大學(xué)數(shù)學(xué)：第1章 第1節(jié)函數(shù)

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系前前 言言大學(xué)數(shù)學(xué)包括大學(xué)數(shù)學(xué)包括微積分微積分和和線性代數(shù)線性代數(shù)兩部分兩部分微積分發(fā)展簡(jiǎn)史微積分發(fā)展簡(jiǎn)史n15世紀(jì)的文藝復(fù)興的思想基礎(chǔ)世紀(jì)的文藝復(fù)興的思想基礎(chǔ)n17世紀(jì)發(fā)明的直角坐標(biāo)系提供條件世紀(jì)發(fā)明的直角坐標(biāo)系提供條件n費(fèi)馬，巴羅等人的先驅(qū)探索費(fèi)馬，巴羅等人的先驅(qū)探索n牛頓，萊布尼茨提出系統(tǒng)理論牛頓，萊布尼茨提出系統(tǒng)理論教材教材參考書(shū)參考書(shū)網(wǎng)上資源網(wǎng)上資源大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社張國(guó)權(quán)張國(guó)權(quán) 鐘譚衛(wèi)主編鐘譚衛(wèi)主編高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)主編同濟(jì)大學(xué)主編高等教育出版社高等教育出版社輔導(dǎo)類參考書(shū)輔導(dǎo)類參考書(shū)http:/ 函數(shù)的概念及特性函數(shù)的概念

2、及特性& 極限的概念及運(yùn)算極限的概念及運(yùn)算& 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念& 求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算& 微分的概念及運(yùn)算微分的概念及運(yùn)算函數(shù) 第一節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域把復(fù)雜函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)把復(fù)雜函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù) 合合理解函數(shù)的概念理解函數(shù)的概念 設(shè)設(shè) x 和和 y 是兩個(gè)變量。是兩個(gè)變量。D 是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)于是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)于每個(gè)數(shù)每個(gè)數(shù) x D ，變量，變量 y 按照一定法則總有（唯一）確定的數(shù)按照一定法則總有（唯一）確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱值和它對(duì)應(yīng)，則稱 y y 是是 x x 的函數(shù)的函數(shù)，記作記作 y = f (x), 數(shù)集數(shù)集 D 叫叫這個(gè)函

3、這個(gè)函數(shù)數(shù)的的定義域定義域，x 叫做叫做自變量自變量， y 叫做叫做因變量因變量。f (a) 表示函數(shù)表示函數(shù) f (x) 在在 x= a 時(shí)的時(shí)的函數(shù)值函數(shù)值f3函數(shù)函數(shù) f (x) = 3x中中 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 f 是什么？是什么？ f （1）=？什么是函數(shù) function函數(shù)的映射定義函數(shù)的映射定義:fDR對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)映射映射函數(shù)函數(shù)多對(duì)一一對(duì)一非空數(shù)集設(shè)設(shè) D 為非空數(shù)集。稱一個(gè)映射為非空數(shù)集。稱一個(gè)映射實(shí)數(shù)集為函數(shù)關(guān)系或函數(shù)，稱為函數(shù)關(guān)系或函數(shù)，稱 D 為函數(shù)的為函數(shù)的定義域定義域，f 為為對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則。定義域定義域 D 和和對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 f 是函數(shù)關(guān)系的兩要素是函數(shù)關(guān)系的兩

4、要素f (D)= y| y = f (x), x D 稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域()f DR 函數(shù)函數(shù) f (x) =lg x2 與與 f (x) =2lg x 是同一函數(shù)是同一函數(shù)嗎？嗎？ f (x) = x2 與與 f (t) = t2 呢呢?函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法(1) 公式法公式法324yxx(2) 表格表格月份123456銷售量(件)100105110115111120(3) 圖象法圖象法函數(shù)的圖象：函數(shù)的圖象：稱平面點(diǎn)集稱平面點(diǎn)集,( )x y xD yf x為函數(shù)為函數(shù)( )yf x的圖象。的圖象。21( )1xf xx求函數(shù)的定義域21010 xx 111xx 11x

5、所以定義域?yàn)樗远x域?yàn)? 1,124( )lgxf xx求函數(shù)的定義域(0,1)(1, 22400,lg0 xxx且例例 題題解答解答解解函數(shù)的定義域是使得式子有意義的所有的自變量取值。函數(shù)的定義域是使得式子有意義的所有的自變量取值。 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)10sgn0010 xyxxxyxo1-1函數(shù)舉例取整函數(shù)取整函數(shù) yx xx表示不超過(guò)的最大整數(shù)。0.80211.9910.81 3.54 yxo123-1-212-1-2 分段函數(shù)分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)，稱為表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)分段函數(shù)201( )

6、11xxf xxxyxO2yx1yx 111( )2222f(1)2 12f(3)1 34f 注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要根據(jù)自變量的取值范圍，確定注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要根據(jù)自變量的取值范圍，確定相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫x區(qū)間之并集。相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫x區(qū)間之并集。( 2)12f 例如：例如：郵費(fèi)的計(jì)算、薄利多銷政策下的價(jià)格等，都是分段函數(shù)。郵費(fèi)的計(jì)算、薄利多銷政策下的價(jià)格等，都是分段函數(shù)。 集合的特征函數(shù)集合的特征函數(shù) 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)AR1,( )0,AxAxxA1, 2,n ( )nf nx定義域?yàn)檎麛?shù)集定義域?yàn)檎麛?shù)集N1,2,3,n

