概率論第二習(xí)題解答

1、第1章 隨機(jī)事件與概率習(xí) 題 1.22一批產(chǎn)品由95件正品和5件次品組成，從中不放回抽取兩次，每次取一件 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率 解 設(shè)A=第一次抽得正品且第二次抽得次品，B=抽得正品和次品各一件，則，3從0,2,3,4,5,6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，求取得的三個數(shù)字能組成三位數(shù)且為偶數(shù)的概率解 據(jù)題意，可分為“個位是0”與“個位不是0”兩種情況，即所求事件的概率為4已知某城市中有55%的住戶訂日報，65%的住戶訂晚報，且至少訂這兩種報中一種的住戶比同時訂兩種報的住戶多一倍，求同時訂兩種報的住戶占百分之幾解 設(shè)A=住戶訂日報，B=住戶訂晚

2、報，則，且 ，從而有 ，即同時訂兩種報的住戶占百分之四十5從09十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求：三個數(shù)字中不含0或5的概率解 設(shè)A=不含數(shù)字0，B=不含數(shù)字5，則所求概率為610把鑰匙中有3把能打開一把鎖，現(xiàn)任取兩把，求能打開鎖的概率解 設(shè)A=任取兩把鑰匙，能打開鎖，利用對立事件，有7一盒中有10只藍(lán)色球， 5只紅色球，現(xiàn)一個個的全部取出求第一個取出的是藍(lán)色球，最后一個取出的也是藍(lán)色球的概率解 設(shè)A=第一個取出的是藍(lán)色球，最后一個取出的也是藍(lán)色球，則8把12枚硬幣任意投入三只盒中，求第一只盒子中沒有硬幣的概率解 設(shè)A=第一只盒子中沒有硬幣，則9把7個編號的同類型的球投進(jìn)4個編號的盒子中，每個

3、球被投進(jìn)任何一個盒子中都是等可能的求第一個盒子恰有2個球的概率解 設(shè)A=第一個盒子中恰有2個球，則10從5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有兩只手套配成1副的概率解 設(shè)A=至少有兩只手套配成1副 ，則或 11一副沒有王牌的撲克牌共52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計算下列事件的概率：（1）四張牌花色各異；（2）四張牌中只有兩種花色；（3）四張牌中有三種花色解 設(shè)A=四張牌花色各異，B=四張牌中只有兩種花色，C=四張牌中有三種花色，則，12擲三枚均勻的骰子，已知它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)各不相同，求其中有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為4的概率解 設(shè)A=其中有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為4 ，則13一間宿舍內(nèi)住有8位

4、同學(xué)，求他們之中至少有2個人的生日在同一個月份的概率解 設(shè)A=至少有2個人的生日在同一個月份，則14四個人參加聚會，由于下雨他們各帶一把雨傘聚會結(jié)束時每人各取走一把雨傘，求他們都沒拿到自己雨傘的概率 解 設(shè)=第i個人拿到自己的雨傘 ，B=四個人都沒有拿到自己的雨傘 ，則15有四個人等可能的被分配到六個房間中的任一間中求：（1）四個人都分配到不同房間的概率；（2）有三個人分配到同一房間的概率解 設(shè)A=四個人分配到不同房間，B=四個人中有三個人分配到同一房間，則，16一袋中有n個黑球和2個白球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率解 設(shè)A=第k次和第k+1次都取到到

5、黑球，則17n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率 解 設(shè)A=甲、乙兩人相鄰而坐，則186個人各帶一把鐵鍬參加植樹，休息時鐵鍬放在一起，休息后每人任取一把鐵鍬繼續(xù)勞動，求至少一個人拿對自己帶來的鐵鍬的概率解 設(shè)=第i個人拿到自己的鐵鍬 ，B=至少有一人拿對自己帶來的鐵鍬 ，則19兩艘輪船都要?？客徊次唬鼈兛赡茉谝粫円沟娜我鈺r間到達(dá)，設(shè)兩船?？坎次坏臅r間分別需要1小時與2小時，求一艘輪船停靠泊位時，另一艘輪船需要等待的概率解 設(shè)分別為甲，乙兩船到達(dá)碼頭的時間，設(shè)A=一艘輪船?？坎次粫r，另一艘輪船需要等待故樣本空間，A發(fā)生的等價條件為“”或“”， 令 ， 則樣本空間的面積 ，且區(qū)域D的面

