絕對值化簡_題庫教師版

1、絕 對 值 化 簡中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求絕對值借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求實數(shù)的絕對值會利用絕對值的知識解決簡單的化簡問題例題精講絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離.數(shù)的絕對值記作.絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.注意：取絕對值也是一種運算，運算符號是“”，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號.絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是.絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0.任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：符號是負(fù)號

2、，絕對值是.求字母的絕對值： 利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.絕對值非負(fù)性：如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若，則，絕對值的其它重要性質(zhì)：（1）任何一個數(shù)的絕對值都不小于這個數(shù)，也不小于這個數(shù)的相反數(shù)，即，且；（2）若，則或；（3）；（4）；（5），對于，等號當(dāng)且僅當(dāng)、同號或、中至少有一個時，等號成立；對于，等號當(dāng)且僅當(dāng)、異號或、中至少有一個時，等號成立板塊一：絕對值代數(shù)意義及化簡【例1】 （2級） 下列各組判斷中，正確的是 ( )A若，則一定有 B若，則一定有C. 若，則一定有 D若，則一定有 如果，則 ( )A B C D 下列式子

3、中正確的是 ( )A B C D 對于，下列結(jié)論正確的是 ( )A B C D若，求的取值范圍【例2】 已知：，且；，分別求的值【例3】 已知，求的取值范圍【鞏固】 （4級）若且，則下列說法正確的是（ ）A一定是正數(shù) B一定是負(fù)數(shù) C一定是正數(shù) D一定是負(fù)數(shù)【例4】 求出所有滿足條件的非負(fù)整數(shù)對【鞏固】 非零整數(shù)滿足，所有這樣的整數(shù)組共有 如果有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，求的值.【鞏固】 已知，那么 【例5】 是一個五位自然數(shù)，其中、為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且，則的最大值是 【例6】 已知，其中，那么的最小值為 【例7】 設(shè)為整數(shù)，且，求的值【鞏固】 已知且，那么 【例8】 （6級）（1）（第屆希望

4、杯試）已知，則 （2）（第屆希望杯試）滿足（）有理數(shù)、，一定不滿足的關(guān)系是（ ）A B C D （3）（第屆希望杯試）已知有理數(shù)、的和及差在數(shù)軸上如圖所示，化簡這道題目體現(xiàn)了一種重要的“先估算+后化簡+再代入求值”的思想（2）為研究問題首先要先將題干中條件的絕對值符號通過討論去掉，若時，若時，從平方的非負(fù)性我們知道，且，所以，則答案A一定不滿足（3）由圖可知，兩式相加可得：，進(jìn)而可判斷出，此時，所以【鞏固】 （8級）（第屆希望杯試）若，則 【解析】 ，故【補充】（8級）若，求的值【解析】 法1：，則原式法2：由，可得，則原式點評：解法二的這種思維方法叫做構(gòu)造法這種方法對于顯示題目中的關(guān)系，簡化

5、解題步驟有著重要作用【例9】 （10級）設(shè)，其中，試證明必有最小值【解析】 因為，所以進(jìn)而可以得到： ，所以的最小值為【例10】 （8級）若的值是一個定值，求的取值范圍.【解析】 要想使的值是一個定值，就必須使得，且， 原式，即時，原式的值永遠(yuǎn)為3.【鞏固】 （8級）若的值為常數(shù)，試求的取值范圍【解析】 要使式子的值為常數(shù)，得相消完，當(dāng)時，滿足題意【例11】 （2級）數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如右圖所示，試化簡 【解析】 【鞏固】 （2級）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，化簡【解析】 由題意可知：，所以原式【鞏固】 （2級）若且，化簡.【解析】 若且，【例12】 （8級）(北大附中2005-2006學(xué)年度第

6、一學(xué)期期中考試)設(shè)為非零實數(shù)，且，化簡【解析】 ，；，；，所以可以得到，；【例13】 （6級）如果并且，化簡.【解析】 .【鞏固】 （2級）化簡：； 【解析】 原式；原式【鞏固】 （6級）若，求的值.【解析】 .【鞏固】 （8級）（第屆希望杯試）若，那么等于 【解析】 ，可得：，所以，【鞏固】 （2級）已知，化簡【解析】 因為，所以，原式【例14】 （8級）已知，化簡.【解析】 當(dāng)時，.【鞏固】 （8級）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）已知，化簡【解析】 由的幾何意義，我們?nèi)菀着袛喑鏊浴纠?5】 （8級）若，化簡【解析】 【鞏固】 （8級）（四中）已知，化簡【解析】 ，又， ，又，又，原式點評：詳細(xì)的

