第五屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷參考答案

1、第五屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷參考答案（非數(shù)學類， 2014 ）一、解答下列各題（本題共 28 分，每小題 7 分）1. 計算積分 解：交換積分次序得、設f(x)是區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù)，且滿足求一個這樣的函數(shù)f(x)使得積分取得最小值。解： ，取即可。、設F(x,y,z)和G(x,y,z)有連續(xù)偏導數(shù)，雅可比行列式，曲線過點記在xoy平面上的投影曲線為，求上過點的切線方程。解：由兩方程定義的曲面在的切面分別為 上述兩切面的交線就是在P0點的切線，該切線在xoy面上的投影就是過的切線。消去z-z0,可得 這里的系數(shù)是，故上式是一條直線的方程，就是所要求的切線。、設矩陣其中a為常數(shù)，矩陣滿足關

2、系式AB=A-B+E,其中是單位矩陣，且。若秩rank(A+B)=3,試求常數(shù)a的值。解：由關系式AB=A-B+E,得(A+E)(B-E)=0,故可得 因為所以又考慮到非單位，所以，只有，從而 二、（分）設其中是與x,h無關的常數(shù)，證明f是不超過三次的多項式。證明：由泰勒公式其中在x在x+h之間，在x在x+h之間，由上面兩式及已知條件可得 當時，令得，此時f是不超過二次的多項式。當時，有。令，注意到有，從而f是不超過三次的多項式。三、（分）設當x-1時，可微函數(shù)f(x)滿足條件試證：當時，有成立。證明：由已知條件知，則所給方程可變形為兩端對x求導并整理得利用可降階的微分方程的方法，可得，由得,

3、可見f(x)單調減少。而f(0)=1，所以當時，。對在0,x上進行積分得 四、（分）設其中函數(shù)f(x,y)在上有連續(xù)二階偏導數(shù)，若對任何x,y有f(0,y)=f(x,0)=0且。證明 證明：，對固定的y,由分部積分法得 交換積分次序可得 因為f(x,0)=0，所以，從而，再由分部積分得 因為且在D上非負，故 五、（12分）設函數(shù)f(x)連續(xù)可導， 有向曲面是圓柱體，的表面，方向朝外，記第二型的曲面積分為 求極限 解：由高斯公式 由對稱性知，從而得 （采用柱面坐標變換） 六、（12分）設A，B為二個n階正定矩陣，求證AB正定的充要條件是ABBA。證明：必要性：設AB為二個n階正定矩陣，從而為對稱矩陣，即。又所以，故有ABBA。充分性：因為ABBA，則，所以AB為實對稱矩陣。因為A，B為正定矩陣，故存在可逆矩陣P，Q，使得 ， 所以即AB相似于，所以AB的特征值全為正實數(shù)，所以AB為正定矩陣。七、（12分）假設的收斂半徑為1，且證明收斂，且。證明：由知