高等數(shù)學(xué)下試卷及答案

1、2001級高等數(shù)學(xué)II（B卷）所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效一（每題分，共分）曲面在點(diǎn)（，）處的切面方程為。設(shè)函數(shù)，則。設(shè)，為連續(xù)函數(shù)，則二重積分化為在極坐標(biāo)下的二次積分為。設(shè)C是由軸、軸與直線圍成的區(qū)域的正向邊界，則。的麥克勞林級數(shù)為，收斂區(qū)間為。已知是由所確定的隱函數(shù)，則。常微分方程的特解形式為。已知冪級數(shù)在處條件收斂，則冪級數(shù)的收斂半徑為。二（分）設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求。三（共分）計(jì)算下列各題（分）設(shè)D為由曲線圍成的平面區(qū)域，計(jì)算二重積分。（分）設(shè)為圓錐面，計(jì)算第一類曲面積分。（分）設(shè)為上測，計(jì)算曲面積分。四（分）求函數(shù)在條件下的極值。五（分）將定義在上的函數(shù)展開成傅里葉正弦

2、級數(shù)。六（分）判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對收斂還是條件收斂。；七（分）求解常微分方程初值問題2001級高等數(shù)學(xué)II（B卷）解答一；二 三原式原式設(shè)下測，原式四由得，極值為五六，級數(shù)是絕對收斂的。是發(fā)散的。因所以是條件收斂的。七令，則方程化為，利用條件，因此，解為。2001級高等數(shù)學(xué)II試題(A卷)所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效一（每題3分，共24分）填空題1已知，則 。2函數(shù)在點(diǎn)處沿軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為 。3交換二次積分的次序得 。4常微分方程的通解為 。5冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 。6已知級數(shù)，則 。7設(shè)定義在上的函數(shù)的傅里葉余弦級數(shù)的和函數(shù)為,則= ， 。8 ，其中是曲線

3、介于到一段。二（6分）已知二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求。三（共19分）計(jì)算下列各題1（6分），其中。2（7分），其中是由曲面和平面所圍成的區(qū)域。3（6分），其中為從點(diǎn)沿拋物線到原點(diǎn)，再沿直線到點(diǎn)。四（7分）求曲線在點(diǎn)處的切線方程。五（7分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間。六（8分）求常微分方程的通解。七（5分）判別級數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對收斂還是條件收斂。八（4分）設(shè)為球面，是點(diǎn)的矢徑方向，函數(shù)在球體二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足，證明 2001級高等數(shù)學(xué)II（A卷）解答一1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 二三1原式2原式3。原式 四由得五六特征方程，特征值，的

4、特解；的特解代入方程得，通解為七令 ，原級數(shù)收斂，又因，原級數(shù)不是絕對收斂，條件收斂八由于的方向即為球面的外法向，因此左式高等數(shù)學(xué)試題(B)：所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效一、 填空題：（每空3分共30分）1、 曲線在（0，0，1）處切線的方程為_。2、 已知,則_。3、 在點(diǎn)M處沿點(diǎn)（5，1，2）到點(diǎn)（9，4，14）的方向的方向?qū)?shù)為_。4、 冪級數(shù)的收斂半徑為_。5、 把展開成麥克勞林（Maclaurin）級數(shù)為_。6、 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上定義為,則的傅立葉級數(shù)在處收斂于_。7、 微分方程的通解為_。8、 更換的積分次序?yàn)開。9、 L為逆時(shí)針方向的圓周:,則_。

5、10、 斯托克斯(Stokes)公式指出了下列兩類積分：_ _之間關(guān)系。格林(Green)公式指出了下列兩類積分：_之間關(guān)系。二、 (8分)已知，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。 三、 (10分)求函數(shù)在區(qū)域D：上的最大值。 四、 (10分)計(jì)算，其中D由所圍。五、 (10分)計(jì)算積分其中的下側(cè)。六、 (10分)計(jì)算積分，其中是上半球面。七、 (10分)求的通解。八、 (6分)下列計(jì)算是否正確，若正確，請給出理由，若不正確，請改正錯誤，并給出正確計(jì)算結(jié)果。計(jì)算曲線積分，其中L為從A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲線，AC為直線：，CB為直線：，計(jì)算過程為：因?yàn)?，所以積分與路徑無關(guān)，