6、積 ，則 20平面上畫有間隔為d 的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為的針，求針與平行線相交的概率解 以表示從針的中點(diǎn)到最近一條平行線的距離，針與其所夾角為，則樣本空間，事件A=針與平行線相交發(fā)生的等價條件“”，令， 則樣本空間為邊長分別為及的矩形，面積為 ，且區(qū)域D的面積 ，則 習(xí) 題 1.31某種動物的壽命在20年以上的概率為0.8，在25年以上的概率為0.4 現(xiàn)有一該種動物的壽命已超過20年，求它能活到25年以上的概率解 設(shè)=該種動物能活到25年以上，=該種動物的壽命超過20年，即已知 所求概率為 2 在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中不放回地抽取3次，每次抽1件 求第三次才取得次品的概

7、率解 設(shè)=第i次取到合格品，B =第三次才取到次品，由乘法公式有3有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時生產(chǎn)的其中甲廠產(chǎn)品占50%，乙廠產(chǎn)品占30%，丙廠產(chǎn)品占20%，三廠產(chǎn)品中合格品率分別為95%、90%、85%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求該產(chǎn)品為合格品的概率 解 設(shè)=甲廠的產(chǎn)品，=乙廠的產(chǎn)品，=丙廠的產(chǎn)品，=取到一件合格品即構(gòu)成一個完備事件組則 4 一袋中有黃球10個，紅球6個 若不放回取球兩次，每次取一球 求下列事件的概率：（1）兩次都取到黃球；（2）第二次才取到黃球；（3）第二次取到黃球解 設(shè)=第一次取到黃球，=第二次取到黃球，則（1）；（2）；（3）5 一城市位于甲、乙兩河的交匯處，若

8、有一條河流泛濫，該市就會受災(zāi)，已知在某季節(jié)內(nèi)，甲、乙兩河泛濫的概率均為0.01，且當(dāng)甲河泛濫時引起乙河泛濫的概率為0.5求在此季節(jié)內(nèi)該市受災(zāi)的概率解 設(shè)A=甲河泛濫 ，B =乙河泛濫 ，由題意有，則 在此季節(jié)內(nèi)該市受災(zāi)的概率為6 在下列條件下，求：（1）已知； （2）已知，且A，B互不相容解 （1），（2）由于A，B互不相容，故，所以，7 某體育比賽采用五局三勝制，甲方在每一場比賽中勝乙方的概率是0.6（假定沒有和局），求甲方最后取勝的概率解 比賽采用五局三勝制，甲最終獲勝，至少需要比賽三局，且最后一局必須是甲勝，而前面甲需要勝二局，例如，比賽三局，甲勝：甲甲甲；比賽四局，甲勝：甲乙甲甲，乙甲

9、甲甲，甲甲乙甲；再由獨(dú)立性，甲最終獲勝的概率為P(甲勝)=8 設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件一等品，先從兩箱中任挑一箱，再從此箱中前后不放回地任取2個零件，求：（1）取出的零件有一個為一等品的概率；（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率 解 設(shè)=第i箱被挑中，i=1,2，；設(shè)=第j次取出的是一等品，j=1,2（1）取出的零件有一個為一等品的概率為， ，所求概率為 （2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率為0.48569 設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1

10、一顧客選出一箱玻璃杯，隨機(jī)查看4只，若無殘次品，該顧客則購買此箱玻璃杯，否則不買 求：（1）顧客買此箱玻璃杯的概率；（2）若顧客購買了此箱玻璃杯，箱中確實(shí)無殘次品的概率解 設(shè)=箱中有i件 殘次品，i=0,1,2；B=顧客買下該箱玻璃杯，則，（1）由全概率公式，有（2）由貝葉斯公式，有 10 某年級三個班報名參加志愿者的人數(shù)分別為10人、15人、25人，其中女生的分別為3人、7人、5人 現(xiàn)隨機(jī)地從一個班報名的學(xué)生中先后選出兩人，求：（1）先選出的是女生的概率；（2）已知后選出的是男生，而先選出的是女生的概率 解 設(shè)=取到第i班報名表，i=1,2,3，；設(shè)=第j次選出的報名表是女生，j=1,2（1

