高中數(shù)學(xué)課件第五章第一節(jié)《數(shù)列的概念與簡單表示法》

1、1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、列表、 圖象、通項(xiàng)公式圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列如果數(shù)列an的第的第n項(xiàng)項(xiàng)an與與 之間的關(guān)系可以用一之間的關(guān)系可以用一 個(gè)公式個(gè)公式 來表示，那么這個(gè)公式叫這個(gè)數(shù)列的來表示，那么這個(gè)公式叫這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式.1.數(shù)列的概念數(shù)列的概念 按照按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用 表表 示，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)示，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).一定順序一定順

2、序an n序號序號n nan nf(n n)思考探究思考探究(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？是否每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式？數(shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？是否每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式？提示：提示：不唯一，如數(shù)列不唯一，如數(shù)列1,1，1,1，的通項(xiàng)公式可的通項(xiàng)公式可以為以為an n(1)n n或或an n ，有的數(shù)列沒有，有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式.1()1()nn 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)(2)數(shù)列是否可以看作一個(gè)函數(shù)，若是，其定義域是什么？數(shù)列是否可以看作一個(gè)函數(shù)，若是，其定義域是什么？提示：提示：可以看作一個(gè)函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集可以看作一個(gè)函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集N*(或或它的有限子集它的有限子集1,2,

3、3，n n)，可表示為，可表示為an nf(n n).3.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法 數(shù)列的表示方法有數(shù)列的表示方法有 、 、 .列表法列表法公式法公式法圖象法圖象法1.下列說法正確的是下列說法正確的是 () A.數(shù)列數(shù)列1,3,5,7可表示為可表示為1,3,5,7 B.數(shù)列數(shù)列1,0，1，2與數(shù)列與數(shù)列2，1,0,1是相同的數(shù)是相同的數(shù) 列列 C.數(shù)列數(shù)列 的第的第k項(xiàng)為項(xiàng)為1 D.數(shù)列數(shù)列0,2,4,6，可記為可記為2 n n1nn 1k解析：解析：根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A，B不正確；不正確；D項(xiàng)項(xiàng)2 n n中的中的n n N*，故不正確；，

4、故不正確；C中中an n ，ak1 .答案：答案：C1nn 1k2.已知數(shù)列已知數(shù)列1， ， ， ， ，則，則3 是這是這 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 列的列的 () A.第第22項(xiàng)項(xiàng)B.第第23項(xiàng)項(xiàng) C.第第24項(xiàng)項(xiàng) D.第第28項(xiàng)項(xiàng)解析：解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的通項(xiàng)公式是an n ，令，令3 ，解得解得n n 23，所以，所以3 是這個(gè)數(shù)列的第是這個(gè)數(shù)列的第23項(xiàng)項(xiàng).答案：答案：B73521n 521n 521n 53.已知數(shù)列已知數(shù)列an n的前的前n n項(xiàng)的乘積為項(xiàng)的乘積為Tn n ， n n N*，則，則a100 () A.3198 B.3199 C.3200 D.3201解析：解析：a100 3

5、199.答案：答案：B10099TT23n22100993322(10099 )3 4.數(shù)列數(shù)列an n的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn nn n21，則，則an n.解析：解析：當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S12；當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an nSn nSn n1(n n21)(n n1)21n n2(n n1)22n n1，an答案：答案： 2(1),21 (2).nnn 2(1)21 (2)nnn 5.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an n中，中，a12，an n1an nn n1，則通項(xiàng)，則通項(xiàng)an n .解析：解析：由由an n1an n n n 1，an n1an n n n 1，a2a12，a3a23，a4a34，an

6、 nan n1 n n ，累加得累加得an na123n n，an n .答案：答案：(1)12n n (1)12n n 1.觀察法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共同的規(guī)律，觀察法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共同的規(guī)律， 橫看橫看“各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”，縱看，縱看“各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)的關(guān) 系系”，從而確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；拆項(xiàng)后的特征；(4

7、)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想. 特別警示特別警示根據(jù)數(shù)列的前根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般從特殊到一般”的思想，的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對于正負(fù)符號變化，可用驗(yàn)，對于正負(fù)符號變化，可用(1)n或或(1)n1來調(diào)整來調(diào)整. 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，.(2) ， ， ， ， ，.(3)1， ， ， ， ， ，.(4) ，1， ，

8、 ， ， ，.(5)3,33,333,3 333，.1234783132151632133415362310717926113713思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)各項(xiàng)減去各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以后為正偶數(shù)，所以an n2n n1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列，而分母組成數(shù)列21 ， 22 ， 23 ， 24，所以，所以an n .(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含有因子奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含有因子(1)n n；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4；而各項(xiàng)絕對；而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)

9、項(xiàng)為值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)，即奇數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以，所以an n(1)n n . 21n 212n 也可寫成也可寫成an n .1,3,nnnn 為為正正奇奇數(shù)數(shù)為為正正偶偶數(shù)數(shù)(4)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中必含有因子偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中必含有因子(1)n n1，觀察各項(xiàng)絕對值組成的數(shù)列，從第，觀察各項(xiàng)絕對值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成，而分子則是組成，而分子則是321,421,521,621，按照這樣的規(guī)律，第，按照這樣的規(guī)律，第

