函數的凹凸性與拐點（Word）

1、第 16 次理論課教學安排課程名稱高等數學課程類型必修課 選修課 授課專業(yè)授課內容2.4導數的應用（三）授課學時2授課類型理論課 上機課 討論 習題課 其它 教學目的與要求1、理解曲線凹凸性的概念2、掌握曲線凹凸性的判別方法3、掌握拐點的求法教學重點、難點重點：曲線的凹凸性與拐點難點：曲線的凹凸性與拐點教學方法以講授為主，講練結合 教學過程一、問題引入二、講授新課三、總結及作業(yè)布置參考資料（1）高等數學 夏國斌主編 省規(guī)劃教材、安徽大學出版社（2）高等數學 程偉主編、孫祖康主審 中國科技大學出版社（3）高等數學，夏國斌主編，電子科技大學出版社（4）高等數學學習指導，吳方庭主編，電子科技大學出版

2、社1 / 42.4導數的應用-曲線的凹凸與拐點課題： 曲線的凹凸與拐點 目的要求：理解曲線凹凸性的概念、掌握判斷函數圖形的凹凸性、求函數圖形的拐點等方法。重、難點：判斷函數圖形的凹凸性、求函數圖形的拐點教學方法：講練結合教學時數：1課時教學進程：函數的單調性可用函數的一階到函數來判定，對于同樣的遞增函數有著不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么對于這兩種不同的增法我們如何刻畫那？一、曲線的凹凸與拐點1曲線的凹凸定義和判定法圖1從圖1可以看出曲線弧ABC在區(qū)間內是向下凹入的，此時曲線弧ABC位于該弧上任一點切線的上方；曲線弧CDE在區(qū)間內是向上凸起的，此時曲線弧CDE位于該弧上任一點切線的下方關

3、于曲線的彎曲方向，我們給出下面的定義：定義1 如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其任一點切線的上方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內是凹的；如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其任一點切線的下方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內是凸的例如，圖1中曲線弧ABC在區(qū)間內是凹的，曲線弧CDE在區(qū)間內是凸的由圖1還可以看出，對于凹的曲線弧，切線的斜率隨的增大而增大；對于凸的曲線弧，切線的斜率隨的增大而減小由于切線的斜率就是函數的導數，因此凹的曲線弧，導數是單調增加的，而凸的曲線弧，導數是單調減少的由此可見，曲線的凹凸性可以用導數的單調性來判定而的單調性又可以用它的導數，即的二階導數的符號來判定，故曲線的凹凸性與的符號有關由此提出了

4、函數曲線的凹凸性判定定理：定理1 設函數在內具有二階導數（1）如果在內，0，那么曲線在內是凹的；（2）如果在內，0，那么曲線在內是凸的例 判定曲線的凹凸性2拐點的定義和求法定義2 連續(xù)曲線上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點叫做曲線的拐點定理2(拐點存在的必要條件) 若函數在處的二階導數存在,且點為曲線的拐點,則我們知道由的符號可以判定曲線的凹凸如果連續(xù)，那么當的符號由正變負或由負變正時，必定有一點使0這樣，點就是曲線的一個拐點因此，如果在區(qū)間內具有二階導數，我們就可以按下面的步驟來判定曲線的拐點:(1) 確定函數的定義域；(2) 求；令0，解出這個方程在區(qū)間內的實根；(3) 對解出的每一個實根，考察在的左右兩側鄰近的符號如果在的左右兩側鄰近的符號相反，那么點就是一個拐點，如果在的左右兩側鄰近的符號相同，那么點就不是拐點例 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點解 （1）函數的定義域為；（2）；令，得；（3）列表考察的符號（表中“”表示曲線是凹的，“” 表示曲線是凸的）：1-0+曲線拐點圖2由上表可知，曲線在內是凸的，在內是凹的；曲線的拐點為例 已知點為曲線的拐點，求的值。要注意的是，如果在點處的二階導數不存在，那么點也可能是曲線的拐點例如，函數在點處的二階導數不存在，但是點是該函數的拐點(圖2)小結本講內容：函數圖形凹凸性的判斷、函數圖形的拐點求法。描繪簡單的常用函數的圖形（包括水平漸近線和