排列組合問題解題思路

1、排列組合問題解題思路首先，怎樣分析排列組合綜合題？1）使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某事件時采取的方式而定，分類來完成這件事時用 “分類計數(shù)原理”，分步來完成這件事時就用 “分步計數(shù)原理”， 怎樣確定分類，還是分步驟？ “分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成， 分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。2）排

2、列與組合定義相近，它們的區(qū)別是在于是否與順序有關(guān)。3）復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫簡圖、小數(shù)字化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗，亦常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。4）按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理組合問題的基本思想 方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5） 處理排列、組合綜合性問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題基本方法和原理，通過解題訓(xùn)要注意積累分類和分步的基本技能。6）在解決排列、組合綜合性問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練確定問題是排列

3、問題還是組合問題，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù)?！?16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即:分類相加，分步相乘，有序排列,無序組合。|“ 12個技巧”是迅速解決排列組合的捷徑，具體方法與運用如下：一特殊元素的“優(yōu)先排列法”：對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考其他的元素。二總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。三合理分類與準確分步：含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按 事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。四. 相鄰問題用捆綁法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相

4、鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。五. 不相鄰問題用“插空法”：對某幾個元素不相鄰的排列問題，可將其他元素排列好，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。六. 順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素 與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。七分排問題用直接法：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排方法來處理。八.試驗：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。例將數(shù)字1 , 2, 3, 4填入標號為1 , 2, 3, 4，的方格中，每方格

5、填 1個，方格標號 與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有( )A,6 B.9 C.11 D.23解：第一方格內(nèi)可填 2 或 3 或 4，如第一填 2，則第二方格可填 1 或 3 或 4，若第二方 格內(nèi)填 1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3 或 4，后兩方格也只有一種填法。一共有 9 種填法，故選 B九探索：對于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要認真分析，探索出其規(guī)律 ;例.從 1到 100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。解：兩個數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1 為被加數(shù)時有 1 種， 2 為被加數(shù)有2種，49為被加數(shù)的

6、有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52 為被加數(shù)有48種，99為被捕加數(shù)的只有 1種，故不同的取法有(1+2+3+50)+(49+48+ +1) =2500種十消序例。 4個男生和 3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮 到高排列，有多少種排法。解：先在 7 個位置中任取 4 個給男生，有 A74 種排法，余下的 3 個位置給女生，只有一 種排法，故有 A74 種排法。十一 . 住店法：解決“允許重復(fù)排列問題”要區(qū)分兩類元素，一類元素可以重復(fù)，另一 類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作店，再利用分步計數(shù)原理直接求解稱“住店法”;例.7 名學(xué)生爭五項冠

7、軍，獲得冠軍的可能種數(shù)有()A. 75 種B.57 種C.A；種D.C；種解. 七名學(xué)生看作七家“店” ，五項冠軍看作 5 名“客”，每個客有 7 種住法，由分步計5數(shù)原理可得 75種，故選 A十二.對應(yīng)例.在1 00名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽 (即一場失敗要退出比賽) 最后產(chǎn)生一名冠軍， 要比幾場？解.要產(chǎn)生一名冠軍， 要淘汰冠軍以外的所有選手， 即要淘汰 99名選手， 要淘汰一名就 要進行一場，故賽 99 場。以上十二種方法是解決一般排列組合問題常用方法， 數(shù)學(xué)是一門非常靈活的課程， 解題 法僅僅限于這“ 12個技巧”，此外，常用的還有“隔板法” ，“倍縮法”。排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想方法

8、也是用得多的 (教師點評： 這句可改為 “排列組合問題 中蘊藏著數(shù)學(xué)思想方法” )一分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們在分析問題時，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c，從不同的側(cè)面，把原問題變成幾個小問題，分而治之,各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個元素，Ap|B含有4個元素，求同時滿足下列條 件的集合C的個數(shù)：1）C二AUB且C中含有3個元素，2）C|A = '解：如圖，因為 A, B各含有12個元素，A"B含有4個元素， 所以AUB中的元素有12+12-4=20個，其中屬于A的有12個，屬于A而不屬于B的有8個，要使'，貝U C中的

9、元素至少含在 A中，集合C的個數(shù)是：1）只含A中1個元素的有； 2）含A中2個元素的有C：C； ； 3）含A中3個元素的有，故不求的集合C的個數(shù)共有 ccf+cic； +C1|C80 =1084 個二等價轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題沒有限定的“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計出一個等價轉(zhuǎn)化的途徑，可使問題的解決呈現(xiàn)出 “要柳暗花明”的格局。1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒擊中用“ 1 ”表示，擊中的用“ 0”表示，可將問題轉(zhuǎn)化不下列問題：數(shù)列印82月3月4月5,86® 有兩項為0, 5項是1,不同的數(shù)列個

10、數(shù)有多少個？解：1）兩個0不相鄰的情況有C；種，2）兩個0相鄰的情況有C：種，所以擊中和末擊中的不同順序情況有 C（?+C6=21種。2）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體8個頂點的直線中，為異面直線有多少對？分析：正面求解或反面求解（利用補集，雖可行，但容易遺漏或重復(fù)，注意這樣一個事 實，每一個三棱錐對應(yīng)著三對異面直線，因而轉(zhuǎn)化為計算以正方體頂點，可以構(gòu)成多少個三棱錐）解：從正文體珠8個頂點中任取4個，有C84種，其中4點共面的有12種，（6個表面和6個對角面）將不共面的4點可構(gòu)一個三棱錐，共有C；-12個三棱錐，因而共有3（C：-12 ）=174對異面直線。綜上所述，有以上幾種解排列組

