高中數(shù)學(xué)基本不等式的解法十例

1、.高中數(shù)學(xué)基本不等式問題求解十例一、 基本不等式的基礎(chǔ)形式1b22ab ，其中a, bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立。 a22 ab2 ab ，其中 a,b0,，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時等號成立。3?？疾坏仁剑?a2b2ab22ab11，其中 a, b 0,，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時等號成立。22ab二、常見問題及其處理辦法問題 1：基本不等式與最值解題思路：（ 1）積定和最小：若ab 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)ab 時，ab（ 2）和定積最大：若ab 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)ab 時，abmin2ab 。其中 a,b0,ab2，其中 a,bR 。max2例題 1：若實數(shù) a, b 滿足 2a2b1 ，則 ab 的最大

2、值是解析：很明顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得： 2a 2b2a2b212a b2 2a b2 ，24當(dāng)且僅當(dāng) ab1時取等號。變式：函數(shù) yax 1( a0, a1) 的圖象恒過定點A，若點在直線 mxny1上，則 mn 的最大值為 _。解析： 由題意可得函數(shù)圖像恒過定點A 1,1 ，將點 A 1,1代入直線方程 mxny1中可得 m n 1，明21 ，當(dāng)且僅當(dāng) m顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得：mnm nn1時取等號。242例題 2：已知函數(shù) f x2x1取最小值時對應(yīng)的 x 的值為 _2x 2 ，則 f x解 析 ： 很 明 顯 ， 積 為 定 ， 根 據(jù) 積 定 和 最 小 法

3、則 可 得 ： 2x12 2x11，當(dāng)且僅當(dāng)2x22x22x1x 1 時取等號。2x 2變式： 已知 x2 ，則 x1的最小值為。x21解析：由題意可得x20 , x，明顯，積為定，根據(jù)和定積最大法則可得：21x 2;.x 211，當(dāng)且僅當(dāng) x 21時取等號，此時可2 x 22x 2 1 x1x2x 2x 2得 x10 。x2x例題 3：若對任意 x>0 ，x2 3x1a 恒成立，則 a 的取值范圍是 _解析： 分式形式的不等式，可以考慮采用常數(shù)分離的方法。x2xaax2x3x13x 1 max解法 1：將x化簡可得x1x0，觀察分母，很明顯可以得到積為定值，23xx23x11x1x3x

4、根據(jù)積定和最小的法則可得：x12x12 ，當(dāng)且僅當(dāng) x1x1 時取等號。 故而可得分式的xxx分母 x135011x2x3x1 ，因此可得： a1。x1351max55xx解法2：將x化簡可得x2x11x0，令 fxx1x0 ，這是一個對x23x13xx13xx勾函數(shù)，故而可得fx1f12 。故而分母 x13fx3 5 ，代入分式函數(shù)取倒數(shù)xxx可得 011x2x1 因此可得： a1。x1351 3xmax55x問題 2：“ 1”的代換fmf xm0 ，對所求內(nèi)容進行乘除化簡即可。解題思路：根據(jù)xm例題 4：若兩個正實數(shù)x、y 滿足 141 ，且不等式 xy m23m有解，則實數(shù) m 的取值范

5、圍是。xy4xy14解析： 由題意可得 1414y4xy1，左邊乘以1可得： x1，化簡可得：xyxy4xy141 1y4x ，很明顯y4x 中積為定值，根據(jù)積定和最小的法則可得：4xy4xy4xy;.y 4x2y 4x2 ，當(dāng)且僅當(dāng)y 4x1x 2時取等號。故而可得xy 1 4。4x y4xyyy 844x4 x y不等式 xy m23m 有解，亦即 m23mxy4 ，亦即 m23m4 0 ，解得 m 4 或者44minm1，故而可得 m, 14,。變式： 若 x 0 ， y0 ，且122 ，則 4x 3y 的最小值為 _yxy2x解析： 由 2 xy2x y4 x3y ，化簡題干條件可得1

6、42 乘以所求內(nèi)容可得：2x y2x2 y144 x 3y142x y 2x 2y2x y 2x 2y4x3y2x y 2x 2y，化簡后可得：222 x2 y4 2x y414 2x y2x y2x 2 y2x 2y4x3y，很明顯22xy中二者積為定值，根據(jù)積定和最2x 2y小法則可得 2x2 y4 2x y22 x2 y4 2x y4，當(dāng)且僅當(dāng) 2 x2 y4 2x y，2x 2 y2x 2 y22x y2x y2x y2x 2 yx09亦即3 時取等號。此時可得4x3y min。y22問題 3：方程中的基本不等式解題思路：將需要利用不等式的項移到方程的一邊，利用基本不等式求解即可。例題

