13平面向量數(shù)量積最值問題的求解策略教師版

1、平面向量數(shù)量積最值問題的求解策略近幾年,平面向量數(shù)量積的最值問題頻頻出現(xiàn)在各地的高考卷上，成為高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，現(xiàn)以幾例具體闡述此類問題的解決途徑.、利用函數(shù)思想方法求解 例 1 1、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 1 的平面向量OA和OB，它們的夾角為120. .如圖所示，點(diǎn) C C 在以 O O為圓心的圓弧AB上變動(dòng)若OC =xOA yOB,其中x, y R, ,則x y的最大值是分析：尋求刻畫C點(diǎn)變化的變量，建立目標(biāo)x y與此變量的函數(shù)關(guān)系是解決最值問題的常用途徑。1J3解:設(shè).AOC - v,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(,)，22C(cos psin J)。TO

2、C = xOA yOB ,1(cossin旳二x(1,0) y(, 22x y=cos 3sin八2sin()(0)。63因此，當(dāng)二=3時(shí)，x y取最大值 2 2。T T T例 2 2、已知OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1),點(diǎn) Q Q 為射線 OPOP 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QALQB取最小值時(shí)，求OQ.分析：因?yàn)辄c(diǎn) Q Q 在射線 OPOP 上，向量OQ與OP同向，故可以得到關(guān)于OQ坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)QALQB取最小值求OQ.解：設(shè)OQ =xOP =(2x,x),(x _0)，則QA =(1 2x,7 x),QB =(5 2x,1 x)x-= cos-_2” si

3、n，2圖 1 1.QAQB=(12x)(52x) (7x)(1 x)= 5x220 x 12 = 5(x 2)2一8.當(dāng)x = 2時(shí)，QA|_QB取最小值-8-8，此時(shí)OQ二(4, 2).二、利用向量的數(shù)量積m，n蘭m n求最值例3、厶ABC三邊長(zhǎng)為a、b、c,以 A A 為圓心,r,r 為半徑作圓,PQ,PQ 為直徑，試判斷 在什么位置時(shí)，BP_CQ有最大值。例4：已知=2,b = (cosT,sin日),求a1的最大值與最小值。分析：注意到a =(a - b) b，考慮用向量模的性質(zhì)求解。 解：由條件知b =1。444* 斗4設(shè)ab=c，貝U a= =b c，四、利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解

4、例5、如圖，已知正六邊形T TPP2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是(A A)RF2PP3(B)RP2日卩4T T(C C)RP2pP5(D D )pP2，RP6Pp2LRR(i =1,2,3,4,5,6)的幾何意義為pplpg等于RP2的長(zhǎng)度與P P、Q Q分析：用已知向量表示未知向量，然后用數(shù)量積的性質(zhì)求解。:ABBP=AP,AC CQ=AQ一-APFTT TT.BPLCQ =(APAB)AP一AC)二r2- AB_AC； r T二-r2ABH _ABLACAP CB -r2解:三、利用向量模的性質(zhì)Ta求JrbTaJrb+a所以當(dāng)b與c同向時(shí),a取最大值 3 3 ；當(dāng)b與c反向

5、時(shí),取最小值 1 1。分析：平面向量數(shù)量積圖 2 2AC)AB - AC)當(dāng)且僅當(dāng)BCQ有最大值。AP與CB同向時(shí)，二1蘭a 3。24上的投影最大，故選（A A ）。cos帚在P1P2方向上的投影PPi1的乘積。顯然，由圖可知，晁在晁方向例 6 6、a與b是兩個(gè)夾角為 1201200的單位向量，且 p+q=1p+q=1 （p p、qRqR），貝U p：+ qb的最小值是分析：如圖 3 3，設(shè)OA=a,OB =b,OC = pa ,b則OC =pOA+(i p)OB即BC =pBA因此點(diǎn) C C 在直線 ABAB 上，顯然當(dāng) OC_ABOC_AB 時(shí),A Apa+qb最小，其最小值為1?！窘?jīng)典例

6、題賞析】一、借助基本的向量運(yùn)算降低問題難度例 1:（05 年江蘇高考試題）在厶 ABC 中,O 為中線 AM 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若 AM =2,則 T TTOA （OB +OC）的最小值是_ .分析:（如圖）本題的突破口關(guān)鍵在于 AM 為ABC的中線,故易知OB OC =2OM,所以：OA (OB OC) =OA (2OM ) = 2(OA OM )從而把不共線向量數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為共線向量數(shù)量積的問題解：；AM 為 ABC 的中線.OB OC二2OMOA (OB OC) =OA (2OM ) =2(OA OM ) =2| OA | |OM | cos =2|OA | | OM |又|OAMOM(|

7、OA|JOM1)2=1 OA (OB OC) - -224例 2:（04 年湖北高考試題）在 Rt ABC 中，BC = a 若長(zhǎng)為 2a 的線段PQ以 A 點(diǎn)為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角 r 取何值時(shí) BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值.分析:本題的突破口關(guān)鍵在于P, A,Q三點(diǎn)共線,從而聯(lián)想到把BP和CQ作如下的分解,CQ = CA + AQ = CAPQ2 -分解之后，真可謂是海闊天空.BPCQ=BA故: B7CPQ211叫叫CA PQ (BA-CA) PQ24C21 PQBC-a2|PQ|BC 2 2” _TT T t r T r 1 r 1+ 解:;BP CQ =(BA AP) (CA

8、 AQ)二(BA PQ) (CA PQ)1忌忌BC忌忌24|cosJ- a2= a2cos J - a2212PQ(BA-CA) PQ 二 BA CA 二又：BA _CAPQ|=2a,| BCaBP CQ 二 BA CA12.BP CQ PQ BCa2=1|PQ|BC|cosr a2二 a2cosr -a當(dāng) cos“=1,即“ -0（PQ與BC同向）時(shí),BPCQ取到最大值 0.二、建立直角坐標(biāo)系降低問題門檻對(duì)于上述兩道高考試題，應(yīng)用向量的基本運(yùn)算把不共線的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為 共線的或者是易求的數(shù)量積問題，從而達(dá)到解決問題的目的.但是從純幾何的角 度出發(fā),對(duì)學(xué)生的思維層次要求較高，對(duì)于此類問題我們

9、還可以借助建立直角坐 標(biāo)系的方法，降低問題的難度.例 1:另解：以 M 點(diǎn)為圓心，AM 所在直線為 y 軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,2), B(x,y),O(0,z),則C(-x,-y)OA=(0,2-z),OB=(x,y-z),OC =(-x,-y-z)；OB OC =(0, -2z) (0乞z 2)2 OA (OB OC) =(2-z)(-2z) =2(z-1) -2J rAc故OA （OB OC）的最小值為-2例 2:另解：以 A 點(diǎn)為原點(diǎn),AB 邊所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè).CAB=，PQ與AB的夾角為-,則B(acos：,0), C(0,asi n：)P( -a cos :, -as in：), Q(acos :, as in：).BP =(a cos - -acos，as in：), CQ = (acosF , as in - - a si n：)CQ = -a2cos2? -a2cos：cos? -a2sin2I - a2sin：sin :=-a21 cos亠卩）.當(dāng)cos（役亠卩）-1即-：亠點(diǎn)評(píng):通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化，從而轉(zhuǎn)化常見的求函 數(shù)最