中值定理證明方法總結(jié)

1、第5講中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推廣推廣5 5 微分中值定理的應(yīng)用與技巧微分中值定理的應(yīng)用與技巧51 基本概念、內(nèi)容、定理、公式基本概念、內(nèi)容、定理、公式一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),

2、使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費(fèi)馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

3、回 結(jié)束 使2) 定理?xiàng)l件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆

4、向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一

5、點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(ba

6、abFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 羅爾定理羅爾定理0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()(bfaf)()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf柯西中值定理柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n幾個(gè)中值定理的關(guān)系幾個(gè)中值定理的關(guān)系證明中值定理的方法證明中值定理的方法輔助函數(shù)法直觀分析逆向分析例如, 證明拉格朗日定

7、理 :)()()(abfafbf要構(gòu)造滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù) .方法方法1. 直觀分析)(xfy oyxabCxyabafbf)()(由圖可知 , 設(shè)輔助函數(shù)CxabafbfxfxF)()()()(C 為任意常數(shù) )方法方法2. 逆向分析逆向分析)()()(abfafbf要證即證0)()()(abafbff)(FabafbfxfxF)()()()(原函數(shù)法xabafbfxfxF)()()()(輔助函數(shù)同樣同樣, 柯西中值定理要證柯西中值定理要證),(,)()()()()()(bagfagbgafbf即證0)()()()()()(gagbgafbff)()()()()()()(xgagbga

8、fbfxfxF原函數(shù)法)()()()()()()(xgagbgafbfxfxF設(shè)* 中值定理的條件是充分的中值定理的條件是充分的, 但非必要但非必要.可適當(dāng)減弱. 因此例如, 設(shè))(xf在),(ba內(nèi)可導(dǎo),且, )0()0(bfaf則至少存在一點(diǎn), ),(ba使.0)(f證證: 設(shè)輔助函數(shù))(xFaxaf, )0(bxaxf, )(bxbf, )0(顯然)(xF在,ba上連續(xù),在),(ba內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知 , 存在一點(diǎn), ),(ba使,0)(F即.0)(f* 中值定理的統(tǒng)一表達(dá)式中值定理的統(tǒng)一表達(dá)式設(shè))(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上連續(xù) , 且在,ba內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存

9、在一點(diǎn), ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf證證: 按三階行列式展開(kāi)法有)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù))()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf)(xF)()()()()(xgbhahbfaf)()()()()(xhbgagbfaf)()()(

10、)()()()()()(xhbhahxgbgagxfbfaf顯然 F(x) 在a , b 上連續(xù) , 在 (a , b)內(nèi)可導(dǎo), 且,0)()(bFaF因此,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba使)()()()()(xfbhahbgag,0)(F即0)()()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfafF說(shuō)明說(shuō)明設(shè))(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上連續(xù) , 且在,ba內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf若取, )()(,)(, 1)(bfafxxgxh即為羅爾定理;若取,)(, 1)(xx

11、gxh即為拉格朗日中值定理;若取,0)(, 1)(xgxh即為柯西中值定理;( 自己驗(yàn)證 )中值定理的主要應(yīng)用與解題方法中值定理的主要應(yīng)用與解題方法 中值定理原函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì) 反映反映反映反映中值定理的主要應(yīng)用中值定理的主要應(yīng)用(1) 利用中值定理求極限(2) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性質(zhì)(3) 證明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論(6) 證明不等式解題方法解題方法:從結(jié)論入手, 利用逆向分析法, 選擇有關(guān)中值定理及適當(dāng)設(shè)輔助函數(shù) .(1) 證明含一個(gè)中值的等式含一個(gè)中值的等式或證根的存在根的存在 , 常用羅爾定理 , 此時(shí)可用原函數(shù)法設(shè)輔助函數(shù).(2)

12、若結(jié)論中涉及到含一個(gè)中值一個(gè)中值的兩個(gè)不同函數(shù)兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用柯西中值定理 .注：（注：（1 1） 幾個(gè)中值定理中最重要幾個(gè)中值定理中最重要、最常用最常用的是的是: : 羅爾中值定理。羅爾中值定理。 （2 2） 應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為：應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為： 如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點(diǎn)、如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點(diǎn)、 重點(diǎn)）重點(diǎn)）(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)兩個(gè)或兩個(gè)以上中值兩個(gè)以上中值 , 必須多次使用中值定理 .(4) 若已知條件或結(jié)論中含高階導(dǎo)數(shù)含高階導(dǎo)數(shù) ,多考慮用泰勒公式泰勒公式 , 有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .(5) 若結(jié)論為恒等式 ,先證變式導(dǎo)數(shù)為 0 ,

13、 再利用特殊點(diǎn)定常數(shù) .(6) 若結(jié)論為不等式 ,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.構(gòu)造輔助函數(shù)的方法構(gòu)造輔助函數(shù)的方法 (1)不定積分求積分常數(shù)法不定積分求積分常數(shù)法.( )( )( )f bf axCf xba 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以