11、）由全概率公式，有（2）已知后選出的是男生，先選出的是女生的概率為，而 ， ，從而 11 某產(chǎn)品的合格品率為97%時則達(dá)到行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)商家批量驗(yàn)收時，誤拒收“達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品”的概率為0.02，誤接收“未達(dá)標(biāo)產(chǎn)品”的概率為0.05 求一批產(chǎn)品被接收，此批產(chǎn)品確已達(dá)標(biāo)的概率解 設(shè)A=產(chǎn)品合格，=產(chǎn)品不合格，；B=接收產(chǎn)品，=拒收產(chǎn)品，由貝葉斯公式，所求概率為12 一盒中有12個乒乓球，其中9個是新的第一次比賽時從中任取3個來用，比賽后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取3個 求：（1）第二次取出的球皆為新球的概率；（2）若第二次取的球皆為新球，求第一次取到的都是新球的概率解 設(shè)=第一次取到i個新球，i=0

12、,1,2,3， B=第二次取出的都是新球， （1）由全概率公式，有；（2）由貝葉斯公式，有 13 某人忘記了某電話號碼的最后一個數(shù)字，但知最后一個數(shù)字為奇數(shù)，求撥號不超過3次而接通電話的概率解 設(shè)=第i次撥號撥通電話，i=1,2,3， B=撥號不超過3次接通電話，則，故 14 某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品12箱，其中甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別為6箱、4箱、2箱，且三個廠的次品率分別為8%、6%、5% 現(xiàn)從12箱中任取一箱，再從該箱中任取一件產(chǎn)品，求取到一件次品的概率解 設(shè)=甲廠的產(chǎn)品，=乙廠的產(chǎn)品，=丙廠的產(chǎn)品，=取到一件次品即構(gòu)成一個完備事件組則 15 第一箱中有2個白球和6個黑球，第二箱中有

13、4個白球與2個黑球 現(xiàn)從第一個箱中任取出兩球放到第二個箱中，然后從第二個箱中任意取出一球，求此球是白球的概率解 設(shè)=從第一箱中取出2個白球，=從第一箱中取出1個白球1個黑球，=從第一箱中取出2個黑球，=從第二箱中取出1個白球即構(gòu)成一個完備事件組，且則 16 設(shè)袋中有n個黑球，m個白球，現(xiàn)從袋中依次隨機(jī)取球，每次取一個球，觀察顏色后放回，并加入1個同色球和2個異色球 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率解 設(shè)=第i次取到白色球，i=1,2,3，則所求概率為 習(xí) 題 1.41 已知，且A、B相互獨(dú)立，試求：解 ，2 甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊，已知甲命中目標(biāo)的概率為 0.7，乙命中目標(biāo)的概

14、率為0.8，求：(1)甲、乙兩人同時命中目標(biāo)的概率；(2)恰有一人命中目標(biāo)的概率；(3)目標(biāo)被命中的概率解 設(shè)=甲擊中目標(biāo)，B=乙擊中目標(biāo)，則（1）；（2）；（3）3 甲、乙二人約定，將一枚勻稱的硬幣擲三次，若至少出現(xiàn)兩次正面，則甲勝；否則乙勝求甲勝的概率解 至少出現(xiàn)兩次正面包含兩種情況：恰有兩次出現(xiàn)正面、三次都是正面恰有兩次出現(xiàn)正面的概率為；三次都是正面的概率為故甲勝的概率為 5 甲、乙二人進(jìn)行棋類比賽，假設(shè)沒有和棋，每盤甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p 每盤勝者得1分，輸者得0分 比賽獨(dú)立地進(jìn)行到有一人首先超過對方2分時結(jié)束 求甲首先超過對方2分的概率解 設(shè),每盤比賽若甲勝記為A, 若乙

15、勝記為B,根據(jù)題意，比賽共進(jìn)行偶數(shù)盤，若甲首先超過對方2分時，則有共賽兩盤: ；共賽四盤: ；共賽六盤: ；共賽八盤: ；即 6 一汽車沿一街道行駛，要經(jīng)過三個有信號燈的路口，每個信號燈工作都是相互獨(dú)立，且紅、黃、綠信號顯示時間的比例為，求此車通過三個路口時遇到一次紅燈的概率解 汽車經(jīng)過三個有信號燈的路口，可以看作是3重伯努利試驗(yàn)此車通過三個路口時遇到一次紅燈的概率為7 甲、乙、丙三人同時獨(dú)立的向一飛機(jī)射擊，他們擊中飛機(jī)的概率分別為0.4，0.5，0.7 設(shè)若只有一人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為0.2，若恰有兩人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為0.5，若三人均擊中，飛機(jī)墜毀的概率為0.8 求飛機(jī)墜毀的概率解

