淺談函數(shù)的一致連續(xù)性

1、淺談函數(shù)的一致連續(xù)性（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院 遼寧 錦州 121000 中國）摘要：在數(shù)學(xué)分析中一致連續(xù)函數(shù)具有很重要的地位，其定義在數(shù)學(xué)分析中也算是一個難點(diǎn)。本文主要從一致連續(xù)函數(shù)的直觀理解深入到純分析的論證，只從一致連續(xù)函數(shù)本身的性質(zhì)入手。首先，本文用大量篇幅給出了函數(shù)一致連續(xù)性的證明并做作比較系統(tǒng)的歸納，把函數(shù)一致連續(xù)性的證明方法歸納為四個部分：運(yùn)用區(qū)間套定理，致密性定理，覆蓋定理以及歸結(jié)原則四種方法證明了一致連續(xù)性定理。其次，本文比較完整的給出了一致連續(xù)性函數(shù)的判定方法及性質(zhì)，為我們對一致連續(xù)性函數(shù)的應(yīng)用打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)。再次，本文系統(tǒng)、詳盡地敘述了一致連續(xù)性函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，解決了連續(xù)

2、函數(shù)與一致連續(xù)相互轉(zhuǎn)化的問題。最后，介紹了一致連續(xù)性函數(shù)的描述及其延拓問題。使人們能夠?qū)λ鼈冇袀€全面的了解。關(guān)鍵詞：一致連續(xù)，一致連續(xù)性定理，一致連續(xù)性性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)，一致連續(xù)性判定。Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent

3、continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized,

4、the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and

5、properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual tra

6、nsformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continu

7、ity judgment.分享到 翻譯結(jié)果重試抱歉，系統(tǒng)響應(yīng)超時，請稍后再試· 支持中英、中日在線互譯 · 支持網(wǎng)頁翻譯，在輸入框輸入網(wǎng)頁地址即可 · 提供一鍵清空、復(fù)制功能、支持雙語對照查看，使您體驗(yàn)更加流暢引言 數(shù)學(xué)分析立足于研究有限維空間的函數(shù)分析，它研究了各式各樣的函數(shù)，其中最重要的一類函數(shù)叫做一致連續(xù)性函數(shù)，它是數(shù)學(xué)分析乃至整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要部分。一致連續(xù)性函數(shù)有著許多性質(zhì)，而實(shí)數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間的緊致性使得閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)更有著豐富的性質(zhì)，以下就簡單介紹一下一致連續(xù)性的定義、定理、判定、性質(zhì)以及其延拓。一、一致連續(xù)的概念定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（有限、無限

8、、開、閉、半開半閉等皆可）上有定義，若對任意的，存在正數(shù)即（與有關(guān)），使得對中的任意兩點(diǎn)，只要就有 則稱在區(qū)間上一致連續(xù)。分析：在區(qū)間上一致連續(xù)與（處處）連續(xù)的主要區(qū)別在于前者的僅與有關(guān)），只要中的距離不管它們落在區(qū)間的什么地方，都有，通俗地說，在中的各點(diǎn)的連續(xù)程度是一致的，而后者的卻不僅與有關(guān)而且還與點(diǎn)有關(guān) 因此后者可能在中的各點(diǎn)的連續(xù)程度很不一致。這里可能有人會想：既然對中的每一點(diǎn)都能找到相應(yīng)的，那么取這些最小者或下確界作為正數(shù)不就可以使其與點(diǎn)無關(guān)了嗎？事實(shí)上這未必是能辦到的，原因是區(qū)間中有無限多個點(diǎn)，對應(yīng)著無限多個正數(shù)，這無限多個正數(shù)未必有最小的正數(shù)，而對應(yīng)點(diǎn)取下確界就可能是零了。如例題

9、中 = 對取下確界就是零，而不是正數(shù)了。函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的幾何解釋是：對任給的總存在，使得以為底，為高的矩形能從曲線弧一端沿曲線平移到另一端，而不發(fā)生曲線弧與矩形上下底相交的情形，這個與點(diǎn)位置無關(guān)的公共的正數(shù)的存在性表明了函數(shù)在區(qū)間中各點(diǎn)的“連續(xù)程度”是一致的，這正是一致連續(xù)的緣故。由定義可以知道：（1）在區(qū)間上一致連續(xù)，必在的任一子區(qū)間上一致連續(xù)。（2）在區(qū)間上一致連續(xù)，必在上連續(xù)。（這只要把一致連續(xù)定義中看作中的任一點(diǎn)就行了）（3）在區(qū)間上不一致連續(xù)的含義應(yīng)該是：存在某個對任意（不論有多?。┰谥锌偪梢哉业絻牲c(diǎn)， 使得，而 例題1.證明：在（其中）上一致連續(xù)，在上不一致連續(xù)。證明：（1）