6、從而=0(其中為直線段：)。九、 (6分)設(shè)連續(xù)，且，由不等式所確定，令，求。2003高等數(shù)學(xué)(下)(B)答案:一.1. 2.(3.4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 空間曲線上的第二型曲線積分與空間曲面上的第二型曲面積分，平面上第二型曲線積分和二重積分(或曲線積分和曲面積分, 曲線積分和二重積分)二.,= 三. 設(shè),得駐點(diǎn):, ,計(jì)算:, ,另,所以zmax=四. I=五. 設(shè)的上側(cè),則=(高斯公式), 而 =0, 所以, I=0六.=七.八. 不正確，因?yàn)?,要求，所以這樣做是錯誤的。設(shè)是從A到C，再到B的半橢圓周：，則=。九.= .一.1. 2.(3.4. 5. 6. 7. 8.

7、 9. 10. 空間曲線上的第二型曲線積分與空間曲面上的第二型曲面積分，平面上第二型曲線積分和二重積分(或曲線積分和曲面積分, 曲線積分和二重積分)二., 三. 設(shè),得駐點(diǎn):, ,另,計(jì)算得最大值.四. I=五. 設(shè)的上側(cè),則=(高斯公式), 而=0, I=0六.七.八. 不正確，因?yàn)?,要求，所以這樣做是錯誤的。設(shè)是從A到C，再到B的半橢圓周：，則=。九.= .所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效十、 判斷題：（對的劃“”，錯的劃“”，每題1分共14分）1、 二元函數(shù)f在P點(diǎn)可微，則f在P點(diǎn)連續(xù)。2、 二元函數(shù)f在P點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則f在P點(diǎn)可微。3、 ，在上可積，則等式成立。4、

8、若存在，則和一定相等。5、 ，其中為兩個(gè)向量。6、 方向向量的方向余弦為，在的偏導(dǎo)數(shù)存在，則。7、 三個(gè)向量的混合積的絕對值就是以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體積。8、 兩個(gè)向量的向量積就是以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的面積。9、 是函數(shù)的極值點(diǎn)，則一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。10、 級數(shù)收斂，其中，則成立。11、 微分方程是二階微分方程。12、 是以為周期的連續(xù)的奇函數(shù)，則它的傅立葉級數(shù)展開式是余弦級數(shù)。13、 級數(shù)收斂，則級數(shù)一定收斂。14、 冪級數(shù)的收斂域?yàn)?。二、?jì)算題（1）（每小題4分共8分）1，求： 2. 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上定義為,求的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)。三、計(jì)算題（2）（每

9、小題4分共8分）1求。2. 求過點(diǎn)M(1，2，1)且平行于直線的直線方程。四（6分）已知,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求五. （6分）把二重積分化為兩種次序（先后、先后）的二次積分，其中由、和所圍。六（8分）計(jì)算，其中為從（0，0）到（2，0）的順時(shí)針方向的上半圓?。骸Ｆ撸?分）計(jì)算，其中為曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐標(biāo)系的軸正向是向上的）。八（8分） 求微分方程的通解。九（8分）求經(jīng)過點(diǎn)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)平面所圍成的立體(在第一卦限）的體積為最小，并求其最小值。十（6分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 單調(diào)減少，且級數(shù)發(fā)散，試問：級數(shù)是否收斂？并說明理由。一、1-7. 8-13. 14

10、.二、（1） 76 （2）三、（1）。（2）四、，五、六、設(shè)L1為：方向?yàn)閺挠蚁蜃?，I=七、=，。八、特征方程為，齊次通解為。設(shè)特解形式為，解得：。通解為九、設(shè)平面方程為，過點(diǎn)，故有。問題為求函數(shù)在條件下的條件極值。為簡化計(jì)算，令（或）解得：。平面方程為，由實(shí)際問題知最小體積V=3。十、（反證法），。級數(shù)收斂，從而收斂所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效十一、 判斷題：（對的劃“”，錯的劃“”，每題2分共16 分）1、 二元函數(shù)f在P點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則f在P點(diǎn)可微。2、 有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)在D上的二重積分一定存在。3、 的偏導(dǎo)數(shù)存在，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。4、 是

