第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽小學組試題A與答案

1、號證考準名姓級年校學裝訂線第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 A （小學組）總 分（時間 : 2010 年 4 月 10 日 10:0011:30）一、填空題（每小題10 分，共 80 分）1.在 10 個盒子中放乒乓球，每個盒子中的球的個數(shù)不能少于11，不能是 13，也不能是5 的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要個乒乓球 .2.有五種價格分別為2 元、 5 元、 8 元、 11 元、 14 元的禮品以及五種價格分別為1 元、3 元、 5 元、 7 元、 9 元的包裝盒 . 一個禮品配一個包裝盒，共有種不同價格 .3.汽車 A 從甲站出發(fā)開往乙站 , 同時汽車 B、 C 從乙站出發(fā)與 A

2、相向而行開往甲站 , 途中 A 與 B 相遇 20 分鐘后再與 C 相遇 . 已知 A 、B、C 的速度分別是每小時 90km, 80km,60km, 那么甲乙兩站的路程是km.4.將 1,1,1,1,1,1和這 6個分數(shù)的平均值從小到大排列 , 則這個平均值排在第234567位.5.將一個數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?6 的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過 2012 的“好數(shù)”的個數(shù)為，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是.6.右圖所示的立體圖形由9 個棱長為 1 的立方塊搭成 ,這個立體圖形的表面積為.7.數(shù)字卡片“ 3”、 “4”、 “ 5”各 10 張，

3、任意選出 8 張使它們的數(shù)字和是33，則最多有張是卡片“ 3”.文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .8.若將算式111111的值化為小數(shù)，123456782007200820092010則小數(shù)點后第1 個數(shù)字是.二、解答下列各題(每題 10 分，共 40 分, 要求寫出簡要過程 )9.右圖中有 5 個由 4 個 1×1 的小正方格組成的不同形狀的硬紙板. 問能用這 5 個硬紙板拼成右圖中 4×5 的長方形嗎？如果能 , 請畫出一種拼法；如果不能, 請簡述理由 .10.長度為 L 的一條木棍，分別用紅、藍、黑線將它等分為8，12 和 18

4、段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長是多少？11.足球隊 A ，B， C， D，E 進行單循環(huán)賽（每兩隊賽一場） ，每場比賽勝隊得 3 分，負隊得 0 分，平局兩隊各得 1 分. 若 A， B，C，D 隊總分分別是 1，4，7， 8，請問： E隊至多得幾分？至少得幾分？12.華羅庚爺爺出生于1910 年 11 月 12 日. 將這些數(shù)字排成一個整數(shù), 并且分解成191011121163 16424, 請問這兩個數(shù) 1163 和 16424 中有質(zhì)數(shù)嗎 ? 并說明理由 .三、解答下列各題（每小題15 分，共 30 分，要求寫出詳細過程）13.右圖中，六邊形 ABC

5、DEF 的面積是 2010 平方厘米 . 已AF知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，F(xiàn)AB 的AF1B1面積都等于 335 平方厘米，6 個陰影三角形面積之和為 670E1B1平方厘米 . 求六邊形 A1B1C1D1 E1F1 的面積 .EC1D 1CD14.已知兩位自然數(shù)“ 虎威 ”能被它的數(shù)字之積整除，求出“ 虎威 ”代表的兩位數(shù)- 1 -文檔來源為 : 從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .裝第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 A 參考答案（小學組）一、填空題（每小題10 分，共 80 分）題號12345678答案173194255223，33234二、解答下列各題(每題

6、10 分，共 40 分, 要求寫出簡要過程 )9. 答案：不能！理由如下： 假設能拼成 4×5 的長方形，如圖 A 小方格黑白相間染色。其中黑格、白格各 10 個。將五塊紙板編號，如圖B 所示，除紙板之外，其余4（圖 A）張硬紙板每一張都蓋住2 個黑格，而蓋住3 個黑格或一個黑格。這樣一來，由 4 個 1×1 的小正方格組成的不同形狀的 5 個硬紙板，只能蓋住9 或 11 個黑格，與 10個黑格不符！10. 答案： 28， L（圖 B）72解：（1）易知 紅線與藍線重合的條數(shù)是(8,12) 1 3 ；紅線與黑線重合的條數(shù)是(8,18)121 1 ；藍線與黑線重合的條數(shù)是(1

