高二數(shù)學(xué)教案：8.06拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)

1、3eud教育網(wǎng) 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！【課 題】拋物線的幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)】1、靈活運用拋物線的性質(zhì)；2、掌握拋物線的焦半徑公式的證明及應(yīng)用；3、掌握拋物線焦點弦的性質(zhì)及焦點弦長的求法；4、拋物線幾何性質(zhì)的綜合運用【教學(xué)重點】拋物線幾何性質(zhì)的運用，【教學(xué)難點】【教學(xué)過程】一、 復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì)；2、通徑的概念及幾何意義；二、 講解新課（一）拋物線的焦半徑定義：拋物線上任意一點M與拋物線焦點的連線段，叫做拋物線的焦半徑焦半徑公式：拋物線，拋物線， 拋物線， 拋物線，三、 例題講解（一）焦半徑問題【例1】 已知半圓的直徑AB為2r，半圓外的直線l與BA的

2、延長線垂直且交于G點，½AG½=2a，（2a<）半圓上有相異兩點M和N。它們與直線l的距離分別為d1、d2,d1 =½MA½，d2=½NA½，求證：½AM½+½AN½=2r。證明：以AG的中點為原點，垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則圓的方程為(xar)2+y2=r2，又由已知可知點M、N在以A為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線線y2=4ax上，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，將拋物線線的方程代入圓方程可得：x2+2(ar)x+a22ar=0，從而有：x1+x2=2(ra)；又由拋物線的

3、焦半徑公式可得：½MA½=x1+=x1+a , ½NA½= x2+=x2+a所以½AM½+½AN½= x1+a ,+ x2+a=x1+x2+2a=2(ra)+2a=2r（二）焦點弦問題【例2】 （課本118頁例3）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B，求線段AB的長.解法1：如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程x=1.由題可知，直線AB的方程為y=x1代入拋物線方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32分別代入直線方程得y1=2+

4、2,y2=22即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2，2+2），（32，22）|AB|=解法2：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1·x2=1|AB|=|x1x2|解法3：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，|AF|等于點A到準(zhǔn)線x=1的距離|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8【注】解法2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡潔，值得引起重視?！纠?】 已知拋物線的一條經(jīng)過焦點的弦AB被焦點F

5、分成長分別為m、n的兩段，即。求證：（1）若點A，B的坐標(biāo)分別為，則（2）；（3）證明：（1）因為，當(dāng)AB不垂直x軸時，可設(shè)直線AB的方程為由所以，當(dāng)AB垂直x軸時，直線AB的方程為：，則（2）證法1：設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過焦點F的弦AB，l為準(zhǔn)線，作AA1l于A1，BB1l于B1，準(zhǔn)線交拋物線的對稱軸于D，則FDAA1BB1，由拋物線的性質(zhì)知： 在直角梯形AA1B1B中, 過B作BCAA1于C, 交DF于E, 則,(Pn)(m + n) = n(mn)P(m + n) = 2mn上式兩邊同除以2mn, 得： 分析2：焦點分弦AB成定比，利用定比分點坐標(biāo)公式及拋物線的性質(zhì), 可建m、n、P之

6、間的關(guān)系式。證法2: 設(shè)經(jīng)過焦點F的弦的兩端點A、B的坐標(biāo)分別為(x1, y1)、(x2, y2), 因為分AB成為m, n兩段, 所以, 則由證法一, 作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，則即即P(m + n) = 4mnP(m + n)P(m + n) = 2mn上式兩邊同除以mnP, 得。證明3：如圖,設(shè)AFx=(0<<)，則根據(jù)拋物線定義,得所以同理得兩式相加,即得證.證法4：，將代入上式得（3）證明：由知，又所以【例4】 已知拋物線y=x2，動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標(biāo)的最小值.分析一：要求AB中點縱坐標(biāo)最小值，可求出y1+y2最小值.從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到

7、y1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣就使中點縱坐標(biāo)y成為梯形的中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解.解法一：設(shè)拋物線y=x2的弦AB的端點A（x1,y1）、B(x2,y2)，中點M（x,y），拋物線y=x2的焦點F（0，），準(zhǔn)線y=.設(shè)A、B、M到準(zhǔn)線距離分別為AD、BC、MN.2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+根據(jù)拋物線定義，有|AD|=|AF|,|BC|=|BF|2（y+)=|AF|+|BF|在ABF中，|AF|+|BF|AB|=22(y+)2y即M點縱坐標(biāo)的最小值為.分析二：要求AB中點縱坐標(biāo)的最小值，可列出縱坐標(biāo)y關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值.解法二

8、：設(shè)拋物線y=x2上點A（a,a2)、B(b,b2),AB中點M（x,y).x=|AB|=2(ab)2+(a2b2)2=4則(a+b)24ab+(a2+b2)24a2b2=4由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2y4x24(2x2y)+4y24(2x2y)2=4整理得y=x2+y=(4x2+1)+ 2 =1=當(dāng)且僅當(dāng)(4x2+1)= 即x=±時等號成立.AB中點縱坐標(biāo)的最小值為.【例5】 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標(biāo).解法1：設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=,

9、y=,又設(shè)點A，B，M在準(zhǔn)線l：x=上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=.等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k(x).由得：16k2x28(k2+2)x+k2=0.依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=, 此時x=(x1+x2)=.y= ±.即M(,), N(,).解法2：設(shè)A(x1，y1)和B(x2,y2),那么AB中點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離由得整理得：因為實數(shù),故由此得：因為x0,所以：4x+1

10、6，故AB中點M距y軸最短距離為且相應(yīng)中點坐標(biāo)為四、 課堂練習(xí)1正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長（答案：邊長為）2正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線上，求正三角形外接圓的方程分析：依題意可知圓心在軸上，且過原點，故可設(shè)圓的方程為：，又 圓過點， 所求圓的方程為3已知的三個頂點是圓與拋物線的交點，且的垂心恰好是拋物線的焦點，求拋物線的方程（答案：）4已知直角的直角頂點為原點，、在拋物線上，（1）分別求、兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積；（2）直線是否經(jīng)過一個定點，若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)，若不經(jīng)過，說明理由；（3）求點在線段上的射影的軌跡方

11、程 答案：（1）； ；（2）直線過定點（3）點的軌跡方程為 5已知直角的直角頂點為原點，、在拋物線上，原點在直線上的射影為，求拋物線的方程（答案：）6已知拋物線與直線相交于、兩點，以弦長為直徑的圓恰好過原點，求此拋物線的方程（答案：）7已知直線與拋物線相交于、兩點，若，（為坐標(biāo)原點）且，求拋物線的方程（答案：）8頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程（答案：或）五、 小結(jié)六、 課后練習(xí)1頂點在原點，焦點在y軸上，且過點P（4，2）的拋物線方程是（A）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 2拋物線y28x上一點P到頂點的距離等于它們到準(zhǔn)線的距離，這點坐標(biāo)是（ D ）(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）3