10、對，取，當(dāng)時，由一致連續(xù)的定義知在（）中一致連續(xù)。（2），在內(nèi)取 取，對任意，只要充分大總有 ，在上不一致連續(xù)。例題2.證明在有限區(qū)間上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)。證明：（1）設(shè)任意的，因 故對任給的取正數(shù)，則當(dāng)時，就有就證明了在上一致連續(xù)。（2）注意到對中的任何，均有 要使點(diǎn)與的距離小于，只需取 因此，存在 對任意的，取，便有而，故在上不一致連續(xù)。例題3.設(shè)為任一正常數(shù)，試證：在內(nèi)非一致連續(xù)，在上一致連續(xù)。證明：（1）證明在上一致連續(xù)。證明在滿足Lipschitz條件， 從而，當(dāng)時，。（2）證明在內(nèi)非一致連續(xù)。?。?1,2，），則充分大時，且 （當(dāng)時），但則在內(nèi)非一致連續(xù)。例題4.若在上連續(xù)

11、，存在，則在上一致連續(xù)。證明：因?yàn)?，由柯西?zhǔn)則，存在，當(dāng) 有 又由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)。故對上述，存在，當(dāng)且時，有 取，則 且時，則或者 或者 ， 由，均有 此即證在上一致連續(xù)。例題5.若函數(shù)在區(qū)間上滿足利普希茨條件：， 則在上一致連續(xù)。 證明：，取，則當(dāng)，且時，則在上一致連續(xù)。在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)未必在該區(qū)間上一致連續(xù)，在對區(qū)間上的函數(shù)而言，處處連續(xù)與一致連續(xù)是等價的。二、一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。即若，對、有：則稱函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。證法一（應(yīng)用區(qū)間套定理證明） 用反證法。倘若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上不一致連續(xù)，即存在某一正數(shù)，對任何，在

12、閉區(qū)間上恒存在相應(yīng)兩點(diǎn)、，盡管-，但有：下面我們將證明這一論斷與函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)性的假設(shè)相矛盾?，F(xiàn)將閉區(qū)間三等份（如圖）： 那么在的子區(qū)間和中至少有一個子區(qū)間具有如下性質(zhì)：對這個，無論任何正數(shù)，在這個子區(qū)間上總存在兩點(diǎn)、，盡管-，但有。如果這兩個子區(qū)間都不具有性質(zhì)，那么對這個，分別存在正數(shù)、。對中任意兩點(diǎn)、和中任意兩點(diǎn)、，只要，就有： （）因此，令=，則對閉區(qū)間上任意兩點(diǎn)、，只要- ，由式便有：而這與最初假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上不一致連續(xù)相矛盾，現(xiàn)把具有性質(zhì)的子區(qū)間記為（若兩個子區(qū)間都具有性質(zhì)，則任選其中一個子區(qū)間記為）且有： 再將按上述方法分為兩個子區(qū)間，同理其中至少有一個子區(qū)間具有性質(zhì)，記這個

13、子區(qū)間為，且有： 重復(fù)上述步驟并無限地進(jìn)行下去，則可得到一個閉區(qū)間列，在每一個閉區(qū)間上都具有性質(zhì)，且有：，、 由區(qū)間套定理，存在唯一一點(diǎn),、由定理的已知條件函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，故對上述，存在，對一切，都有：。又由區(qū)間套定理的推論，當(dāng)充分大時，有，故對上任意兩點(diǎn)、，由于、，所以也有：于是有：但這與所具有的性質(zhì)相矛盾，從而證得在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必是一致連續(xù)的。-證畢。證法二（應(yīng)用致密性定理證明） 用反證法，倘若函數(shù)在閉區(qū)間上不一致連續(xù)，則存在某個正數(shù)，對任何正數(shù)，都存在相應(yīng)的兩點(diǎn)、，雖然-，但有： 現(xiàn)以表示自然數(shù)，令=，記與它相應(yīng)的兩點(diǎn)為、，雖然，但有：當(dāng)取遍自然數(shù)時，得數(shù)列，由致密性定理（波爾察諾（

14、Bolzano）定理），存在收斂子列，同時也有：且：。由式有： 現(xiàn)讓式中的，再由函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性知：此式即為這與,這與相矛盾，所以連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。-證畢。證法三（應(yīng)用覆蓋定理證明） 由函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性，任給正數(shù)，對每一個 ，都存在相應(yīng)的正數(shù)，當(dāng)時，便有： （）于是，當(dāng)取遍閉區(qū)間上的各點(diǎn)后，就得到一個開區(qū)間集：它覆蓋了閉區(qū)間?，F(xiàn)由有限覆蓋定理知，存在的一個有限子集：覆蓋了，記，若、且，則必屬于中某開區(qū)間，設(shè)，即：這時也有：再由（）式，便有：和從而就有：從而即得證了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的。-證畢。證法四（應(yīng)用歸結(jié)原則證明）用反證法。假設(shè)不一致連續(xù)，則必有點(diǎn)列使、，且