11、以為周期的連續(xù)的偶函數(shù)，則它的傅立葉級數(shù)展開式是余弦級數(shù)。5、 為基本單位向量，則也是單位向量。 6、 若且，則。7、 微分方程是二階常系數(shù)線性齊次方程。8、 微分方程的一個(gè)特解形式為。二、計(jì)算題（每小題5分共10分）1極限是否存在？若存在，求極限值，若不存在，說明理由。2求原點(diǎn)到直線的距離。三判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性（每小題5分共10分）： （1） （2） 四、求下列微分方程的通解（每小題5分共10分）：(1); (2) ;五、（10分）已知,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求六. （10分）計(jì)算二重積分，其中由、和所圍。七（10分）計(jì)算，其中為從（0，0）到（2，0）的上半圓?。?。八（10分）計(jì)算，其

12、中為曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向上（注：坐標(biāo)系的軸正向是向上的）。九（7分）將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。 十、（7分）設(shè)u(x, y, z)，v(x, y, z)在空間有界閉區(qū)域上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明： 。其中取表面的外側(cè)，為外法向量。(6分)一、1-4. 5-8. 二、1不存在。2.三、1、2全不收斂四、1.。2.五、，六、七、八、。九、,., 十、應(yīng)用高斯公式證明（證明略）。所有試題的答案都要寫在答題紙上一 填空（每小題4分，共28分）1. 曲線在 點(diǎn)的切線方程為 _。2. 旋轉(zhuǎn)面是由yoz面上曲線_繞_軸旋轉(zhuǎn)而成.3設(shè)函數(shù)，則。4. 求在點(diǎn)（3，4）處的梯度為_.5常微分方程的

13、特解形式為。6設(shè)，為連續(xù)函數(shù)，則二重積分化為在極坐標(biāo)下的二次積分為。7. 冪級數(shù) 的收斂域?yàn)?_。二、計(jì)算題（每小題6分共12分）1. 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上定義為,求的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)。2. 求過點(diǎn)M(1，2，1)且平行于直線的直線方程。三 （10分）設(shè) 是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)，求。四（10分）求函數(shù)在條件下的極值。五(10分)設(shè)為上側(cè)，計(jì)算曲面積分。六（10分）計(jì)算，其中為從（0，0）到（2，0）的順時(shí)針方向的上半圓?。骸Ｆ撸?0分）判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對收斂還是條件收斂。1；2八（10分）求微分方程的通解答案一 填空（每小題4分，共28分）1 ； 2 ，；3

14、. 4. ； 5. 6. ； 7. 二、計(jì)算題（每小題6分共12分）（1）（2）三 （10分）解: 四（10分）解：設(shè)則由得，極值為五（10分）解：設(shè)下側(cè)，原式六（10分）解：設(shè)L1為：方向?yàn)閺挠蚁蜃?，I=七（10分）解: (1)，級數(shù)是絕對收斂的。(2)因?yàn)?是發(fā)散的。又因所以是條件收斂的。八（10分）解: 特征方程為，齊次通解為。設(shè)特解形式為，解得：。通解為所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效一、填空題：(20分)1 曲線在處的法平面方徎為_。2 點(diǎn)()到平面的距離為_。3 設(shè)平面過點(diǎn).則平面方程為_。4 已知,則=_。5 交換積分的積分次序?yàn)開。6 設(shè)：則=_ 。7 函數(shù)u=l

15、n(x2+y2+z2), 則div(grad u)= 。8 設(shè)函數(shù)f (x)是以為周期，f (x)=(-)，f (x)的Fourier級數(shù)為，則b3= 。9 設(shè)函數(shù)f (x)是以為周期的奇函數(shù)，它的Fourier級數(shù)為，則級數(shù)= 。10 下列四個(gè)命題：（1）.若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散；（2）.若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散；（3）.若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（4）.若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。上述正確的命題是_。二. （8分）求函數(shù)的極值，并指出是極大值，還是極小值。三. （8分）求級數(shù)的收斂域和它的和函數(shù)。四. （8分）計(jì)算，其中是拋物線上自點(diǎn)（0，0）到（1，1）的一段弧。五. （8分）計(jì)算曲面積

16、分,其中是由錐面與半球面所圍立體的表面外側(cè)。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七. （8分）兩個(gè)物體A、B的形狀如圖（一），體積相等，物體A是由拋物面（）和平面（）所圍。物體B是柱體，它的母線平行于軸，底面是由所圍的平面區(qū)域，求柱體B的高。ajxytnOL八. （5分）設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為光滑的簡單閉曲線的外法向量（如圖二），為圍成的區(qū)域，有人利用切向量和外法向量的夾角的關(guān)系，以及格林公式，證明了如下結(jié)論：。若你認(rèn)為是正確的，請給出證明過程；若你認(rèn)為是錯誤的，請推理出正確的結(jié)論。九. （5分）證明不等式：。答案：一、1. 2. 1。 3. .4. 5. 6. . 7. .8. 9.

