AO，AB，作BC的垂線AD交BC于D深度點撥：SABC=SABE全解過程： 則ACO=OAC=15ACO=150, AOB=30=1023.14=5所以 陰影部分面積=50-（-25）=（平方厘米）6、五環(huán)圖由內(nèi)徑為4cm，外徑為5 cm的5個圓環(huán)組成，其中

49、陰影部分的面積都相等。已知5個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米。求每個陰影部分的面積。初級提示：注意重疊部分。深度點撥：五個圓環(huán)總面積-五環(huán)面積=陰影面積全解過程：5（55-44）=45=141.3141.3-122.5=18.818.85=2.357、（04年華羅庚金杯數(shù)學(xué)邀請賽）如右圖，一個半徑為1厘米的小圓盤沿著一個半徑為4厘米的大圓盤外側(cè)做無滑動的滾動，當(dāng)小圓盤的中心圍繞大圓盤中心轉(zhuǎn)動90度后，小圓盤運動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（取3）初級提示：小圓盤運動過程中掃過的面積由兩部分組成，即兩半圓加扇形環(huán)。深度點撥：扇形面積可由半徑為4+2、圓心角為90度的大扇形減去半徑為4、圓心角為90度的小扇形。全解過程：第一部分是半徑為6厘米、中心角為90度的扇形減去半徑為4厘米、中心角為90度的扇形，面積為；第二部分是半徑為1厘米的2個半圓，總面積是3。所以掃過的面積為15+3=18平方厘米