16、設(shè)=飛機(jī)被i個人擊中，i=1,2,3， B=飛機(jī)墜毀，由獨(dú)立性有，故 8 某廠生產(chǎn)的儀器，經(jīng)檢驗(yàn)可直接出廠的占0.7，需調(diào)試的占0.3，調(diào)試后可出廠的占0.8，調(diào)試后仍不能出廠的占0.2 現(xiàn)新生產(chǎn)臺儀器（設(shè)每臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求：（1）全部能出廠的概率；（2）恰有兩臺不能出廠的概率；（3）至少兩臺不能出廠的概率 解 設(shè)A=1臺儀器可直接出廠， B=1臺儀器最終能出廠，則，（1）P儀器全部能出廠；（2）P恰有兩臺不能出廠；（2）P至少兩臺不能出廠 9 5個元件工作獨(dú)立，每個元件正常工作的概率為p，求以下系統(tǒng)正常工作的概率 （1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（3）橋式連接（如圖141） 解 設(shè)C為

17、系統(tǒng)正常工作，利用獨(dú)立性有（1） 當(dāng)元件串聯(lián)時，需5個元件都正常工作，系統(tǒng)才能正常工作：；（2）當(dāng)元件并聯(lián)時，5個元件至少有一個正常工作，系統(tǒng)才能正常工作：；（3）記中間的元件為，左面兩個元件分別為，右面兩個元件為。當(dāng)正常工作時，相當(dāng)于并聯(lián)，與并聯(lián)電路再串聯(lián)而得；當(dāng)失效時，相當(dāng)于串聯(lián)，與串聯(lián)電路進(jìn)行并聯(lián)而得則；故 10 已知一條昆蟲生產(chǎn)n個卵的概率為，設(shè)一個蟲卵孵化為成蟲的概率為 若卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲的下一代有條成蟲的概率解 設(shè)=昆蟲的下一代有k條成蟲，=昆蟲共生產(chǎn)n個卵，注意到獨(dú)立性，當(dāng)時，；當(dāng)時，第2章 隨機(jī)變量及其分布習(xí) 題2.11 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求 ；解 ； ；4

18、在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，用隨機(jī)變量表示取到的次品數(shù)，試寫出的分布列及分布函數(shù)解 X取值0,1,2，且，的分布列為 分布函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故分布函數(shù)為 6 甲、乙、丙三人參加志愿者服務(wù)，每人在周一至周五任選兩天，記X為這三人周五參加志愿服務(wù)的人數(shù)，求X的分布列解 記P一人選中周五參加志愿服務(wù)，P一人沒有選中周五參加志愿服務(wù)，則X為這三人周五參加志愿服務(wù)的人數(shù)，則X取值為0，1，2，3且，所以X的分布列為7. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為0.4和0.5求（1）二人投籃總次數(shù)Z的概率分布；（2）甲投籃次數(shù)X的概率分布；

19、（3）乙投籃次數(shù)Y的概率分布 解 （1）若：表示第次甲命中，前次甲、乙各投籃次均未命中則，若：表示第次乙命中，前次甲投籃k次均未命中乙投籃次均未命中。則即二人投籃總次數(shù)Z的概率分布為（2）甲投籃次數(shù)X的取值為，且事件包含兩種情況：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投籃次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投籃k次乙投籃次均未命中則 即甲投籃次數(shù)X的概率分布為（3）乙投籃次數(shù)Y的取值為，且事件包含兩種情況：（a）第k次乙命中，前面甲投籃k次乙投籃次均未命中；（b）第次甲命中，前面甲、乙各投籃次均未命中則 即乙投籃次數(shù)Y的概率分布為9 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)a；（2）解 （1）由密度函

20、數(shù)的性質(zhì)，有，所以（2）10 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求常數(shù)a的值，如果，求b的值解 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有，所以，從而由，即，有，從而11 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求(1)常數(shù)k；(2)X的分布函數(shù)；(3)解 （1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，有，所以（2）分布函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，所以分布函數(shù)為 （3）12 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求（1）常數(shù)A；（2）；（3）的密度函數(shù)解 （1）由F(x)的連續(xù)性，有 ，所以 （2） （3）13 設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1，在事件出現(xiàn)的條件下，X在區(qū)間內(nèi)的任意子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù)解 （1）由條件，當(dāng)時，X在區(qū)間上取值的概率為，