15、，但：由有界，必有收斂子列，設(shè)，由 有則：由函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則，由歸結(jié)原則知：，有，即：。因?yàn)?，所以矛盾，故假設(shè)不成立，因此連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。-證畢。當(dāng)我們考慮的區(qū)間不是有界閉區(qū)間，而是開區(qū)間或者是無界區(qū)間時，函數(shù)在區(qū)間連續(xù)性就不一定能轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間的一致連續(xù)性，這種轉(zhuǎn)變需要條件。這些條件一方面應(yīng)該是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處或無遠(yuǎn)點(diǎn)處的性態(tài)，另一方面，應(yīng)該是函數(shù)本身的具有的某些性質(zhì)。三、一致連續(xù)函數(shù)的判定及性質(zhì) 1.一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上一致連續(xù)的充要條件是：及都存在。證明：作輔助函數(shù) 則 又 在 上連續(xù)，則在上也連續(xù)，于是在上連續(xù)，因此在上一致連續(xù)，從而在 上一致連續(xù)。反

16、之，函數(shù)在區(qū)間 上一致連續(xù)，： 有 ，于是，當(dāng)時，就有，從而有 因此，由柯西收斂準(zhǔn)則知存在。同理可證存在。定理2：設(shè)在 上連續(xù)，在上一致連續(xù)，且，則在上一致連續(xù)。證明： 因?yàn)?，則對任給的，存在正數(shù)，當(dāng)時，有。又因?yàn)樵?上一致連續(xù)，則對上述，存在，只要 ，就有。 因此對任意有 ，而在閉區(qū)間上一致連續(xù)，即對上述，存在，只要，時，有 所以在上一致連續(xù)。定理3： 若函數(shù)在連續(xù)，且，則函數(shù) 在上一致連續(xù)。證明： 因?yàn)?，則對任給的，存在正數(shù)，只要，就有。又因?yàn)樵谏线B續(xù)，則在上一致連續(xù)，即對上述，存在，對任何， ，有，所以函數(shù) 在上一致連續(xù)。定理4： 函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的充要條件是在上存在兩個數(shù)列，使

17、的，但當(dāng)時 ，。證明： （1）必要性：因在區(qū)間上非一致連續(xù)，則存在 ，取，存在數(shù)列、。當(dāng)時，有，即當(dāng)時 ， 。（2）充分性：若在區(qū)間上非一致連續(xù)，則對任給的，對任意，只要，就有。又因?yàn)?，則對上述，存在，對于任意的，有，所以，即，與已知矛盾。所以函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)。定理5： 若函數(shù)在（）上連續(xù)且，（，）都存在，則函數(shù)在（）一致連續(xù)。推論6：若函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。推論7：若函數(shù)在上連續(xù)且，都存在，則函數(shù)在上一致連續(xù)。（反之不一定成立，例如在上一致連續(xù)，但，都不存在。）例題6. 設(shè)都于區(qū)間一致連續(xù)且有界，證明：也于一致連續(xù)。證明：由題設(shè)有界，從而存在，使，。再由

18、都一致連續(xù)，則和使，且時有，令，則，且時， 在上一致連續(xù)。2.一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)函數(shù)，所以一致連續(xù)函數(shù)具有有界性、最值性和介值性。它還有下面一些常見的性質(zhì)。(1) 函數(shù)與都在上一致連續(xù)，則，(有意義)在上一致連續(xù)。證明：因?yàn)榕c都在上一致連續(xù)，所以，當(dāng)時，有；，當(dāng)時，有 。又由一致連續(xù)函數(shù)有最值性知 與都在上有最大值和最小值，分別設(shè)為。取 則，即在一致連續(xù)。取則，即在一致連續(xù)。取則，即在一致連續(xù)。(2)函數(shù)與在上一致連續(xù)，則，在一致連續(xù)。證明：因?yàn)榕c在一致連續(xù)，所以，與在連續(xù)，且，都存在。所以可以延拓與。令 與都在連續(xù)，所以與都在一致連續(xù)。應(yīng)用上面結(jié)論知，都在