17、0. 10.(3)二、,駐點(diǎn)為,.由極值存在的充分條件知：為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn),和不取極值。三、, 收斂域?yàn)椋?1，1），因?yàn)?兩邊求導(dǎo)得.所以，,.四、。五、由高斯公式知：.六、1.令,化簡為一階線性方程:,解得:,即.也可直接得出：,即，, , . 2特征方程：，,所以齊次方程的通解為：，設(shè)非齊次的特解形式為：.代入解得：.所以通解為：七、, .由，得.八、是不正確的（2分），正確結(jié)果應(yīng)為 。設(shè)從x軸正向到曲線的切向量（和曲線同向）方向和曲線的外法線方向的轉(zhuǎn)角分別為。則總是有, 而,（1分）=。（2分）注：主要要清楚夾角和轉(zhuǎn)角的區(qū)別，如果用和x軸的夾角可能會得，從而得出錯誤結(jié)果，而在單位

18、向量這種表示中的，應(yīng)是轉(zhuǎn)角。此題若回答錯誤，但也推出該錯誤結(jié)果，可給2分;此題若回答正確，但推理錯誤或沒有推理，也可給2分。九、 = =.其中, .所有題必須做在答題紙上，做在試卷紙上一律無效一、填空題：(18分)11 曲線在相應(yīng)于點(diǎn)處的法平面方徎為_。12 點(diǎn)()到平面的距離為_。13 過點(diǎn)(且與平面平行的平面方程為_。14 已知,則, =_。15 交換積分的積分次序?yàn)開。16 設(shè)：則=_ 。17 設(shè)向量場, 則div= 。18 設(shè)函數(shù)f (x)是以為周期，f (x)=(-)，f (x)的Fourier級數(shù)為，則b2= 。19 設(shè)函數(shù)f (x)是以為周期的偶函數(shù)，它的Fourier級數(shù)為，則

19、級數(shù)= 。二. （7分）求函數(shù)的極值，并指出是極大值，還是極小值。三. （8分）求級數(shù)的收斂域和它的和函數(shù)。四. （7分）計(jì)算，其中是拋物線上自點(diǎn)（1，1）到（2，4）的一段弧。五. （8分）計(jì)算曲面積分,其中是由柱面，平面及所圍立體的表面外側(cè)。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七. （8分）一均勻物體是由拋物面及平面所圍成1）求的體積; 2）求的質(zhì)心。八. （7分）設(shè), 表示不超過的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分。九. （7分）設(shè)，證明：1）若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)收斂;2）若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)發(fā)散。一、1 2。 3。 4。5 6.0 7. 8. 9. 10.二、，設(shè)，令，得駐點(diǎn)：，可知在

20、距離為最小。三、，,，四、=。五、令，=六、特征方程：，對應(yīng)齊次通解：，特解形式為，代入解得：，所以，方程通解：。七、設(shè)圓錐面方程為：，錐頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，高為，由對稱性知，八、=（高斯公式）九、由題意知，所以，所以絕對收斂。2005級高等數(shù)學(xué)（II）試題(工科)A卷一 選擇題（每題3分，共15分）1 已知 ，且，則（ ）。 A. 2 B. C. D. 12 下列哪一個(gè)條件成立時(shí)能夠推出在點(diǎn)處可微，且全微分？（ ）。 A在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)； B. 在點(diǎn)的全增量； C在點(diǎn)的全增量； D在點(diǎn)的全增量；3設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則（ ）。 A BC D4若級數(shù)收斂，且，則（ ）。 A收斂 B。發(fā)散 C。收斂且其和與的

