中國(guó)石油大學(xué)2012-2013(1)線(xiàn)性代數(shù)(A)[32]答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、A卷 20122013學(xué)年第一學(xué)期線(xiàn)性代數(shù)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 專(zhuān)業(yè)班級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 開(kāi)課系室 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系 考試日期 2013年1月16日 頁(yè) 號(hào)一二三四五六總分本頁(yè)總分值152124161212本頁(yè)得分閱卷人注意事項(xiàng)：1請(qǐng)?jiān)谠嚲碚娲痤}，反面及附頁(yè)可作草稿紙；2答題時(shí)請(qǐng)注意書(shū)寫(xiě)清楚，保持卷面清潔；3本試卷共六道大題，總分值100分；試卷本請(qǐng)勿撕開(kāi)，否則作廢；4. 本試卷正文共6頁(yè).本頁(yè)總分值15分本頁(yè)得分一選擇題共5小題，每題3分，共計(jì)15分1已知五階行列式第三列的元素分別為0，1，2，3，4，第三列的余子式分別為-4，-3，-2，-1,0，則該行列式的值為 B A. -2 B. 2 C. 1

2、0 D. -10 .2已知方陣滿(mǎn)足，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 D A可逆； B可逆； C可逆； D. 不可逆.3含n個(gè)未知量的齊次方程組有非零解的充分必要條件是 A A；B；C；D.4.以下不屬于等價(jià)關(guān)系的是 B A矩陣的初等變換； B矩陣的可逆；C. 矩陣的相似； D矩陣的合同.5. 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量可以由線(xiàn)性表示，向量不能由線(xiàn)性表示，則 ( A )A 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； B 線(xiàn)性相關(guān)；C 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； D 線(xiàn)性相關(guān).二填空題共5小題，每題3分，共計(jì)15分本頁(yè)總分值21分本頁(yè)得分1設(shè)= 44(=256 ) .2設(shè)四階矩陣與相似，為四階單位陣，矩陣的特征值為2,3,4,5，則 24 .3設(shè)矩陣則=

3、.4. 設(shè)三階方陣三維列向量，已知與線(xiàn)性相關(guān)，則 -1 .5. 從的基到基的過(guò)渡矩陣為.三、論述證明題6分請(qǐng)問(wèn)等價(jià)的向量組線(xiàn)性相關(guān)性一定相同嗎？假設(shè)答案肯定，請(qǐng)給出證明；否則請(qǐng)說(shuō)明理由或舉出反例.答：不一定. (4)例如，向量組與其最大無(wú)關(guān)組等價(jià)，但線(xiàn)性相關(guān)性不一定相同. (6)四計(jì)算以下各題共5小題，每題8分，共計(jì)40分本頁(yè)總分值24分本頁(yè)得分1. 計(jì)算行列式D = .8分解：將行列式的 2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得 D = (4)將第一列乘以2后加到其余各列，得 D = (8)2.設(shè)矩陣,求矩陣.8分解：由，得： (4)驗(yàn)證知矩陣是可逆的，所以 (8)3設(shè)矩陣有3個(gè)線(xiàn)

4、性無(wú)關(guān)的特征向量,2是的二重特征值，求，. 8分 解：由已知，得 (4)又因?yàn)?，? (8)本頁(yè)總分值16分本頁(yè)得分4.設(shè)向量組， 求該向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.8分解： 記 (4)故知：向量組的秩為 3，(6) 是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組. (8) 5.設(shè)四元非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解.8分解：易知， 是該方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，(4)則該方程組的通解為： (8)本頁(yè)總分值12分本頁(yè)得分五、12分設(shè)有三維向量組問(wèn)取何值時(shí)，1可由線(xiàn)性表示，且表達(dá)式唯一？2可由線(xiàn)性表示，但表達(dá)式不唯一？3不能由線(xiàn)性表示？解：設(shè)，該方程組的增廣矩陣為 (6) 1 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，則可由線(xiàn)性表示，且表達(dá)式唯一； (8) 2 當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，則可由線(xiàn)性表示，但表達(dá)式不唯一； (10) 3 當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解，則不能由線(xiàn)性表示。 (12)本頁(yè)總分值12分本頁(yè)得分六、12分設(shè)二次型，其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.（1） 求的值；（2） 利用正交變換將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.解：(1) 的矩陣為，由已知 (2)所以 . (4)(2) 的矩陣為,特征多項(xiàng)式為：特征值為：。 (6)對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，得特征向量對(duì)于，解