中考“解直角三角形”熱點題型分類解析(含解答)-

1、2006年中考“解直角三角形” 熱點題型分類解析 【專題考點剖析】 本專題主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩部分內(nèi)容，2006年試題所反映出的考點主要有： 1會計算特殊角的三角函數(shù)值以及與三角函數(shù)有關(guān)的代數(shù)求值問題 2能正確地運用sinA，cosA，tanA，cotA表示直角三角形（其中一個銳角為A）中兩邊的比，并借助直角三角形邊、角之間的關(guān)系解證三角問題 3會比較兩個三角函數(shù)值的大小，并會根據(jù)三角函數(shù)值大小確定相應(yīng)角的大小 4會利用計算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角問題 5會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形中的有關(guān)知識來解決某

2、些簡單的實際問題，以考查學生應(yīng)用問題的能力 6能從多種角度思考解答以三角函數(shù)為題設(shè)條件的三角型綜合題，以考查綜合解決問題的能力【解題方法技巧】 1勾股定理 勾股定理的驗證方法很多，用面積驗比較簡捷，用面積法解題是一種重要的解題方法，在有距離或垂線段的條件的題目中運用面積法解題比較方便 2銳角三角函數(shù)的概念 銳角三角函數(shù)的概念應(yīng)通過畫圖幫助分析，通過畫圖找出直角三角形中邊角的關(guān)系，加深對概念的理解 3特殊角的三角函數(shù)值 對于特殊角的三角函數(shù)值，必須熟練準確地記住，記憶時可借助三角板上的直角三角形 4常聯(lián)系的知識點 銳角三角函數(shù)常和三角形、四邊形、相似形、圓、坐標系、一元二次方程結(jié)合命題 5解直角

3、三角形的應(yīng)用題 對于解直角三角形的應(yīng)用題，首先要認真反復(fù)讀題、弄清題意，特別是關(guān)鍵的字、詞，其次要準確地畫出圖形 6解斜三角形 對于斜三角形要通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形【熱點試題歸類】題型1 三角函數(shù)1（2006，大連）在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，則sinA的值為_2（2006，旅順口區(qū)）在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，則cosA的值為_3（2006，溫州）如圖1，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，則cosA等于（ ）A B D （1） （2） （3）4（2006，成都）如圖2，在RtABC中，ACB=90，CDAB于點D，已知AC=，BC=2

4、，那么sinABC=（ ） A5（2006，攀枝花）如圖3所示，AB是O的直徑，弦AC、BD相交于E，則等于（ ） AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED6（2006，海淀區(qū)）計算：|-|+（cos60-tan30）+題型2 解直角三角形1（2006，煙臺）如圖4，在矩形ABCD中DEAC于E，設(shè)ADE=a，且cos=，AB=4，則AD的長為（ ）A3 B （4） （5） （6）2（2006，煙臺）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標如圖5所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較

5、長直角邊為a，較短直角邊為b，則a+b的值為（ ） A35 B43 C89 D97題型3 解斜三角形1（2006，鹽城）如圖6所示，已知：在ABC中，A=60，B=45，AB=8，求ABC的面積（結(jié)果可保留根號）2（2006，廣安市）如圖，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁，一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行，行至A點處測得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向，問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險？3（2006，成都）如圖，某校九年級3班的一個學生小組進行測量小山高度的實踐活動部分同學在山腳點A測得山腰上一點D的仰角為30，并測得AD

6、的長度為180米；另一部分同學在山頂點B測得山腳點A的俯角為45，山腰點D的俯角為60請你幫助他們計算出小山的高度BC（計算過程和結(jié)果都不取近似值）4（2006，天津）如圖，在觀測點E測得小山上鐵塔頂A的仰角為60，鐵塔底部B的仰角為45已知塔高AB=20m，觀察點E到地面的距離EF=35m，求小山BD的高（精確到0.1m，1.732）題型4 應(yīng)用舉例1（2006，浙江臺州）有人說，數(shù)學家就是不用爬樹或把樹砍倒就能夠知道樹高的人小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高（如圖1），她測得CB=10米，ACB=50，請你幫助她算出樹高AB約為_米（注：樹垂直于地面；供選用數(shù)據(jù)：sin500.77，cos500

7、.64，tan501.2） （1） （2） （3）2（2006，成都）如圖2，小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米，已知小華的身高為1.6米，那么分所住樓房的高度為_米3（2006，煙臺）如圖3，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30，測得C點的俯角為60，則建筑物CD的高為_米4（2006，鹽城）如圖，花叢中有一路燈桿AB在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）5（2006，晉江

8、）如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點已知BAC=65，DAE=45，點D到地面的垂直距離DE=3m，求點B到地面的垂直距離BC（精確到0.1m）6（2006，南安）如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且DB=5m，現(xiàn)要在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么EB的高為多少米？（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）7（2006，哈爾濱市）如圖，在電線桿上的C處引位線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿C處的仰角為30，已知測角儀AB高為1.