21、和相等 D。不一定收斂5已知微分方程的兩個(gè)不相同的特解和，則該方程的通解可以表示為（ ）。 A B。 C。 D。二 填空題（每題3分，共15分）1 點(diǎn)（1，1，1）到平面的距離（ ）。2 函數(shù)當(dāng)時(shí)的全微分（ ）。3 設(shè)L為從點(diǎn)A（1，）沿曲線到點(diǎn)B（2，2）的弧段，則曲線積分（ ）。4 的收斂半徑是（ ）。5 設(shè)，（）的傅立葉級數(shù)為，則（ ）。三（6分） 求通過點(diǎn)P（2，1，1），Q（1，2，3）且垂直于平面的平面。四 （8分）設(shè)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，求。五 (10分) 求函數(shù)的極值。六 （10分）計(jì)算二重積分，其中。七 （10分）計(jì)算三重積分，其中為柱面及平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域。八

22、 （10分）計(jì)算下列曲線積分，其中L是從O（0，0）到A（6，0）的上半圓周。九（8分）計(jì)算積分其中的下側(cè)。十 （8分）求方程滿足初始條件的特解。2006高等數(shù)學(xué)試卷B一 填空題（每題3分，共30分）:1已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?）。2當(dāng)時(shí)，把以下的無窮?。海?） （2） （3） （4）按的低階至高階重新排列是（ ）（以編號表示）。3函數(shù)的間斷點(diǎn)為（ ），它是（ ）間斷點(diǎn)。4設(shè)可導(dǎo)，且滿足條件，則曲線在處的切線斜率為（ ）。5設(shè)，則（ ）。6已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)，則（ ）。7曲線的斜漸近線為（ ）。8設(shè)有一個(gè)原函數(shù)，則（ ）。9（ ）。10（ ）。二計(jì)算題（每題6分，共36分）

23、:1求極限 2求極限3設(shè)，存在，求。4設(shè)函數(shù)是由方程組確定的，求。5求積分6求積分三解答題（10分）:討論函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。四應(yīng)用題（15分）:1已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限。2設(shè)有曲線，過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線，切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。五證明題（9分）:證明: 。高等數(shù)學(xué)B試題答案一填空題1. 2. (4),(1),(3),(2) 3.,第一類間斷點(diǎn)。 4.25. 6. 7. 8.9. 10.二計(jì)算題1因?yàn)楫?dāng)時(shí)，。所以23兩邊對x求導(dǎo)得 （1） 再將（1）式兩邊對x求導(dǎo)，得 故 將 代入，得4 5令，則 6三解答題解：令， 在區(qū)間單調(diào)

24、減少，在區(qū)間單調(diào)增加，在點(diǎn)達(dá)到最小值，于是當(dāng)時(shí)，方程在和各有一個(gè)根，即有兩個(gè)零點(diǎn)。四應(yīng)用題1由于兩曲線在處相切，故有 于是切線方程為2解：設(shè)切點(diǎn)為，則過原點(diǎn)的切線方程為 再把點(diǎn)代入，解得則切線方程為故五證明：令, , , , 求和得 .2006高等數(shù)學(xué)試題A卷一 填空題 （每題3分，共30分）1的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?）。2當(dāng)時(shí)與是等價(jià)無窮小量，則（ ）。3設(shè)，則（ ）。4（ ）。5函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間是（ ）。6曲線的斜漸近線為（ ）。7是的一個(gè)原函數(shù)，。則（ ）。8設(shè)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則（ ）。9（ ）。10（ ）。二計(jì)算題（每題6分，共36分）1求 2求3設(shè)可微，且，試求。4設(shè)函數(shù)由下

25、述參數(shù)方程確定，求。5求積分 6 求積分三解答題（10分）試討論方程的實(shí)根。四應(yīng)用題（15分）1（8分）已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程。2（7分）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)為P，過P點(diǎn)作該曲線的切線，求切線與該曲線及軸圍城的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五證明題（9分）設(shè)在上不恒為零，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且有，試證明存在，使。A卷答案一填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 29. 10. 二計(jì)算題234 5令 ， 則6三解答題解 令，則，由得當(dāng)；當(dāng)。所以是在的極大值點(diǎn)，且極大值。因?yàn)槭窃诘ㄒ获v點(diǎn)，則極大值