7、1,x( )f n 2,x3,x數(shù)列數(shù)列數(shù)列是一類特殊函數(shù)。數(shù)列是一類特殊函數(shù)。 設(shè)設(shè) 函數(shù)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D ，yx-MMo( )yf x若存在正數(shù)若存在正數(shù) M 使對(duì)任意使對(duì)任意 x D, 都有都有|( )|f xM 則則 稱稱 f (x) 在在 D 上上有有 界界, 或或 稱稱 f (x)是是有有 界函數(shù)界函數(shù)（bounded function )。( )sinf xx 如在（， ）內(nèi)有界函數(shù)的幾種特性 有界性有界性1( )sinf xx也是有界函數(shù)1212()()xxf xf x1212()()xxf xf x在定義域的子區(qū)間在定義域的子區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn)上任

8、意兩點(diǎn) x 1 和和x 2則則 f (x) 是是 區(qū)間區(qū)間 I 上的上的 增函數(shù)增函數(shù)則則 f (x) 是是 區(qū)間區(qū)間 I 上的上的 減函數(shù)減函數(shù)x1x2xyo1( )f x2( )f xxyo1x2x1( )f x2()f x 單調(diào)性單調(diào)性如果如果如果如果xDxD （即） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的的定義域定義域 D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱()( )fxf xxD對(duì)于任意 f (x) 為為 偶函數(shù)偶函數(shù) ()( )fxf x f (x) 為為 奇函數(shù)奇函數(shù) yxo( )yf xxxAAxyo( )yf xxxAA偶函數(shù)偶函數(shù)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于 y 軸軸對(duì)稱對(duì)稱 奇函數(shù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于的

9、圖像關(guān)于 原點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱 奇偶性（對(duì)稱性）奇偶性（對(duì)稱性）()( )f xlf xxDxlD有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的的定義域?yàn)槎x域?yàn)?D。如果存在一個(gè)不為零的如果存在一個(gè)不為零的數(shù)數(shù) l 使得使得 對(duì)于任一對(duì)于任一 且且恒成立，則稱恒成立，則稱 f (x) 為為周期函數(shù)周期函數(shù)l 稱為稱為 f (x) 的的周期周期。32lx2l2l32loy1( )0 xD xx為有理數(shù)為無(wú)理數(shù)是周期函數(shù)嗎，若是，周期是多少？最小正周期是多少？是周期函數(shù)嗎，若是，周期是多少？最小正周期是多少？ 周期性在所有周期中的最小正數(shù)在所有周期中的最小正數(shù)稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的最小正周期最小正周期。是周期函數(shù)，

10、所有有理數(shù)是周期函數(shù)，所有有理數(shù)都是周期，無(wú)最小正周期。都是周期，無(wú)最小正周期。xyae=2.7182818基本初等函數(shù) 冪函數(shù)：冪函數(shù)：yx指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：0,1aaxye對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：logayxlogeyxlnyx自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)三角函數(shù)：三角函數(shù)：sin ,cos ,tan ,cot ,yx yx yx yx1seccosyxx1cscsinyxx反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：arcsin ,arccos ,yxyxarctan ,cotyxyarcx 直接函數(shù)的直接函數(shù)的定義域定義域是其反函數(shù)是其反函數(shù)的的 值域值域；而直接函數(shù)的；而直接函數(shù)的值域值域是其是其反反 函數(shù)的函數(shù)的定

11、義域定義域。 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在圖象上互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在圖象上關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱。對(duì)稱。( )yfx1( )yfxyxoxy反函數(shù)反函數(shù) inverse function設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)( )yf x是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 上的上的單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)，由其逆映射，由其逆映射D確定的函數(shù)確定的函數(shù)1( )xfy稱為函數(shù)稱為函數(shù)( )yf x的的反函數(shù)反函數(shù)1f習(xí)慣上用習(xí)慣上用 x 表示自變量，表示自變量，y 表示因變量。于是表示因變量。于是( ),yf xxD的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成1( ),()yfxxf D3,yxxR13,.xyyR13,.yxxR解出解出x交換交換x,

12、y函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合 Composition of functions 由常數(shù)和基本初等函數(shù)出發(fā)經(jīng)過(guò)由常數(shù)和基本初等函數(shù)出發(fā)經(jīng)過(guò)有限次有限次四則運(yùn)算和四則運(yùn)算和有限次有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為的函數(shù)稱為初等初等函數(shù)函數(shù),yusinuxsinyx2 ,uy lnuxln2xy ( ),yf u( ),ug v( )yfx( ),yf u( )vx( )yfgx( )ux2,yucos ,uvlnvx2cos (ln)yx引例引例:已知兩個(gè)函數(shù)已知兩個(gè)函數(shù) y = sin u 和和 u = 2 x ， 把把u 代入得代入得 y = sin2x ，y = sin2x 稱為這兩個(gè)函數(shù)的稱為這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)。再如。再如 的值域應(yīng)包含的值域應(yīng)包含 的定義域的定義域( )ux( )yf u于xuyf 中間變量復(fù)合函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)24(1)9yx14yu29ux2(2)(arctan)2xy 2,yuarctan ,uv2xv sin2yxsin(ln )2xy sinyu12uv2vx2uy sinuvlnvxsin xyxsinlnsin