7、過程要先判斷被絕對值的式子，再去絕對值的符號、【例16】 （8級）（第14屆希望杯邀請賽試題）已知是有理數(shù)，且，求的值【解析】 因，故，又因為，所以，故原式板塊二：關(guān)于的探討應(yīng)用【例17】 （6級）已知是非零有理數(shù)，求的值.【解析】 若，那么；若，那么.【例18】 （10級）（2006年第二屆“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）已知，且都不等于，求的所有可能值【解析】 或或【鞏固】 （10級）（北京市迎春杯競賽試題）已知是非零整數(shù)，且，求的值【解析】 因為是非零有理數(shù)，且，所以中必有一正二負(fù)，不妨設(shè)，則原式【鞏固】 （2級）若，則；若，則.【解析】 ；.重要結(jié)論一定要記得.【鞏固】 （6級）當(dāng)時，化

8、簡【解析】 ，當(dāng)，即時，所以；當(dāng)，即時，所以.【例19】 （8級）（2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽黃岡市選拔賽試題）若，則的值是（ ）A B C D【解析】 C特殊值法：取, 代入計算即可【鞏固】 （2級）下列可能正確的是（ ）A B C D【解析】 選D排除法比較好或特殊值法，【鞏固】 （6級）如果，則等于（ ）A B C D【解析】 B【例20】 （8級）如果，則的值等于（ ）A B C D【解析】 易知，所以原式，故選擇A【例21】 （8級）已知，求的值【解析】 ，、三個數(shù)都不為零若、三個數(shù)都是正數(shù)，則、也都是正數(shù)，故原式值為若、中兩正、一負(fù)，則、中一正、兩負(fù)，故原式值為若、中一正、兩負(fù)，則

9、、中一正、兩負(fù)，故原式值為若 、中三負(fù)，則、中三正，故原式值為【鞏固】 （6級）若，均不為零，求.【解析】 若，全為正數(shù)，則原式；若，兩正一負(fù)，則原式；若，一正兩負(fù)，則原式；若，全為負(fù)數(shù)，則原式.【例22】 （6級）（第屆希望杯試）如果，求的值【解析】 由得，進(jìn)而有，若，則，若，則【鞏固】 （6級）若，均不為零，且，求.【解析】 根據(jù)條件可得，有1個負(fù)數(shù)或2個負(fù)數(shù)，所以所求式子的值為或【例23】 （8級），為非零有理數(shù)，且，則的值等于多少？【解析】 由可知，里存在兩正一負(fù)或者一正兩負(fù)；若兩正一負(fù)，那么；若一正兩負(fù)，那么綜上所得【鞏固】 （10級）（?？谑懈傎愵}）三個數(shù)，的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且

10、， 求的值.【解析】 ，中必為一負(fù)兩正，不妨設(shè)，則； ，所以原式1.【鞏固】 (8級)（第屆希望杯培訓(xùn)試題）如果，求的值【解析】 由，兩兩相加可得：，所以原式結(jié)果為1若將此題變形為：非零有理數(shù)、，求等于多少？從總體出發(fā)：，所以原式【例24】 （8級）（“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題）設(shè)實數(shù)，滿足，及，若，那么代數(shù)式的值為_【解析】 由及，知實數(shù)，中必有兩個負(fù)數(shù)，一個正數(shù)，從而有又=，則【例25】 （8級）有理數(shù)均不為零，且，設(shè)，則代數(shù)式的值為多少？【解析】 由易知中必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，不妨設(shè)或 所以或者，所以，所以原式【鞏固】 （8級）有理數(shù)均不為零，且，設(shè)，則代數(shù)式的值為多少？【解析】

11、由易知中必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，不妨設(shè)或 所以或者，所以當(dāng)時，原式 當(dāng)時，原式【鞏固】 （8級）已知、互不相等，求的值【解析】 由題意可得且，把，當(dāng)成整體分類討論： 兩正一負(fù)，原式值為； 兩負(fù)一正，原式值為【例26】 （8級）（第屆希望杯試）若有理數(shù)、滿足，求的值【解析】 由可得：有理數(shù)、中兩正一負(fù)，所以，所以，【鞏固】 （6級）已知有理數(shù)滿足，則（ ）A B C D不能確定 【解析】 提示：其中兩個字母為正數(shù)，一個為負(fù)數(shù)，即【鞏固】 （8級）有理數(shù)，滿足，求的值【解析】 由知，所以，里含有1個負(fù)數(shù)或3個負(fù)數(shù)：若含有1個負(fù)數(shù)，則；若含有3個負(fù)數(shù)，則【例27】 （6級）已知，求的值【解析】 若異