26、是最大值。（1） 若時(shí)，沒有零點(diǎn)，即方程無根。（2） 若時(shí)，有唯一零點(diǎn)，即方程有唯一的根。（3） 若時(shí)，在有唯一零點(diǎn)，即方程唯一的根；，在有唯一零點(diǎn)，即方程唯一的根。這時(shí)方程有兩個(gè)根。四1由連續(xù)性，有即，故因此又即也即，故由函數(shù)的周期性，故所求切線方程為2五證明題（1）當(dāng)時(shí)，上任一點(diǎn)均可取做。（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上連續(xù)。于是，存在，使得。又由題設(shè)有從而，。又，且，故結(jié)論成立。所有試題的答案都要寫在答題紙上高等數(shù)學(xué)（II）試題（A）一 填空 （每小題3分 共15分 ）1 曲面 在點(diǎn) 的切平面的方程為_。2 設(shè)隱函數(shù)是由方程確定的，則 。3 設(shè)是平面 在第一卦限部分，則 。4 設(shè)周期為

27、，且 ，是的Fourier級數(shù)的和函數(shù)，則 _。5 設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，則冪級數(shù)的收斂半徑。二 選擇（每小題2分 共10分 ）1 設(shè)D是平面區(qū)域，則下面說法正確的是（ ）（A ） 若在D上可微，則的一階偏導(dǎo)在D上一定連續(xù)；（B） 若在D上一階偏導(dǎo)存在，則在D上一定可微；（C） 若在D上一階偏導(dǎo)存在，則在D上一定連續(xù)；（D） 若在D上與均連續(xù)，則 。2 下列級數(shù)中絕對收斂的級數(shù)是 （ ）（A） ； （B）; （C） ; （D） 。3 直線過點(diǎn) 且與直線 垂直相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）（A） ； （B）； （C）；（D）。4 方程 表示 。 (A) 單葉雙曲面； （B） 雙葉雙曲面 ； （C）

28、錐面 ； （D） 旋轉(zhuǎn)拋物面。5 一階微分方程 的類型是（ ）（A）全微分方程； （B） 可分離變量方程；（C）齊次方程； （D）一階線性微分方程。三 （6分） 設(shè)是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求 。四 （7分）計(jì)算 ，其中是直線 及雙曲線所圍區(qū)域。五 （7分）修建一個(gè)容積為V的長方體地下倉庫，已知倉頂和墻壁每單位面積造價(jià)分別是地面每單位面積造價(jià)的3倍和2倍，問如何設(shè)計(jì)倉庫的長、寬和高，可使它的造價(jià)最小。六 （7分）求微分方程 的通解。七 （7分）計(jì)算 ，其中是由曲面 及所圍的空間區(qū)域。八（7分）求 ，其中L是曲線 ，取逆時(shí)針方向。九（7分）計(jì)算曲面積分 ，其中是錐面介于之間的部分，而是在處的外法

29、線向量的方向余弦。十 （7分）已知如下命題成立： 設(shè)是單調(diào)減少的正數(shù)列，級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。 1）請用此命題證明 當(dāng)時(shí)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)收斂；2）證明所給的命題。答案一 填空 （每小題3分 共15分 ）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。二 選擇（每小題2分 共10分 ） D A B D C三 （6分）解 4.2四 （7分）解 。2221五 （7分）解 設(shè)地面每個(gè)單位造價(jià)為1，則墻壁和倉頂分別為 2， 3。 設(shè)長寬高分別為。則現(xiàn)在的要求是 在 約束下的極值。1考慮 ，.1則條件極值點(diǎn)滿足一下方程.3由上述方程組可解得 根據(jù)實(shí)際情況可知，此時(shí)造價(jià)最小。2六 （7分）解 特征方程為 對應(yīng)的齊次方程的通解為 .2不是特征根，于是可設(shè)特解為 .2代入到原方程化簡可 于是 2所求的通解為 1七 （7分）解 由及，得 ， .2于是 .32 八（7分）解 原式.3設(shè)D的邊界是L，根據(jù)格林公式， 原式.4九 （7分）解 原式，取外側(cè)， 1設(shè)，取上側(cè)，則2. 2而 1于是 原式 。.1十 （7分）1 設(shè) ，則 ，于是由已知 的斂散性與等比數(shù)列斂散性一致。1因此當(dāng)時(shí)原級數(shù)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)收斂； 12 令 ，當(dāng)設(shè)是單調(diào)減少的正數(shù)列時(shí)，有 .3由比較判別法 收斂當(dāng)且僅當(dāng) 收斂，即 收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。2。所有試題的答案都要寫在答題紙上2007高等數(shù)學(xué)（II）試題（B）