拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作者:日期:課題2. 4.2拋物線的簡(jiǎn)單授課時(shí)間兒何性質(zhì)（）任課教師閔海鷹授課年級(jí)高二掌握拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)教知識(shí)目標(biāo)學(xué)能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對(duì)拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描能力目標(biāo)目點(diǎn)、畫拋物線圖形5標(biāo)德育目標(biāo)在對(duì)拋物線兒何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用教學(xué)重點(diǎn)拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)教法探究法,講練結(jié)合法，講授使用教具計(jì)算機(jī)直尺、投影儀、計(jì)法算器一、復(fù)習(xí)引入：1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做 拋物線*定點(diǎn)F叫做中yyi yI一O丁教圖形一匕_ ；厶7K學(xué)方2-

2、一 2 -一 2 -一 2 - 一程y2 px( p 0) y2 px( p 0) x 2 py( p 0) x2py( p 0)隹(7,0)(號(hào),0)(0,衛(wèi))(0,蟲)點(diǎn)2 22 2過準(zhǔn)pxx衛(wèi)y衛(wèi)y衛(wèi)線22 |2 2拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的 準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：-程相同點(diǎn)：（1 ）拋物線都過原點(diǎn)；（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；（3 ）準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的-,即42p p42不冋點(diǎn)：（1 ）圖形關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)， X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)，方程右端為 2px、左端為y2 ；圖形關(guān)于 Y軸對(duì)稱時(shí),X為二次項(xiàng),Y

3、為一次項(xiàng)，方程右端為2py ,左端為X2（2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時(shí) ，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正 號(hào)；開口在X軸（或Y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或 Y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào) .二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1. 范圍因?yàn)閜 0,由方程y2 2px p 0可知，這條拋物線上的點(diǎn) M的坐標(biāo)（x , y ）滿足 不等式x0,所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，丨y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸2. 對(duì)稱性以y代y,方程y2 2px p 0不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的 軸.3. 頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋

4、物線的頂點(diǎn).在方程y2 2px p 0中，當(dāng)y = 0時(shí)，x=0,因此拋物線y2 2px p 0的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).4. 離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知,e=1 .對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下:標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦占八、八、準(zhǔn)線離心率y2 2px p 0三0,0x軸x衛(wèi)2e 1y22pxp 00,0x軸衛(wèi)。2x衛(wèi)2e 1x2 2py p 00,0y軸0，于y子e 1注拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨向于無 窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線在這一點(diǎn)的切線斜率接近

5、于對(duì)稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對(duì)稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率一附：拋物線不存在漸近線的證明.（反證法）假設(shè)拋物線 y2 =2 px存在漸近線y =mx + n, A y ）為拋物線上一點(diǎn)，A（x，yi）為漸近線上與 A橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)如圖，則有 y 2 px和 yi= mx +n.yAA1,” 05y1ymx n、2 px(X ,則 |yiy當(dāng)m = 0 時(shí)，y1 y2 px ,當(dāng) xT+R ,則力 y這與y =m）+ n是拋物線y 2=2 px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1已知拋物線關(guān)于X軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在

6、坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn) M （2, 2 2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形.分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p.解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y2 2px，因?yàn)樗^點(diǎn) M（2, 2 2），所以（22）2 2p 2，即 p 2因此，所求的拋物線方程為 y2 4x.將已知方程變形為 y 2 x，根據(jù)y 2.x計(jì)算拋物線在 x 0的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐 標(biāo)，得x0i234y022.83.54描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分-點(diǎn)評(píng):在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線

7、，也就是 說,拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑6 0cm燈深為40cm求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置.分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋 物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y 2px （po）.由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是 （4 0, 3 0）,代入方程，得302 2p 40 ,45所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y245x例3過拋物線y2 2px的焦點(diǎn)F任作一條直線

8、m交這拋物線于A、E兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡(jiǎn)捷.證明：如圖設(shè)AE的中點(diǎn)為E,過A E、E分別向準(zhǔn)線I引垂線AD EHJ BC垂足為 D H、C,則| A Fl =| ADI, | BF |= I BC | AB| = | AF + | B F |= | AD +l BC|= 2| EH |所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHL I，因而圓E和準(zhǔn)線I相切.四、課堂練習(xí)：1.過拋物線y2 4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于Ax! , y! , B X2, y?兩點(diǎn)，如果XiX26,那么| AB|=(A)10(B) 8(C)6(D

9、)4已知M為拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)P 3, 1 ,則| MP | MF |的最小值為(B )(A) 3(B) 4( C) 5(D) 63.過拋物線yax2 a0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、QF的長(zhǎng)分別是p、q，則1 -=(C )pq(A) 2a(B)1(C) 4a(D)42aa4.過拋物線2 y4x焦點(diǎn)F的直線I它交于A、B兩點(diǎn),則弦 AB的中點(diǎn)的軌跡方程是(答案：y 2 x i )5定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2 x上移動(dòng)，求 AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距 離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).5155(答案：M, M到y(tǒng)軸距離的最小值為)42

10、4五、 小結(jié)：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線、中心等*六、課后作業(yè)：1. 根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖(1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8.(2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上，且過 P(4 , 2)點(diǎn). 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P ( m -3)到焦點(diǎn)距離為5.2. 過拋物線焦點(diǎn) F的直線與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是 氏，B2, 則/ A 2FB等于3. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16,求拋物線方 程24. 以橢圓Xy21的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢5圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng).5. 有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬4 0米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面 寬