高中優(yōu)秀教學課件《遞推數列》

1、2022-2-161)(1nfmaann2022-2-162考試背景考試背景遞推列：遞推列：)(1nfmaann在在0710年年的高考中，歷年都有涉及，如的高考中，歷年都有涉及，如（不完全統(tǒng)計）：（不完全統(tǒng)計）：10年年：全國理：全國理，福建；，福建；09年年：全國理：全國理，理，理；08年年：全國理：全國理2022-2-163一、基礎知識一、基礎知識3an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1；;1qaann2等比數列的概念：等比數列的概念：;. 4112211aaaaaaaannnnn5換元法，待定系數法換元法，待定系數法1等差數列的概念：等差數列的概念：an+1

2、-an=d2022-2-164二、例析二、例析例例1.已知數列已知數列an中中,a1=2,an+1=an+3,則則an的通的通項為項為_解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故數列，故數列an是首項為，公差為的等差數列，因此，由通項是首項為，公差為的等差數列，因此，由通項公式得：公式得：an=2+(n-1)3n-1解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故，故an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1 3(n-1)+2=3n-12022-2-165例例.已知數列已知數列an中中,a1=2,an+1=3an,則則an的通項的通項為為_故3,

3、aa:得3a由a:解法1n1nn1n數列數列an是首項為，公比為的等比數列，是首項為，公比為的等比數列，因此因此an=23n-1故得由, 3:3:2解法11nnnnaaaa111221132nnnnnnaaaaaaaa2022-2-166例例.已知數列已知數列an中中,a1=2, an+1=4an+3,則則an的的通項為通項為_解法解法：由由an+1=4an+3得得, an+1=4(an+1),故故數列數列an是首項為是首項為a1+1=3，公比為，公比為4的等比數列，的等比數列，因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1111221143) 1(1111111nnnnnnaaaa

4、aaaa因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1故得由, 411),1(41:34:解法解法2111nnnnnnaaaaaa2022-2-167小結：小結：待定系數法在變形轉化中的作用待定系數法在變形轉化中的作用用觀察的方法將用觀察的方法將an+1=4an+3變形成變形成 an+1=4(an+1), 是是一大難點，這個變形可以運用待定系數法來完成一大難點，這個變形可以運用待定系數法來完成引伸：已知數列引伸：已知數列an的首項是的首項是a1, an+1=man+r (m1，r 0),則則an的通項為的通項為_解解：設設 an+1k=m(an+K),則則 an+1=man+(m-1

5、)K,因此因此,(m-1)k=r,故故1mrk),1(111mrammrarmaannnn變形成了由此將這樣就可以運用解法這樣就可以運用解法1和解法和解法2的方法了（下解略）的方法了（下解略）2022-2-168解法：由解法：由 an+1=4an+3得得an+=4an+1+3 -得：得：an+2-an+1=4(an+1-an)則數列則數列an+1-an是是首項為首項為a -a ( a)-a a+3=9，公比，公比為的等比數列為的等比數列 所以，所以，an-an-194n-2所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 940114

6、31241419nn2022-2-169解法：同解法得：解法：同解法得：an+2-an+1=4(an+1-an)則則故,4112nnnnaaaa,49)(212122332212111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 9401+34n-12022-2-1610 .,33,21,. 4111nnnnnaaaaa求已知數列例解解：兩邊同除以兩邊同除以3n得：得：.3133:,31331111nnnnnnnnaaaa即.3161331的等差數列公差為為首項是以，aann即

7、.3121)31)(1(613nnann.33211nnnna2022-2-1611 .,354, 3,. 511nnnnnaaaaa求已知數列例解法1：兩邊同除以3n得：. 5334311nnnnaa)3.(534,31的方法解以下用例則得令nnnnnAAAa.3134),(3411kAAkAkAnnnn則又令).15(3415:.15, 5311nnAAkk從而得.34,16153151511的等比數列公比為是首項為而aAAn2022-2-161211)34(1615,)34(1615nnnnAA1143315)34(1615(33nnnnnnnAa解法解法2：則令),3(4311nnnn

8、kaka.15, 53,3341kkkaannn從而得則),315(431511nnnnaa2022-2-16131143448315nnnna143315nnna.4,483153151的等比數列公比為是首項為而aann說明說明2：解法是在兩邊同除了解法是在兩邊同除了bn后，再通過換元將后，再通過換元將an=can-1+dbn化成了化成了An=mAn-1+r的形式此時就可以用的形式此時就可以用例的各種解法求解了例的各種解法求解了解法，通過直接利用待定系數法將解法，通過直接利用待定系數法將an=can-1+dbn的形式化成了的形式化成了ankbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比數形式的等

9、比數列然后再進行求解特別要注意列然后再進行求解特別要注意“所要待定等式所要待定等式”左左右兩邊右兩邊b的冪次方的差異的冪次方的差異2022-2-1614三、練習三、練習1.已知數列已知數列an中中,a1=,an+1=an3,則則an的通項的通項為為_.已知數列已知數列an中中,a1=,an+1=an,則則an的通的通項為項為_.已知數列已知數列an中中,a1=, an+1=an3,則則an的的通項為通項為_ .,323, 2,. 411nnnnnaaaaa求已知數列5.已知數列已知數列an,a1=,an=an-1+3n,則則an的通項為的通項為_2022-2-1615三、解答：三、解答：1.答

10、答an=-3n+42.答答an=3(-2)n-13.解：解： a1 = a =-, a- a1=-2,an-an-1=(-2)2n-2=- 2n-1,an+1-an=2(an-an-1),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=-2n-1- 2n-2-2=2-2n.2022-2-1616233:323:. 4111nnnnnnnaaaa得由解,323, 233111aaannnn3)33()33()33(31122221111aaaaaaaannnnnnnnnn,342322) 1(nn21121322:2:. 5naannnnn得兩邊同除以解21121322:naa

11、nnnn即2022-2-16172)22()22()22(21122221111aaaaaaaannnnnnnnnn21212321) 1(321321nnnn),1 (212321) 1(321321nnnnnS令),2(212321) 1(32132131nnnnnS則nnnS2534:)2() 1 (并化簡整理得由) 53(29)212534(2)21(21nnSannnnnn2022-2-1618四、小結四、小結)(),(1nfmaaannn滿足遞推數列1.m=1,f(n)=r(常量常量),就成了等差數列；就成了等差數列；2.m1,f(n)= 0，就成了等比數列；，就成了等比數列；3.

12、m1,f(n)= r (常量常量), 就用待定系數法轉化成等比數就用待定系數法轉化成等比數列；列；4.m1,f(n)= bn , 先在兩邊同除以先在兩邊同除以bn，變形成，變形成3的形的形式后再用待定系數法轉化成等比數列；式后再用待定系數法轉化成等比數列；5.f(n)= bn+c , 先在兩邊同除以先在兩邊同除以bn，變形成與，變形成與3類似類似的形式后，再用待定系數法轉化成等比數列或用其的形式后，再用待定系數法轉化成等比數列或用其它辦法進行處理；它辦法進行處理；2022-2-1619五、作業(yè)五、作業(yè).,23, 1)3()21(3).2210(11111的通項公式數列求且滿足項和前已知數列題江蘇文nnnnn