21、對于，其中，故時，于是，X的分布函數(shù)為 習(xí) 題 2.24 盒中有5個球，其中有3白2黑，從中隨機(jī)抽取2個球，求抽得白球數(shù)的期望解 X的可能取值為0，1，2，5 射擊比賽，每人射4次（每次一發(fā)），約定全部不中為0分，只中1彈得15分，中2彈得30分，中3彈得55分，中4彈得100分 甲每次射擊命中率為，求他得分的期望解 設(shè)X表示甲的得分，則X的可能取值為0，15，30，55，100， ，甲得分的期望為6 某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率都是0.8，現(xiàn)連續(xù)向同一目標(biāo)射擊，直到第2次擊中為止 求射擊次數(shù)的期望解 設(shè)表示第一次擊中時的射擊次數(shù)，表示第一次擊中后到第二次擊中時的射擊次數(shù)，則，且，由題意知，和

22、相互獨(dú)立，從而 7 已知隨機(jī)變量的分布列為，求，解 ， ，8 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求解 （奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0）9 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求，解 ， ，10 對球的直徑作近似測量，設(shè)其值在區(qū)間 a, b上均勻分布，求球體積的均值解 設(shè)表示球的直徑，則的密度函數(shù)為球的體積 ，11 某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋果 已知該店一周蘋果銷售量X (單位：kg) 服從U1 000,2 000購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出，1kg獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售完，1kg需付耗損、儲藏等費(fèi)用0.3元 問一周應(yīng)購進(jìn)多少(kg)蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤解 設(shè)為商店一周獲得的利潤，為一周蘋果的進(jìn)貨量利潤函

23、數(shù)為 X的密度函數(shù)為 ，令 ，解得 即一周應(yīng)購進(jìn)1 834(kg)蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤12 設(shè)商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量服從區(qū)間 10,30上的均勻分布，而進(jìn)貨量為區(qū)間 10,30中的某一個整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店經(jīng)銷這種商品每周進(jìn)貨量為多少，可使獲利的期望不少于9 280元解 設(shè)為商店的周利潤，為該商品每周的進(jìn)貨量利潤函數(shù)為，X的密度函數(shù)為，要使得，即，有， 解得 所以該商品每周的最小進(jìn)貨量為21單位13 已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求

24、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解 習(xí) 題2.31 某流水線上生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率為0.2，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修 設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)檢修時已生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)為X，求X的方差解 設(shè)表示停機(jī)時已生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，可能取值為，其分布列為，其中，其中，所以 ，方差 2 已知X的分布列為，求常數(shù)a及E(X)解 由分布列的性質(zhì)，有，即，所以4 設(shè)10只同種電器元件中有2只廢品，裝配儀器時，從這批元件中任取1只，若取到廢品，則扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的廢品數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差解 設(shè)=第k次取到正品， 而取出的廢品數(shù)的可能取值為0，1，2，即的分布列為0 1 2 ，5 某

25、設(shè)備由三大部件構(gòu)成，設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)時，各部件需調(diào)整的概率為0.1，0.2，0.3，若各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，求同時需調(diào)整的部件數(shù)的期望與方差解 設(shè)=第k部件需要調(diào)整由題設(shè)，又X的可能取值為0，1，2，3，且相互獨(dú)立，則，即的分布列為0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 則 ，6 設(shè) 求解 被積函數(shù)是奇函數(shù)，且積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，故， 7 已知隨機(jī)變量，求解 隨機(jī)變量的密度函數(shù)，8 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為0.7的0-1分布，求解 由于隨機(jī)變量服從參數(shù)為0.7的0-1分布，故9 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求解 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有，得出， ，10 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求Y的

26、期望與方差解 隨機(jī)變量服從上的均勻分布，密度函數(shù)為，11在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 成功率為0.75, 要使“試驗(yàn)成功的頻率在0.740.76之間” 的概率不小于0.90，則至少要進(jìn)行多少次試驗(yàn)?解 設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則，且由題設(shè)，有，即有解得，所以至少要進(jìn)行18 750次試驗(yàn)12 設(shè)X為非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量, 期望存在，應(yīng)用切比雪夫不等式證明：對任意正實(shí)數(shù)a恒有證明 設(shè)X的密度函數(shù)為，由于X取值非負(fù)，故對任意的，有當(dāng)時，有擴(kuò)大積分限到，被積函數(shù)在上非負(fù)，所以上述積分進(jìn)一步增大，從而習(xí) 題2.41 設(shè)隨機(jī)變量，已知，求兩個參數(shù)n與p的值解 由題設(shè)，由以上兩式解出2 設(shè)X服從泊松分布