7、2,18)15；紅線、藍線、黑線都重合的條數(shù)是(8,12,18)1211；由紅線 7 條，藍線 11 條，黑線 17 條確定的位置的個數(shù)是文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.71117(315)127.因此，依不同位置的線條鋸開一共得到27128（段） .（2）最小公倍數(shù)8,12,1824,3,923672 .因此，將木棍等分成72 段時，至少有一段是在上述紅、藍、黑線的某兩條之間，并且再短（段數(shù)更多）時就做不到了.所以鋸得的木棍最短的一段的長度是L .7211. 答案： 5，7.解：設 A ， B ， C ， D ， E 五隊的總分分別是 a ， b ， c

8、， d ， e ，五隊的總分為 S ，則 Sabcde20e .五隊單循環(huán)共比賽10 場，則 S30 .如果有一場踢平，則總分S 減少 1 分 .因為 a11000 ，b411113100 ，c73310 ，d83311 ，所以比賽至少有3 場平局，至多有5 場平局 .所以 305 S 30 3，即2520 e 27 .故 5 e7 .事實上， E 隊勝 A ， B ，負于 C 隊，與 D 踢平時， e7 ；E 隊勝 A ，負于 C ，但與 B 、 D 踢平時， e 5 .所以 E 隊至少得 5 分，至多得7 分.12. 答案： 1163 是質(zhì)數(shù) .解： 1163 是質(zhì)數(shù) , 理由如下 :（1

9、）顯然 16424 是大于 2 的偶數(shù) , 是合數(shù) .1文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .（ 2）如果 1163 是合數(shù) , 但不是完全平方數(shù) , 則至少有 2 個不同的質(zhì)因數(shù) , 因為1131331 1163, 所以 , 如果 1163 有 3 個以上不同的質(zhì)因數(shù) , 必有一個小于 11. 但是顯然 2,3,5,7 都不能整除 1163,11 也不能整除 1163, 因此 1163 僅有 2 個不同的大于 11 的質(zhì)因數(shù) . 大于 11 的質(zhì)數(shù)是 :13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,10

10、1.既然 114731371163372 ,1163 的兩個不同的質(zhì)因數(shù)一定有一個小于37,另一個大于 11. 計算13891157116312611397 ；17681156116312411773；19611159116312731967 ；23471081116312192353 ；29371073116311892941 .所以 1163 是質(zhì)數(shù) .三、解答下列各題（每小題 15 分，共 30 分，要求寫出詳細過程）13. 答案：670.解：如圖，已知 ABC，BCD， CDE， DEF ，EFA， FAB 的面積都等于 335 平方厘米，它們面積之和為 33562010平方厘米 =六

11、邊形 ABCDEF 的面積。因此，未被蓋住的六邊形A1B1C1D1 E1F1 的面積AF=重疊部分的面積(11)(12)(1)F(10)= S(1) S(3) S(5) S(7)S(9)S(11) .B(2)A11E1(9)另一方面 ,在 ABC 中, S(1) S(3)(3)B1(8)E335S(2) ,1 D1(4)C(7)在BCD 中, S(3)S(5)335C(5)(6)S(4) ,D文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.在 CDE 中, S(5)S(7)335S(6) ,在 DEF 中 , S(7)S(9)335S(8) ,在 EFA 中,S(9)S(1

12、1)335S(10) ,在 FAB 中,S(11)S(1)335S(12) ,上述 6 個式子相加，得2 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)3355S(2)S(4)S(6)S(8) S(10) S(12)即 2 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)33566701340.所以 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)1340670.S(11)2因此 , 六邊形 A1 B1C1D1E1F1 的面積= S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11) =670(平方厘米 ).14. 答案： 11，12，15，24， 36.解：兩位自然數(shù)共有 90 個，一個一個地去試

13、算檢驗它是不是滿足條件，工作量太大，顯然需要開動腦筋，縮小試算范圍 .設“虎”、“威”兩個漢字分表代表的數(shù)字為a ， b . 顯然 a, b 不等于 0.因為 ab10ab ，10ab 能被 ab 整除意味著 10ab 能被 a 整除且 10ab 能被b 整除 .如果 10a b 能被 a 整除，說明 b 能被 a 整除；如果 10a b 能被 b 整除，說明 10a 能被 b 整除 .這就是說，數(shù)字a，b 同時要滿足兩個條件：（ 1） a 整除 b，（2）b 整除 10a。對滿足這兩個條件的a，b，進行試算，可以縮小試算的范圍。若 a1，則 10 能被 b 整除， b 的可能值為 1，2，5，這時 ab 11，12，15，它們符合條件；若 a2，則 b 是偶數(shù)，且 20 能被 b 整除， b 的可能值是 2， 4. 經(jīng)檢驗后知2文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .文檔來源為 :從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.只有 ab 24 滿足條件；若 a