11、合的方法，此外，當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累，我們要掌握好這些方法，并且能夠靈活運用，這樣，在日常生活中，我們們能輕 易解決很多問題。教師點評：對排列組合問題的處理方法總結(jié)得很細、很全面，而且挖掘出其中所蘊藏的 數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。1文氏圖：在文氏圖中，以下圖形的含義如下：矩形：其內(nèi)部的點表示全集的所有元素；矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合;圓（或閉曲線）內(nèi)部的點：表示相應(yīng)集合的元素。2、三交集公式： A+B+C=A U BU C+M B+BH C+MC -AH BAC（A U BU C指的是 E, AH BAC指的是 D）二、應(yīng)用舉例例：2005

12、年真題對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡所戲劇的有16人，三種都喜歡看的有 12人，則只喜歡看電影的有：A工人B嘔人（劉人I）弘人【解析】首先，根據(jù)題意畫出文氏圖如下:A （球迷）=58B （戲迷）=38C （影迷）=52E （員工總數(shù)）=100。A+B+C=58+38+52 = 148A U B U C= 100APB = 18BAC = 16A A BAC= 12然后，根據(jù)三交集公式 A+B+C=A U B U C+AP B+BH C+APC-A

13、A BQ C推出：AAC = A+B+C A U BU C AAB BA C+ AA BA C=148-100-18-16+12=26最后得出： 只喜歡看電影的人= C- AAC - （ BAC - AA BAC ） = 52-26- （16-12）= 52-26-4 =22選擇A正確。例1 .書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。（1 ）若從這些書中任取一本， 有多少種不同的取法？（ 2 ）若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。解：（1）由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，

14、故應(yīng)分類，由于有3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。（2）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成3個步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3 X 5 X 6=90 （種）。（3 ）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況（數(shù)語各1本，數(shù)英各1本，語英各1本）而在每一類情況中又需分 2個步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法 兩個原理計算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X 5+3 X 6+5 X 6=63 （種）。例2 .已知兩個集合 A=1，2，3，B=a,b,c,d，e，從A到B建立映射，問可建立多少個不同的映射？分析：首先應(yīng)明確本

15、題中的“這 件事是指映射，何謂映射？即對A中的每一個元素，在 B中都有唯一的元素與之對應(yīng)?！币駻中有3個元素，則必須將這3個元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個步驟，當(dāng)這三個步驟全進行完，一個映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5 X 5 X 5=53 (種)。2 排列數(shù)與組合數(shù)的兩個公式排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計算；二是階乘的 形式，這種形式主要用于化簡與證明。連乘積的形式階乘形式等式成立。評述：這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)：n!(n+1)=(n+1)!可使變形過程得以簡化。例 4

16、.解方程解：原方程可化為：解得x=3。評述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號時，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這 重要限定寫在脫掉符號之前。 3.排列與組合的應(yīng)用題歷屆高考數(shù)學(xué)試題中， 排列與組合部分的試題主要是 應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容 和情景是多種多樣的，而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法。( 1)在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先后次

17、序，據(jù)乘法原理，可用占位法。( 2)間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡單明了，據(jù)的原理，采用排除的方法來獲得問題的解決。特殊方法：( 1 )特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 ( 2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法” ，緊密結(jié)合粘 成小組，組內(nèi)外分別排列。 ( 3)插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法” ，不需分離的站好 實位，在空位上進行排列。 (4)其它方法。例 5. 7 人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種 數(shù)。(1 )甲排中間； (2)甲不排兩端； ( 3)甲，乙相鄰； ( 4)甲在乙的左邊(不要求相鄰) ；(5)甲，乙，

18、丙連排； ( 6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。解：( 1 )甲排中間屬“特元特位” ，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余 6人任意排列，故共有： 1X=720 種不同排法。 (2)甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安 置甲在中間五個位置上任何一個位置則有種，其余6人可任意排列有種， 故共有 =3600種不同排法。(3)甲、乙相鄰，屬于“捆綁法” ，將甲、乙合為一個“元素” ，連同其余 5人共 6個元素任意排列，再由甲、 乙組內(nèi)排列，故共有=1400種不同的排法。(4)甲在乙的左邊?？紤]在 7人排成一行形成的所有排列中： “甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對應(yīng)的，在不要求相鄰時，各占所有排列的

19、一半，故甲在 乙的左邊的不同排法共有 =2520 種。(5)甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆 綁法”，先將甲、乙、丙合為一個“元素” ，連同其余 4人共 5個“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換 位置，故共有 =720 種不同排法。(6)甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用 “插空法”，先將甲、乙、丙外的 4 人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空” 。再將甲、乙、丙 插入其中的三個“空” ，故共有 =1440 種不同的排法。例 6.用 0， 1， 2， 3， 4， 5這六個數(shù)字組成無重復(fù) 數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個數(shù)： (1)奇數(shù)；(2) 5的倍數(shù)；(3)比 20300 大的數(shù)；(4)不含 數(shù)字 0，且1， 2不相鄰的數(shù)。解： (1)奇數(shù)：要得到一個 5位數(shù)的奇數(shù)，分成 3步，第一步考慮個位必須 是奇數(shù)，從 1， 3， 5中選出一個數(shù)排列個位的位置上有種；第二步考慮首位不能是 0，從余下的不是 0的 4個數(shù)字中任選一個排在首位上有種； 第三步： 從余下的 4個數(shù)字中任選 3