27、，已知，求及解 X服從泊松分布，又，即由于參數(shù)，所以解得 ，3 在一個繁忙的交通路口，設(shè)單獨(dú)一輛汽車發(fā)生意外事故的概率為p0.001 如果某段時間內(nèi)有1 000輛汽車通過這個路口，問這段時間內(nèi)，該路口至少發(fā)生1起意外事故的概率是多少？解 設(shè)出事故的次數(shù)為X，則，即有由泊松定理（這里）得4 一本5萬字的學(xué)生用書，按常規(guī)允許出錯率為0.000 1，求該書不多于10個錯誤的概率解 設(shè)出錯誤的次數(shù)為X，則，即有由泊松定理（這里），并查泊松分布表，得5 大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)，發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為lt的泊松分布，求（1）相繼兩次故障之間的時間間隔T的概率分布；（2）在設(shè)備已無故障工作8

28、小時的情況下，再無故障工作8小時的概率解 （1）由于T是非負(fù)隨機(jī)變量，當(dāng)時，當(dāng)時，由于事件與事件等價，因此 即T服從參數(shù)為l的指數(shù)分布， （2）由上可知所求無故障工作8小時的概率為6 某車間有同類設(shè)備100臺，各臺設(shè)備工作互不影響 如果每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率是0.01，且一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理，問至少配備多少維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01解 設(shè)需配備N名維修工人，記同一時刻發(fā)生故障的機(jī)器臺數(shù)為X，則由題設(shè)，需確定最小的N，使得，即由泊松定理，這里，有，查泊松分布表可求得滿足此式最小的N是4，故需至少配備4名維修工人7 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的

29、次數(shù)，每次射擊的命中率為0.4，求解 由題設(shè)，則，8 已知X服從參數(shù)為2的泊松分布，求隨機(jī)變量 Z=3X-2的期望和方差解 由題設(shè)，則，9 某保險公司規(guī)定，如果一年內(nèi)某事件A發(fā)生，則公司賠償客戶一筆款a元，公司估算一年內(nèi)A發(fā)生的概率為p，那么為使公司收益的期望值等于a/10，該公司應(yīng)向客戶收取多少保險金？解 設(shè)保險公司應(yīng)向客戶收取的保險金額為x，保險公司的收益為Y，則Y的可能取值為隨機(jī)變量Y的分布列為-a x p 1-p由題設(shè)，從而，解得 10 某種商品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)X服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點(diǎn) 若規(guī)定表面不超過一個疵點(diǎn)的為一等品，價值十元，表面疵點(diǎn)數(shù)大于1不多于4的為二等品，

30、價值8元某件表面疵點(diǎn)數(shù)是4個以上則為廢品，求產(chǎn)品價值的均值和方差解 商品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)X服從泊松分布，由題設(shè)，即設(shè)Y表示每件產(chǎn)品的價值，則Y的可能取值為10，8，0查泊松分布表，有，所以 習(xí) 題2.53 設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立且無故障工作時間均服從參數(shù)為的指數(shù)分布 當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，求電路正常工作的時間T的概率分布解 設(shè)=第i個元件無故障工作的時間，則相互獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為依題意，設(shè)其分布函數(shù)為 當(dāng)時，；當(dāng)時，故T的分布函數(shù) 密度函數(shù)為 即T服從參數(shù)為的指數(shù)分布4 設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命（單

31、位：小時）均服從同一指數(shù)分布，其參數(shù)為1/600，求在儀器使用的最初200小時內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率解 設(shè)=在儀器使用的最初200小時內(nèi)電子元件損壞，而X表示電子元件的壽命，則X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為設(shè)Y表示在200小時內(nèi)電子元件損壞的只數(shù)，記，則而 ，所求概率為 6 設(shè)，求，解 ，由題意有，7 設(shè)，求，解 ，由題意有，8 某校電器班學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，求數(shù)學(xué)成績在85分以上的學(xué)生約占該班學(xué)生的百分之幾？解 由題意有， ，故數(shù)學(xué)成績在85分以上的學(xué)生約占該班學(xué)生的15.87%9 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器中，調(diào)節(jié)器定在，液體的溫度X()服從（1）若，求；（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d至少為多少？解 （1）若， ；（2）依題意有，從而，即，由于，所以故，而，則，解得，從而d至少為8210 對某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語成績（按百分制計）