7、 5：（ 2015·湖南高考）若實數(shù)a， b 滿足12 ab，則 ab 的最小值為 _ab解析： 由題意可知可以利用基本不等式，根據(jù)基本不等式可得：ab122 122 2，當(dāng)且ababab1僅當(dāng) 12b2a 時取等號，化簡后可得：ab2a242 ，此時5abb2 4變式： 若 lg(3x) lgy lg( x y 1)，則 xy 的最小值為 _ 解析： 將題干條件化簡可得： lg 3x ylg xy13xy xy 1，由題意需要求解xy ，故而可;.知利用不等式 xy2xy ，將條件化簡可得：3xy1xy 2xy 當(dāng)且僅當(dāng)x y 時等號成立，化簡上式可得 3xy12xy 03 xy

8、1xy10xy1 xy 1，此時 x y 1問題 4：含參基本不等式問題解題思路：利用含參不等式的解法求解即可。例題 6：已知 a22a241對于任意的 x1,恒成立，則（）xx2xA a 的最小值為3B a 的最小值為4C a 的最大值為 2D a 的最大值為 4解析： 由題意可知參數(shù)為a ，將自變量移項可得：22a24xx4x，觀察等式右側(cè)，ax2xx1可知等式右側(cè)經(jīng)配湊可得積為定值，根據(jù)積定和最小可得：4x124x14 ，當(dāng)且僅x1x1當(dāng)4x3 時取等號， 此時可得4x5 。由 a22a24x 1x 1xx 對于任意的x1min1x1,恒成立可得： a22a2x4x5 ，化簡可得a 3a

9、10，解得3 a 1 。1min變式 6：已知 a>0， b>0，若不等式 21m28m 恒成立，則 m 的取值范圍是。ab2ab解析： 由題意可知參數(shù)為m，將雙自變量 a 、 b 移項可得： m28m212a b 恒成立，故而可ab得 m28m212a b，將不等式右側(cè)化簡可得abmin212a b52b2a ，很明顯abab積為定值，根據(jù)積定和最小法則可得：2b2a2b2a42b2ab1 時取ab2b，當(dāng)且僅當(dāng)aaab等號。故而212a b9 ，代入不等式中可得m28m 9 化簡為m 9 m10 解不abmin等式可得 1m9。問題 5：不等式與其他問題結(jié)合（向量與不等式） 例

10、題 7：已知 OA aOB bOC (a0, b 0) ，且 A, B, C 三點在同一條直線上， 則 11ab的最小值為 _ ;.11abab 1 ，觀察形式采用 “1的”代換，故而11abba解析： 由三點共線可得2ab1a，b等式右側(cè)積為定值， 故而利用積定和最小法則可得：baba2 ，當(dāng)且僅當(dāng)baab1ab2bab2a時取等號。故而可得112ba3 。abab（不等式與解析幾何）例題：若直線 axby20（ a0 ， b0）被圓x2y22x 4 y10截8得的弦長為4，則 11 的最小值為。ab解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x12y224 ，根據(jù)弦長為4 可得直線經(jīng)過圓心。 將圓心1,2代

11、11a2ba2b2 。觀察求解形式可得采用11ab入直線方程可得“1的”代換方法， 即，化簡ab2可得 1132ba2ba2baab 很明顯積為定， 根據(jù)積定和最小法則可得：222 ，當(dāng)且僅ab2abab2b aa 2 2 21 132ba3 2 2a b當(dāng)bb22時取等號，故而可得ab22。a3xy60（基本不等式與線性規(guī)劃）例題9 ：設(shè) x, y 滿足條件 xy20 ，若目標(biāo)函數(shù)x0, y0zaxby （ a0,b0 ）的最大值為12，則32的最小值為。ab解 析 ： 作 出 可 行 域 如 圖 所 示： 故 而 可 得 zax+ by在 點 H4,6取最大值，即4a6b122a3b6 ，

12、由題意可得采用“ 1的”代換求解。323b129b4a即 322aabab，觀察分子可得分子積為定值，根據(jù)積ab669b4a9b4a9b4aa3定和最小法則可得：2122 時取等號，故而可得abab，當(dāng)且僅當(dāng)bab1;.9b4a3212ba4 。ab6（不等式與解三角形）例題7：中，角的對邊分別為，且.（ 1）求角的大??；（ 2）若，求的最大值 .（3）求ABC 周長的最值。 .解析：（ 1）由題意與余弦定理可得a2b2c22bc cos Ab2c2bc ，解得 cos A1，故而 A23（ 2）由余弦定理可得a2b2c2bc3，故而 bc3b2c2 ，由基本不等式a2b2ab 可得2bc 3b2c22bcbc