10、1、2兩項(xiàng)兩項(xiàng)可改寫為，可改寫為， ，所以，所以an n(1) n n1 .21121 2212 21 2121nn (5)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為將數(shù)列各項(xiàng)改寫為 ，分母都是，分母都是3，而分子分別是而分子分別是101,1021,1031,1041，所以，所以an (10n n1).13數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)an n與前與前n n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn n的關(guān)系是：的關(guān)系是：an n 111 ,2 ,nnSnSSn 特別警示特別警示在應(yīng)用此關(guān)系式求通項(xiàng)時(shí)，要分在應(yīng)用此關(guān)系式求通項(xiàng)時(shí)，要分n n1和和n n 2兩種情況討論，最后檢驗(yàn)兩種情形能否適合用一個(gè)式子表兩種情況討論，最后檢驗(yàn)兩種情形能否適合用一個(gè)式子表示，

11、若能，將示，若能，將n n1的情況并入的情況并入n n 2時(shí)的通項(xiàng)時(shí)的通項(xiàng)an n；若不能，；若不能，就用分段函數(shù)表示就用分段函數(shù)表示. (2009安徽高考安徽高考)已知數(shù)列已知數(shù)列an n的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn n2 n n22 n n ，數(shù)列，數(shù)列bn n的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn n2bn n.(1)求數(shù)列求數(shù)列an n與與bn n的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)設(shè)cn n bn n，證明：當(dāng)且僅當(dāng)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n n 3時(shí)，時(shí)，cn n1cn n.2na思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)a1S14；對于對于n n2，有，有an nSn nSn n12 n n(n n 1)2(

12、n n 1) n n 4 n n.綜上，綜上，an n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an n4 n n.將將n n1代入代入Tn n2bn n，得，得b12b1，故，故T1b11.(求求bn n)法一：法一：對于對于n n 2，由由Tn n12bn n1，Tn n2bn n得得bn nTn nTn n1(bn nbn n1)，bn n bn n1，bn n21n n.12(求求bn n)法二：法二：對于對于n2，由由Tn n2bn n得得Tn n2(Tn nTn n1)，2Tn n2Tn n1，Tn n2 (Tn n12)，Tn n221 n n(T12)21 n n ，Tn n221 n n ，bn

13、nTn nTn n1(221 n n)(222 n n)21 n n.綜上，綜上，bn n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式bn n21n n.12(2)法一：法一：由由cn n bn nn n225n n，得得 (1 )2，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n n3時(shí)，時(shí)，1 ，即即c cn n1c cn n.法二：法二：由由c cn n bn nn n225 n n ，得，得c cn n1c cn n24 n n(n n1)22 n n 224 n n(n n 1)22，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n n3時(shí)，時(shí)，c cn n1c cn n0，即，即c cn n1c cn n1nncc 121n1n432若將若將“Sn n2n n2

14、2n n”改為改為“Sn n3n nb”，如何求，如何求an n.解：解：當(dāng)當(dāng)n n1時(shí)，時(shí)，a a1S13b；n n2時(shí)，時(shí)，an nSn nSn n123n n1.當(dāng)當(dāng)b1時(shí)，時(shí)，a12適合適合an n23n n1，an n23n n1；當(dāng)當(dāng)b1時(shí)，時(shí)，a13b不適合不適合an n23n n1，an n綜上可知，當(dāng)綜上可知，當(dāng)b1時(shí)，時(shí)，an n23n n1；當(dāng)當(dāng)b1時(shí)，時(shí)，an n 131 ,2 3.nbnn 1 1 131 ,2 3.nbnn 1 1 由由a1和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般常利用常利用“化歸法化歸法”、“累加法累加法”、

15、“累乘法累乘法”等等.1.構(gòu)造等比數(shù)列，已知首項(xiàng)構(gòu)造等比數(shù)列，已知首項(xiàng)a1，如果遞推關(guān)系為，如果遞推關(guān)系為an n1 qan nb(nN*)時(shí)，求數(shù)列時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將 an n1qan nb轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為an n1aq(an na)的形式，其中的形式，其中 a的值可由待定系數(shù)法確定，即的值可由待定系數(shù)法確定，即qan nban n1qan n (q1)aa (q1).(此種方法稱為待定系數(shù)法此種方法稱為待定系數(shù)法)1bq 2.已知已知a1且且an nan n1f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累加法累加法”，即，即an n an n1f(n n)，a

16、n n1an n2f(n n1)，a3a2f(3)，a2 a1f(2). 所有等式左右兩邊分別相加，得所有等式左右兩邊分別相加，得 (an nan n1)(an n1an n2)(a3a2)(a2a1)f(n n) f(n n1)f(3)f(2)， 即即an na1f(2)f(3)f(n n1)f(n n).3.已知已知a1且且 f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累乘法累乘法”，即，即 f(n)， f(n n1)， f(3)， f(2)，所有等式，所有等式 左右兩邊分別相乘，得左右兩邊分別相乘，得 f(n n)f(n n 1)f(3)f(2)，即即an na1f(2)f(3)f(n n

