函數(shù)的凸凹性與拐點（Word）

1、 §5函數(shù)的凸性與拐點教學目的與要求：掌握凸函數(shù)凹函數(shù)的定義掌握可導函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件掌握拐點的定義掌握判斷函數(shù)拐點的必要條件和充分條件教學重點，難點：可導函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件拐點的判別方法教學內(nèi)容：作函數(shù)的圖形時，僅知道函數(shù)單調(diào)性是不夠的，還應知道其曲線彎曲的情形，即曲線凹凸的概念, 讀者已經(jīng)熟悉函數(shù)和的圖象。它們不同的特點是：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方，我們把具有前一種特性的曲線稱為凸的，相應的函數(shù)稱為凸函數(shù)：后一種曲線稱為凹的，相應的函數(shù)稱為凹函數(shù)。定義1 設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點和任

2、意實數(shù)總有 （1）則稱為上的凸函數(shù). 反之，如果總有 （2）則稱為上的凹函數(shù)。如果（1）、（2）中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)和嚴格凹函數(shù)。1 / 10圖6-12中的（a）和(b)分別是凸函數(shù)和凹函數(shù)的幾何形狀，其中。容易證明：若為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則為區(qū)間I上的凹函數(shù)，因此今后只需討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可。引理 為上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點，總有 （3）(析) 必要性 要證(3)式成立, 需證即. 記，則，由的凸性易知上式成立. 充分性 在I上任取兩點在上任取一點·即，由必要性的推導逆過程，可證得,故為上的凸函數(shù)。 注 同理可證，為上的凸函數(shù)的充要

3、條件是：對于上任意三點，有 （4）定理6.13 設為區(qū)間上的可導函數(shù)，則下述論斷互相等價：為I上凸函數(shù)；為I上的增函數(shù)； 對I上的任意兩點，有 （5）(析) 要證為I上的遞增函數(shù), 只需任取上兩點及充分小的正數(shù)，證明 成立,由是可導函數(shù)，令時便可得結論.由于，根據(jù)的凸性及引理有.在以為端點的區(qū)間上，應用拉格朗日中值定理和遞增條件，有移項后即得（5）式成立，且當時仍可得到相同結論設以為I上任意兩點，。由，并利用與，分別用和乘上列兩式并相加，便得從而為I上的凸函數(shù)。 注1 論斷的幾何意義是：曲線總是在它的任一切線的上方（圖6-14）。這是可導凸函數(shù)的幾何特征。對于凹函數(shù)，同樣有類似于定理6.13的

4、結論。定理6.14 設為區(qū)間I上的二階可導函數(shù)，則在I上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是這個定理的結論可由定理6.3和定理6.13推出。注2 一般地說，函數(shù)可能在它的定義域里的某些區(qū)間是凹的，在另一些區(qū)間是凸的，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的凹凸區(qū)間,討論函數(shù)的凹凸區(qū)間，關鍵是找出凹凸區(qū)間的分界點,由上述定理知，二階導數(shù)在其兩側異號的點二階導數(shù)為零的點、不連續(xù)的點和一階、二階導數(shù)不存在的點都是可能凹凸區(qū)間的分段點, 例1 討論函數(shù)的凸(凹)性區(qū)間.解 由于，因而當時，時。從而在上為凸函數(shù)，在上為凹函數(shù)。 例2 若函數(shù)為定義在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的可導的凸（凹）函數(shù)，則為的極?。ù螅┲迭c的充要條件是為的穩(wěn)定點，即

