大學數學：第1章 第1節(jié)函數

1、華南農業(yè)大學理學院應用數學系前前 言言大學數學包括大學數學包括微積分微積分和和線性代數線性代數兩部分兩部分微積分發(fā)展簡史微積分發(fā)展簡史n15世紀的文藝復興的思想基礎世紀的文藝復興的思想基礎n17世紀發(fā)明的直角坐標系提供條件世紀發(fā)明的直角坐標系提供條件n費馬，巴羅等人的先驅探索費馬，巴羅等人的先驅探索n牛頓，萊布尼茨提出系統(tǒng)理論牛頓，萊布尼茨提出系統(tǒng)理論教材教材參考書參考書網上資源網上資源大學數學大學數學中國農業(yè)出版社中國農業(yè)出版社張國權張國權 鐘譚衛(wèi)主編鐘譚衛(wèi)主編高等數學高等數學同濟大學主編同濟大學主編高等教育出版社高等教育出版社輔導類參考書輔導類參考書http:/ 函數的概念及特性函數的概念

2、及特性& 極限的概念及運算極限的概念及運算& 導數的概念導數的概念& 求導運算求導運算& 微分的概念及運算微分的概念及運算函數 第一節(jié)學習重點學習重點求函數的定義域求函數的定義域把復雜函數分解成簡單函數的復把復雜函數分解成簡單函數的復 合合理解函數的概念理解函數的概念 設設 x 和和 y 是兩個變量。是兩個變量。D 是一個給定的數集。如果對于是一個給定的數集。如果對于每個數每個數 x D ，變量，變量 y 按照一定法則總有（唯一）確定的數按照一定法則總有（唯一）確定的數值和它對應，則稱值和它對應，則稱 y y 是是 x x 的函數的函數，記作記作 y = f (x), 數集數集 D 叫叫這個函

3、這個函數數的的定義域定義域，x 叫做叫做自變量自變量， y 叫做叫做因變量因變量。f (a) 表示函數表示函數 f (x) 在在 x= a 時的時的函數值函數值f3函數函數 f (x) = 3x中中 對應法則對應法則 f 是什么？是什么？ f （1）=？什么是函數 function函數的映射定義函數的映射定義:fDR對應對應映射映射函數函數多對一一對一非空數集設設 D 為非空數集。稱一個映射為非空數集。稱一個映射實數集為函數關系或函數，稱為函數關系或函數，稱 D 為函數的為函數的定義域定義域，f 為為對應法則對應法則。定義域定義域 D 和和對應法則對應法則 f 是函數關系的兩要素是函數關系的兩

4、要素f (D)= y| y = f (x), x D 稱為函數的值域稱為函數的值域()f DR 函數函數 f (x) =lg x2 與與 f (x) =2lg x 是同一函數是同一函數嗎？嗎？ f (x) = x2 與與 f (t) = t2 呢呢?函數的表示方法函數的表示方法(1) 公式法公式法324yxx(2) 表格表格月份123456銷售量(件)100105110115111120(3) 圖象法圖象法函數的圖象：函數的圖象：稱平面點集稱平面點集,( )x y xD yf x為函數為函數( )yf x的圖象。的圖象。21( )1xf xx求函數的定義域21010 xx 111xx 11x

5、所以定義域為所以定義域為( 1,124( )lgxf xx求函數的定義域(0,1)(1, 22400,lg0 xxx且例例 題題解答解答解解函數的定義域是使得式子有意義的所有的自變量取值。函數的定義域是使得式子有意義的所有的自變量取值。 符號函數符號函數10sgn0010 xyxxxyxo1-1函數舉例取整函數取整函數 yx xx表示不超過的最大整數。0.80211.9910.81 3.54 yxo123-1-212-1-2 分段函數分段函數 在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數，稱為表示的函數，稱為分段函數分段函數201( )

6、11xxf xxxyxO2yx1yx 111( )2222f(1)2 12f(3)1 34f 注意：求分段函數的函數值時，要根據自變量的取值范圍，確定注意：求分段函數的函數值時，要根據自變量的取值范圍，確定相應的函數表達式；分段函數的定義域為各定義區(qū)間之并集。相應的函數表達式；分段函數的定義域為各定義區(qū)間之并集。( 2)12f 例如：例如：郵費的計算、薄利多銷政策下的價格等，都是分段函數。郵費的計算、薄利多銷政策下的價格等，都是分段函數。 集合的特征函數集合的特征函數 整標函數整標函數AR1,( )0,AxAxxA1, 2,n ( )nf nx定義域為正整數集定義域為正整數集N1,2,3,n