12、號，則若都是正數(shù)，則若都是負(fù)數(shù)，則【鞏固】 （6級）已知，求的值【解析】 分類討論：當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，綜上所述，的值為，【例28】 （6級）若均為非零的有理數(shù)，求的值【解析】 當(dāng)都是正數(shù)時，原式當(dāng)都是負(fù)數(shù)時，原式當(dāng)有兩個正數(shù)一個負(fù)數(shù)時，原式當(dāng)有兩個負(fù)數(shù)一個正數(shù)時，原式【鞏固】 （6級）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）若，求的值【解析】 由可得，、中有個負(fù)數(shù)或個負(fù)數(shù)，當(dāng)、中有個負(fù)數(shù)時，原式；當(dāng)、中有個是負(fù)數(shù)時，原式；當(dāng)是負(fù)數(shù)時，原式板塊三：零點分段討論法（中考高端，可選講）【例29】 （4級）（2005年云南省中考試題）閱讀下列材料并解決相關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕

13、對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下中情況：·當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式綜上討論，原式通過閱讀上面的文字，請你解決下列的問題：分別求出和的零點值化簡代數(shù)式【解析】 分別令和，分別求得和，所以和的零點值分別為和當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式所以綜上討論，原式【例30】 （6級）求的值【解析】 先找零點，解得，依這三個零點將數(shù)軸分為四段：，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式【例31】 （4級）化簡：【解析】 由題意可知：零點為當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式【鞏固】 （4級

14、）(2005年淮安市中考題)化簡【解析】 先找零點.， ； ，零點可以將數(shù)軸分成三段 當(dāng)，； 當(dāng)，； 當(dāng)，【鞏固】 （6級）(北京市中考模擬題)化簡：.【解析】 先找零點.， ，或，可得或者；綜上所得零點有1，-1，3 ，依次零點可以將數(shù)軸分成四段 ，； ，； ，； ，【例32】 （6級）（選講）（北京市中考題）已知，求的最大值與最小值【解析】 法1：根據(jù)幾何意義可以得到，當(dāng)時，取最大值為；當(dāng)時，取最小值為法2：找到零點、，結(jié)合可以分為以下兩段進(jìn)行分析：當(dāng)時，有最值和； 當(dāng)時，；綜上可得最小值為，最大值為【鞏固】 （8級）（第屆希望杯試）已知，那么的最大值等于 【解析】 （法1）：我們可以利用

15、零點，將的范圍分為段，分類討論（先將此分類討論的方法，而后講幾何意義的方法，讓學(xué)生體會幾何方法的優(yōu)越性）（1）當(dāng)時，當(dāng)時達(dá)到最大值；（2）當(dāng)時，（3）當(dāng)時，當(dāng)時，達(dá)到最大值綜合可知，在上，的最大值為（法2）：我們可以利用零點，將的范圍分為段，利用絕對值得幾何意義分類討論，很容易發(fā)現(xiàn)答案：當(dāng)時達(dá)到最大值【鞏固】 （6級）如果，且，求的最大值和最小值【解析】 當(dāng)時，有，所以；當(dāng)時，有，所以綜上所述，的最大值為，最小值為【鞏固】 （6級）（2001年大同市中考題）已知，求取何值時的最大值與最小值【解析】 法1：表示到點和的距離差，畫出數(shù)軸我們會發(fā)現(xiàn)當(dāng)，時兩者的距離差最小為，即；當(dāng)時，兩者的距離差最大

16、為4，即法2：分類討論：先找零點，根據(jù)范圍分段，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)有最小值；當(dāng)有最大值綜上所得，當(dāng)時，最大值為4；當(dāng)時，最小值為課后練習(xí)練習(xí) 1 （2級）若，則下列結(jié)論正確的是( )A. B. C. D. 【解析】 答案不完善，選擇練習(xí) 2 （2級）(人大附期中考試)如果有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，求的值.【解析】 原式練習(xí) 3 （6級）已知，求的值.【解析】 由可得：，又，可得：； 原式.練習(xí) 4 （8級）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）若，則 【解析】 因為，所以，原式練習(xí) 5 （6級）（2006年七臺河市中考題）設(shè)，其中，求的最小值.【解析】 ，則時，有最小值為.練習(xí) 6 （4級）若，化簡.【解析】 .練習(xí) 7 （6級）若，試化簡【解析】 練習(xí) 8