5、。證 下面只證明為凸函數(shù)的情形。必要性已由費馬定理給出，現(xiàn)在證明充分性。由定理6.13，任取（a,b）內(nèi)的一點，它與一起有因為，故對任何總有即為在內(nèi)的極小值點（而且為最小值點）。 下面的例子是定義1的一般情況例3(詹森（Jensen）不等式)若為上凸函數(shù)，則對任意有 （6）證 應用數(shù)學歸納法，當時，由定義1命題顯然成立，設時命題成立，即對任意及，都有現(xiàn)設及令則由數(shù)學歸納法假設可推得 =。這就證明了對任何正整數(shù)，凸函數(shù)總有不等式（8）成立。 例4 證明不等式，其中，均為正數(shù)。證 設由的一階和二階導數(shù)可見，時為嚴格凸函數(shù)，依詹森不等式有從而即又因所以 。 例5 設為開區(qū)間I內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，證明在

6、I內(nèi)任一點都存在左、右導數(shù)。證 下面只證凸函數(shù)在存在右導數(shù)，同理可證也存在左導數(shù)和為凹函數(shù)的情形。 設，則對（這里取充分小的，使），由引理中的（4）式有令故由上式可見F為增函數(shù)，任取且，則對任何，只要，也有由于上式左端是一個定數(shù)，因而函數(shù)在上有下界。根據(jù)定理3.10極限存在，即存在。注 由例5易知開區(qū)間I內(nèi)的凸（凹）函數(shù)一定處處連續(xù)從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點十分重要，我們稱之為拐點, 下面給出拐點的精確定義.定義2 設曲線在點處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的，這時稱點為曲線的拐點。由定義可見，拐點正是凸和凹曲線的分界點，如

7、圖6-15中的點M。例1中的點（0，0）為的拐點。容易驗證：正弦曲線有拐點為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個有關拐點的定理。定理6.15若在二階可導，則為曲線的拐點的必要條件是定理6.16設在可導，在某鄰域內(nèi)二階可導若在和上的符號相反，則為曲線的拐點注1 若是曲線的一個拐點，在的導數(shù)不一定存在請考察函數(shù)在的情況注2 與函數(shù)的極值點不同，拐點是從幾何角度定義的，是平面上的點，必須用兩個坐標來表示,注3 曲線的拐點就是凹凸區(qū)間的分界點,因此應在使得和二階不可導點所對應的曲線上的點中找拐點,注4 設在的某鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導數(shù), 且 則是曲線的拐點.從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點

8、十分重要，我們稱之為拐點, 下面給出拐點的精確定義.定義2 設曲線在點處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的，這時稱點為曲線的拐點。由定義可見，拐點正是凸和凹曲線的分界點，如圖6-15中的點M。例1中的點（0，0）為的拐點。容易驗證：正弦曲線有拐點為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個有關拐點的定理。定理6.15若在二階可導，則為曲線的拐點的必要條件是定理6.16設在可導，在某鄰域內(nèi)二階可導若在和上的符號相反，則為曲線的拐點注1 若是曲線的一個拐點，在的導數(shù)不一定存在請考察函數(shù)在的情況注2 與函數(shù)的極值點不同，拐點是從幾何角度定義的，是平面上的點，必須用兩個坐標來表示,

9、注3 曲線的拐點就是凹凸區(qū)間的分界點,因此應在使得和二階不可導點所對應的曲線上的點中找拐點,注4 設在的某鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導數(shù), 且 則是曲線的拐點從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點十分重要，我們稱之為拐點, 下面給出拐點的精確定義.定義2 設曲線在點處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的，這時稱點為曲線的拐點。由定義可見，拐點正是凸和凹曲線的分界點，如圖6-15中的點M。例1中的點（0，0）為的拐點。容易驗證：正弦曲線有拐點為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個有關拐點的定理。定理6.15若在二階可導，則為曲線的拐點的必要條件是定理6.16設在可導，在某鄰域內(nèi)二階可導若在和上的符號相反，則為曲線的拐點注1 若是曲線的一個拐點，在的導數(shù)不一定存在請考察函數(shù)在的情況注2 與函數(shù)的極值點不同，拐點是從幾何角度定義的，是平面上的點，必須用兩個坐標來表示,注3 曲線的拐點就是