14、)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5.2 .例題選講例題選講例例2.求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 1 , 0)(即0)()(ffn設(shè)輔助函數(shù)使得)()(1ffnnn0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 輔助函數(shù)輔助函數(shù)如何想出來(lái)的？如何想出來(lái)的？例例3. 設(shè)函數(shù)在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(

15、Mxf證明在)(xf),(ba證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對(duì))(xf在以xx ,0為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理得)()()(00 xxfxfxf( 界于 與 之間)0 xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxf令, )()(0abMxfK則對(duì)任意, ),(bax,)(Kxf即在)(xf),(ba內(nèi)有界.內(nèi)有界.例例4. 設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上連續(xù), 在,0)0(f但當(dāng), ) 1,0() 1 ,0(x時(shí)) 1 ,0(內(nèi)可導(dǎo),且,0)(xf求證對(duì)任意自然數(shù) n , 必有使)1 ()1 ()()(ffffn分析分析: 在

16、結(jié)論中換 為,x得積分積分)1 ()1 ()()(xfxfxfxfnCxfxfnln)1 (ln)(lnCxfxfn )1 ()()1 ()()(1fffnn0)1 ()(ffn因,0)1 ()(ffn所以)1 ()1 ()()(ffffn證證: 設(shè)輔助函數(shù))1 ()()(xfxfxFn顯然)(xF在 1 ,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件,因此必有, ) 1,0(使,0)(F即 不定積分不定積分求積分常數(shù)法求積分常數(shù)法!例例5. 設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上二階可導(dǎo), 且,0) 1 ()0( ff證明至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使.1)(2)( ff分析分析: 在結(jié)論中將換為,x得xxfxf 12)(

17、)(積分積分Cxxfln)1ln(2)(lnCxfx)()1 (2證證: 設(shè)輔助函數(shù))()1 ()(2xfxxF因)(xf在 1 ,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在, ) 1 ,0(使.0)(f因此)(xF在 1 ,上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故必存在, ) 1 ,(使0)(F即有) 1 ,0() 1,(,1)(2)( ff 不定積分不定積分求積分常數(shù)法求積分常數(shù)法!例例6. 設(shè))(xf在,ba上連續(xù), 在,0ba 證明存在, ),(ba),(ba內(nèi)可導(dǎo),且使2)()()()()(ffabbaafbbfa證證: 方法方法1 .因?yàn)樗C結(jié)論左邊為ababbaafbbfaaafbbf)()()()()(設(shè)輔

18、助函數(shù)xxfxF)()(由于,ba上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 且,)()()(2xxfxfxxF易推出所證結(jié)論成立 .)(xF在方法方法2 . 令2)()()()()(ffabbaafbbfakabbaafbbfa)()()()()()(abbakafbbfabakafbbakbfa22)()(aakafbbkbf22)()(因此可考慮設(shè)輔助函數(shù)xxkxfxF2)()(由于)(xF在,ba上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 故存在, ),(ba使,0)(F由此可推得xkxxf)(故所證結(jié)論成立.常數(shù)變易法常數(shù)變易法*例例7. 設(shè))(xf在,ba上連續(xù), 在, 1)()(bfaf證明存在, ),(,ba),(b

19、a內(nèi)可導(dǎo),且使1)()(ffe證證: 轉(zhuǎn)化為證efefe)()(設(shè)輔助函數(shù), )()(xfexFx由于它在,ba滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,即證xxxxexfe)( )(因此存在, ),(ba使)()()(FabaFbF)()(ffeabeeab再對(duì)轉(zhuǎn)化為證efefe)()(xex )(在,ba上用拉氏中值定理 ,則存在, ),(ba使eabeeab因此),(,)()(baefefe)()(ffeabeeab, ),(ba*例例8. 設(shè))(xf在 1 ,0上連續(xù), 在, 1) 1 (,0)0(ff試證對(duì)任意給定的正數(shù),ba) 1 ,0(內(nèi)可導(dǎo),且存在, ) 1,0(, 證證: 轉(zhuǎn)化為證1)()(ff

20、babbaa因, 10baa即) 1 ()0(fbaaf由連續(xù)函數(shù)定理可知, 存在, ) 1,0(使,)(baaf使bafbfa)()(因此)(1fbab對(duì))(xf分別在 1, , ,0上用拉氏中值定理 , 得),0(,)()0()(fff) 1 ,(, )1)()() 1 (fff, 1) 1 (,0)0(ffbaaf)(baa,)(f bab)1)( f1)1 ()()(ffbabbaa,)()(bafbfa即) 1,0(, )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例10. 設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(,

21、 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 結(jié)論可變形為設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例11. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上

22、滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例12. 當(dāng) 時(shí), 試證0 x)21)(41()(211xxxxx證證: 設(shè),)(ttf當(dāng) 時(shí),0 x)(tf在 1,xx上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 因此有)1)(0()(211xxxxx解出) 1(2141)(xxxx, 則0 x時(shí) 21)( x1) 1(212xxx 211)(4