9、5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號）8（2006，攀枝花）已知：如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45，沿著坡度為30的斜坡前進400米到D處（即DCB=30，CD=400米），測得A的仰角為60，求山的高度AB9（2006，蘇州）如圖，在一個坡角為15的斜坡上有一棵樹，高為AB當太陽光與水平線成50時，測得該樹在斜坡的樹影BC的長為7m，求樹高（精確到0.1m）題型5 綜合與創(chuàng)新1（2006，綿陽）小明騎自行車以15千米/小時的速度在公路上向正北方向勻速行進，如圖1，出發(fā)時，在B點他觀察到倉庫A在他的北偏東30處，騎行20分鐘后到達C點，發(fā)現(xiàn)此時這座倉庫正好在他的東南方向，則這座倉庫到公路

10、的距離為_千米（參考數(shù)據(jù)：1.732，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字） （1） （2） （3）2（2006，煙臺）先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖2），再將此矩形在坐標平面內(nèi)按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)30（如圖3），若AB=4，BC=3，則圖（1）和圖（2）中點B的坐標為_，點C的坐標為_3（2006，浙江臺州）數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了ABC和DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作SABC，小穎畫的三角形面積記作SDEF，那么你認為（ ）ASABC SDEF BSABC 3 客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險3解：如圖設(shè)BC=

11、x， 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=90，AF=90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE=BE=（x-90） FC=AC-AF=x-90 DE=FC， （x-90）=x-90 解得x=90+904解：如圖，過C點作CEAD于C 設(shè)BC=x，則EC=BC=x 在RtACE中，AC=x， AB=AC-BC， 即20=x-x 解得x=10+10 BD=BC+CD=BC+EF=10+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高為623m題型4112248 點撥：設(shè)樓高xm，則0.5：1.6=1

12、5：x，x=48m3204解：設(shè)AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路燈桿AB的高度約為6.0米5解：在RtADE中，DE=3，DAE=45， sinDAE=，AD=6 又AD=AB， 在RtABC中，sinBAC=， BC=ABsinBAC=6sin655.4 答：點B到地面的垂直距離BC約為5.4米6解：在RtBCD中，BDC=40，DB=5m， tanBDC=， BC=DBtanBDC=5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略7解：過點A作AHCD，垂足為H 由題意可知四邊形ABDH為矩形

13、， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH=， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2 DH=1.5，CD=2+1.5 在RtCDE中 ， CED=60，sinCED=， CE=（4+）（米） 答：拉線CE的長為（4+）米8解：如圖，作DEAB于E，作DFBC于F，在RtCDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30=400=200（米） CF=CDcos30=400=200（米） 在RtADE中，ADE=60，設(shè)DE=x米， AE=tan60x=x（米） 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45，AB

14、=BC， 即x+200=200+x x=200， AB=AE+BE=（200+200）米9解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則ADCD BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15，BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15） 6.2（m） 答：樹高約為6.2m題型5118 點撥：設(shè)過點A作ADBC于D， 設(shè)AD=x，則CD=x，BD=x x+x=5，解得x1.82圖（1）中：B（4，0），圖（2）中：B（2，2）；

15、圖（1）中：C（4，3），圖（2）中：C（）3C4解：（1）在RtABD中，AB=15 BD=9 CD=BC-BD=14-9=5 （2）E是RtADC斜邊AC的中點， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC=5解：如圖，（1）作BEAD，E為垂足 則BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4（m） （2）作FGAD，G為垂足，連FA，則FG=BE AG=17.12， AE=ABcos68=22cos688.24， BF=AG-AE=8.888.9（m） 即BF至少是8.9m6解：（1）設(shè)出發(fā)后x小時時兩船與港口P的距離相等 根據(jù)題意，得81-9x=18x， 解這個方程，得

16、x=3 出發(fā)后3小時兩船與港口P的距離相等（2）如圖，設(shè)出發(fā)后x小時乙船在甲船的正東方向，此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處，連結(jié)CD過點P作PECD，垂足為E則點E在點P的正南方向 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45=18xcos60 解這個方程，得x3.7 出發(fā)后約3.7小時乙船在甲船的正東方向題型61解：（1）RtAOB中，O=90，a=60 OAB=30，又AB=4米， OB=AB=2（米） OA=ABsin60=4=2（米） （2）設(shè)AC=2x，BD=3x，CD=4 根據(jù)勾股定理：OC

17、2+OD2=CD2 （2-2x）2+（2+3x）2=42 13x2+（12-8）x=0 x0，13x+12-8=0 x= AC=2x= 即梯子頂端A沿NO下滑了米 （3）點P和點P分別是RtAOB的斜邊AB與RtAOB的斜邊AB的中點， PA=PO，PA=PO， PAO=AOP，PAO=AOP PAO-PAO=POP=15 PAO=30， PAO=45 AO=ABcos45=4=2 AA=OA-AO=（2-2）米2 （3）10個，解題方法略3解：（1）=（-2m）2-4（n2-mn+m2）=-（m-2n）20 （m-2n）20，m-2n=0，=0 一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0有兩個相等實根，AM=AN （2）BAC=90，ADBC， ADC=ADB=90，DAC=DBA， ADCBDA ，AD2=BDBC CFBE，F(xiàn)CB+EBD=90 E+EBD=90，E=FCB NDC=EDB=90， EBDCND ，BDDC=EDDN， AD2=EDDN AN=，AD=DN+AN=3， 32=DE，DE=8（3）如圖，由（1）知AM=AN，AMN=ANM， AMN+AC