17、1)f(n n).1nnaa 12nnaa 21aa1nnaa 12nnaa 32aa21aa1nnaa 32aa 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.(1)a11，an n13an n2；(2)a12，an n1an n3n n2.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)an n13an n2，an n113(an n1)，即即 3，又，又a11，a112，數(shù)列數(shù)列an n1是以是以2為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列.an n123n n1，an n23n n11.111nnaa (2)an n1an n3n n2，an nan n1

18、3n n1(n n2)，an n(an nan n1)(an n1an n2)(a2a1)a1(3n n1)(3n n4)52 n n (n n2).當(dāng)當(dāng)n n1時(shí)，時(shí)，a1 (311)2符合公式，符合公式，an (3 n n 2 n n).2312n 312nn 1212若將若將(1)中的中的“an n13an n2”改為改為“an n1(n n1)an n”，如何求如何求an n.解：解：an n1(n n1)an n， n n1. n n， n n 1，1nnaa 1nnaa 12nnaa 3， 2，a11.累乘可得，累乘可得，an nn n(n n 1)(n n 2)321.32aa2

19、1aa 由于數(shù)列可以視為一種特殊的函數(shù)，所以在研究數(shù)列由于數(shù)列可以視為一種特殊的函數(shù)，所以在研究數(shù)列問題時(shí)，可以借助研究函數(shù)的許多方法進(jìn)行求解，如：問題時(shí)，可以借助研究函數(shù)的許多方法進(jìn)行求解，如：1.有關(guān)數(shù)列最大、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)有關(guān)數(shù)列最大、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù) 列的單調(diào)性來解決；列的單調(diào)性來解決；2.將數(shù)列的項(xiàng)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解決將數(shù)列的項(xiàng)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解決.特別警示特別警示在利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)一定要注意在利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)一定要注意n n只能取正整數(shù)只能取正整數(shù). 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2x2x，數(shù)列，數(shù)列a

20、n n滿足滿足f(log2an n)2n n.(1)求數(shù)列求數(shù)列an n的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列求數(shù)列an n的最大項(xiàng)的最大項(xiàng).思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)依題意得依題意得f(log2an)2 2an 2n， 2nan10，又，又an0，an n.(2)由由(1)得，得，an1an (n1)( n) 1 10，an1an，即數(shù)列，即數(shù)列an為遞減數(shù)列，其最大項(xiàng)為為遞減數(shù)列，其最大項(xiàng)為a1 1. 高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法是：已知數(shù)列的通高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法是：已知數(shù)列的通項(xiàng)或遞推關(guān)系式，求數(shù)列的各項(xiàng)項(xiàng)或遞推關(guān)系式，求數(shù)列的各項(xiàng).09年陜西高考打破年陜西高考打破傳統(tǒng)的考查

21、方式，將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題，考查傳統(tǒng)的考查方式，將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的能力，是高考了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的能力，是高考命題的一個(gè)新方向命題的一個(gè)新方向. 考題印證考題印證 (2009陜西高考陜西高考)設(shè)曲線設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的切處的切線與線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則，則x1x2xn等于等于 () A.B. C. D.1 【解析解析】f(x)(n1)xn，f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的切線斜處的切線斜率率kn1，則切線方程：，則切線方程：y1(n1)(x1)，令，令y0，切線與切線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)軸交

22、點(diǎn)橫坐標(biāo)xn ，x1x2xn .【答案答案】B 自主體驗(yàn)自主體驗(yàn) 對正整數(shù)對正整數(shù)n，設(shè)曲線，設(shè)曲線yxn(1x) 在在x2處的切線與處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn .解析：解析：yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn).f(2)n2n12n(n2)2n1.在點(diǎn)在點(diǎn)x2處點(diǎn)的縱坐標(biāo)為處點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y2n，切線方程為切線方程為y2n(n2)2n1(x2)，與與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y(n1)2nan， 2n成等比數(shù)列，首項(xiàng)為成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為，公比為2，前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 (2n1)22n1

23、2.答案：答案：2n121.數(shù)列數(shù)列an：1， ，的一個(gè)通項(xiàng)公式是的一個(gè)通項(xiàng)公式是 () A.an(1)n1 B.an(1)n1 C.an(1)n1 D.an(1)n1解析：解析：可用驗(yàn)證法取可用驗(yàn)證法取n1，可知只有，可知只有D適合適合.答案：答案：D2.數(shù)列數(shù)列an中，中，an1 ，a12，則，則a4 () A. B. C. D. 解析：解析：由遞推關(guān)系式可得由遞推關(guān)系式可得a2 ，a3 ，a4 .答案：答案：B3.已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是ann2kn2，若對于，若對于 nN*，都有，都有an1an成立，則實(shí)數(shù)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是 () A.k0 B.k1 C.k2 D.k3解析：解析：an1an，即，即(n1)2k(n1)2n2kn2，則則k(2n1)對于對于nN*都成立，而都成立，而(2n1)在在n1