7、1,x( )f n 2,x3,x數列數列數列是一類特殊函數。數列是一類特殊函數。 設設 函數函數 f (x) 的定義域為的定義域為 D ，yx-MMo( )yf x若存在正數若存在正數 M 使對任意使對任意 x D, 都有都有|( )|f xM 則則 稱稱 f (x) 在在 D 上上有有 界界, 或或 稱稱 f (x)是是有有 界函數界函數（bounded function )。( )sinf xx 如在（， ）內有界函數的幾種特性 有界性有界性1( )sinf xx也是有界函數1212()()xxf xf x1212()()xxf xf x在定義域的子區(qū)間在定義域的子區(qū)間 I 上任意兩點上任

8、意兩點 x 1 和和x 2則則 f (x) 是是 區(qū)間區(qū)間 I 上的上的 增函數增函數則則 f (x) 是是 區(qū)間區(qū)間 I 上的上的 減函數減函數x1x2xyo1( )f x2( )f xxyo1x2x1( )f x2()f x 單調性單調性如果如果如果如果xDxD （即） 設函數設函數 f (x) 的的定義域定義域 D 關于原點對稱關于原點對稱()( )fxf xxD對于任意 f (x) 為為 偶函數偶函數 ()( )fxf x f (x) 為為 奇函數奇函數 yxo( )yf xxxAAxyo( )yf xxxAA偶函數偶函數的圖像關于的圖像關于 y 軸軸對稱對稱 奇函數奇函數的圖像關于的

9、圖像關于 原點原點對稱對稱 奇偶性（對稱性）奇偶性（對稱性）()( )f xlf xxDxlD有 設函數設函數 f (x) 的的定義域為定義域為 D。如果存在一個不為零的如果存在一個不為零的數數 l 使得使得 對于任一對于任一 且且恒成立，則稱恒成立，則稱 f (x) 為為周期函數周期函數l 稱為稱為 f (x) 的的周期周期。32lx2l2l32loy1( )0 xD xx為有理數為無理數是周期函數嗎，若是，周期是多少？最小正周期是多少？是周期函數嗎，若是，周期是多少？最小正周期是多少？ 周期性在所有周期中的最小正數在所有周期中的最小正數稱為函數的稱為函數的最小正周期最小正周期。是周期函數，

10、所有有理數是周期函數，所有有理數都是周期，無最小正周期。都是周期，無最小正周期。xyae=2.7182818基本初等函數 冪函數：冪函數：yx指數函數：指數函數：0,1aaxye對數函數：對數函數：logayxlogeyxlnyx自然對數自然對數三角函數：三角函數：sin ,cos ,tan ,cot ,yx yx yx yx1seccosyxx1cscsinyxx反三角函數：反三角函數：arcsin ,arccos ,yxyxarctan ,cotyxyarcx 直接函數的直接函數的定義域定義域是其反函數是其反函數的的 值域值域；而直接函數的；而直接函數的值域值域是其是其反反 函數的函數的定

11、義域定義域。 互為反函數的兩個函數在圖象上互為反函數的兩個函數在圖象上關于直線關于直線 y=x 對稱。對稱。( )yfx1( )yfxyxoxy反函數反函數 inverse function設有函數設有函數( )yf x是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 上的上的單調函數單調函數，由其逆映射，由其逆映射D確定的函數確定的函數1( )xfy稱為函數稱為函數( )yf x的的反函數反函數1f習慣上用習慣上用 x 表示自變量，表示自變量，y 表示因變量。于是表示因變量。于是( ),yf xxD的反函數記成的反函數記成1( ),()yfxxf D3,yxxR13,.xyyR13,.yxxR解出解出x交換交換x,

12、y函數的復合函數的復合 Composition of functions 由常數和基本初等函數出發(fā)經過由常數和基本初等函數出發(fā)經過有限次有限次四則運算和四則運算和有限次有限次的函數復合步驟所構成并的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示可用一個式子表示的函數稱為的函數稱為初等初等函數函數,yusinuxsinyx2 ,uy lnuxln2xy ( ),yf u( ),ug v( )yfx( ),yf u( )vx( )yfgx( )ux2,yucos ,uvlnvx2cos (ln)yx引例引例:已知兩個函數已知兩個函數 y = sin u 和和 u = 2 x ， 把把u 代入得代入得 y = sin2x ，y = sin2x 稱為這兩個函數的稱為這兩個函數的復合函數復合函數。再如。再如 的值域應包含的值域應包含 的定義域的定義域( )ux( )yf u于xuyf 中間變量復合函數分解為簡單函數復合函數分解為簡單函數24(1)9yx14yu29ux2(2)(arctan)2xy 2,yuarctan ,uv2xv sin2yxsin(ln )2xy sinyu12uv2vx2uy sinuvlnvxsin xyxsinlnsin