19、一致連續(xù)。又因?yàn)樵谏暇褪牵褪?，所?，在一致連續(xù)。(3)在開區(qū)間一致連續(xù)，則在有界。證明：與上面證法類似作出。因?yàn)樵谶B續(xù)，所以在上有界，即在內(nèi)有界。又因?yàn)樵谏霞词?，所以在有界。但是若將換成R，則結(jié)論不成立。例： ，取，則 ，所以在R上一致連續(xù)，但是在R上卻無界。下面還有幾個常見的錯誤。(1)若，函數(shù)在一致連續(xù)，得出在內(nèi)一致連續(xù)。例：在(0，1)不一致連續(xù)，但在上卻一致連續(xù)。由此可見，一致連續(xù)函數(shù)的傾斜程度很平穩(wěn)，不會無限大。（2）在R上一致連續(xù)，則在R上一致連續(xù)。例：在R上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)。證明：取，不論正數(shù)取的多么小，只要充分大，我們就可以使 與 ，但 ，故在R上不一致連續(xù)。四、

20、一致連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系1.一致連續(xù)函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。2.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。證明：（用反證法）假設(shè)在上不一致連續(xù)，則某個正數(shù)，對任何正數(shù)，都對應(yīng)的，雖然，但有。現(xiàn)以表示自然數(shù)，令，記與它相應(yīng)的兩點(diǎn)為，雖然，但有 (1)當(dāng)取遍自然數(shù)時，得數(shù)列。由致密性定理,收斂子列，()。同時也有，且()。由(1)有 (2)現(xiàn)讓(2)式中，再由在連續(xù)性知，這與矛盾，所以在一致連續(xù)。3. 函數(shù)在開區(qū)間一致連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間連續(xù)，且都存在。證明：(必要性) ，由上面證明已知在連續(xù)，又由的任意性知 在連續(xù)。下面只證存在，的證法與之類似。因?yàn)樵谝恢逻B續(xù)，所以，有 。取，則當(dāng)時，必有 ，也有，。由上

21、式可以推出 ，由極限存在的柯西準(zhǔn)則知 存在。(充分性) 令 則由在連續(xù)知，在連續(xù)從而一致連續(xù)。4.若在連續(xù)單調(diào)、有界，則函數(shù)在一致連續(xù)。證明：由單調(diào)有界性知，存在，由(3)知 在一致連續(xù)。5.若函數(shù)在上連續(xù)，且，則在一致連續(xù)。證明：由知，有 。所以，也有 。則。而是閉區(qū)間，所以在上一致連續(xù)。所以對上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。綜上所述，在一致連續(xù)。對于5也可以改為在上連續(xù)，且，則在一致連續(xù)。證法類似，分別區(qū)間為，(，+)。則時，必同時在三個區(qū)間之一，所以在一致連續(xù)。6.在R上連續(xù)周期函數(shù)是一致連續(xù)函數(shù)。證明 設(shè)是一個周期，因?yàn)樵赗上連續(xù)，且在上連續(xù)，所以一致連續(xù)。即，有 。：，存在

22、整數(shù)，滿足，因?yàn)?，所以 ，即 。所以是R上的一致連續(xù)函數(shù)。五、用連續(xù)模數(shù)描述一致連續(xù)性定義：若在區(qū)間上有定義，則稱為函數(shù)的連續(xù)模數(shù)。可見是關(guān)于的非負(fù)、不減函數(shù)。下面我們借助它來描述一致連續(xù)性。 從定義可以直接看出 因此Lipschitz連續(xù)一致連續(xù)。這就得到強(qiáng)度依次逆減的三個概念: Lipschitz連續(xù)一致連續(xù)連續(xù)。例題7. 若在區(qū)間上有定義，則在上一致連續(xù)的充要條件是。證明：（1）必要性。因在上一致連續(xù)，因此，當(dāng)時有。從而 ， 故時， 所以 。（2）充分性。由 知： 使得 ，故當(dāng) 有所以在上一致連續(xù)。注意：由此可得一致連續(xù)的觀察法。因?yàn)榈闹抵慌c的圖形最陡的地方有關(guān)，若的圖形在某處無限變陡，使得（時），則非一致連續(xù)。若在某處最陡，但時，此處的變差，則一致連續(xù)。例如：，在處，圖形無限變陡時。因此在任何區(qū)間上都是非一致連續(xù)的。但在區(qū)間上，在點(diǎn)最陡，且（當(dāng)時）?？梢娫谏弦恢逻B續(xù)。六、一致連續(xù)函數(shù)的延拓問題前面的例題告訴我們，若在內(nèi)一致連續(xù)，則在端點(diǎn)處有有限極限，因此若將極限值分別作為在點(diǎn)的值，那么被延拓到閉區(qū)間上，且在上一致連續(xù)，下面我們將此推廣到一般的集合上。為此，我們首先把一致連續(xù)的概念，推廣到任意的集合上。定義：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，若，有 ，則稱函數(shù)在集合上一致連續(xù)。例題8.設(shè)在