微積分第二部分導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分,作為研究分析函數(shù)的工具和方法 ,其主要包含兩個(gè)重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分 ,其中導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度,即變化率問題,而微分刻畫了當(dāng)自變量有微小變化時(shí) ,函數(shù)變化的近似值 ?一?教學(xué)目標(biāo)與基本要求（一）知識1. 記住導(dǎo)數(shù)和微分的各種術(shù)語和記號;2. 知道導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系;3. 知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ,知道平面曲線的切線和法線的定義 ;4. 記住常數(shù)及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;5. 知道雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;6. 知道高階導(dǎo)數(shù)的定義 ;7. 知道隱函數(shù)的定義 ;8. 記住反函數(shù)的求導(dǎo)法則 ;9. 記住參

2、數(shù)方程所確定的函數(shù)的一 ?二階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式 ;10. 知道對數(shù)求導(dǎo)法及其適用范圍 ;11. 知道相關(guān)變化率的定義及其簡單應(yīng)用 ;12. 記住基本初等函數(shù)的微分公式 ;13. 知道微分在近似計(jì)算及誤差估計(jì)中的應(yīng)用;14. 記住兩函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式?（二）領(lǐng)會(huì)1 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的三種等價(jià)定義和左?右導(dǎo)數(shù)的定義 ;2 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與曲線在對應(yīng)點(diǎn)處的切線的斜率之間的關(guān)系;3 領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;4 領(lǐng)會(huì)微分的定義以及導(dǎo)數(shù)與微分之間的區(qū)別和聯(lián)系;5 領(lǐng)會(huì)微分的運(yùn)算法則及這些運(yùn)算法則與相應(yīng)的求導(dǎo)法則之間的聯(lián)系;6 領(lǐng)會(huì)微分形式的不變性 ;7 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在一

3、點(diǎn)處可導(dǎo) ?可微和連續(xù)之間的關(guān)系 ;8 領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件是左 ?右導(dǎo)數(shù)存在且相等 ?（三）運(yùn)用1 會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理含義 ,如速度 ?加速度等 ;2 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限 ,證明一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的命題 ,驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)是否存在 ;3 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)的切線方程和法線方程;4 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義或?qū)?shù)存在的充要條件討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在5 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù);6 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ;7 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ;8 會(huì)求隱函數(shù)的一階 ?二階導(dǎo)數(shù) ;9 會(huì)求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階 ?二階導(dǎo)數(shù) ;10. 會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) ;11. 會(huì)

4、用萊布尼茲公式求函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù);12. 會(huì)用對數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)和具有復(fù)雜乘?除?乘方 ?開方運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ?13. 會(huì)用微分定義和微分法則求微分 ;14. 會(huì)用一階微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù);15. 會(huì)用微分求函數(shù)的近似值 ?（四）分析綜合1 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及各種導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);2 綜合運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義 ,左 ?右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系等 討論函數(shù)的可導(dǎo)性 ;3 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式,兩函數(shù)和 ?差 ?積的高階導(dǎo)數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)；4. 綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則，解決幾何方面求曲線切線與法

5、線的問題及相關(guān)變化率問題；綜合運(yùn)用微分的定義及幾何意義解決近似計(jì)算及誤差估計(jì)問題二？教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：1. 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義及物理意義；2. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；3. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本求導(dǎo)公式；4. 微分的概念與微分的運(yùn)算法則 ；5. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系？三？教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1. 導(dǎo)數(shù)概念的深刻背景；2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用 ；3. 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，兩函數(shù)和？差?積的高階導(dǎo)數(shù) 公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；4. 綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則，解決幾何方面的曲線切線與法線 的問題及相關(guān)變化率問題 ？§ 2.1導(dǎo)數(shù)的概念一 ？內(nèi)容要點(diǎn)

6、1. 導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)基本實(shí)際背景是曲線的切線斜率與變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度？2. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義為函數(shù)在該點(diǎn)處的關(guān)于自變量的變化率，即yf（xo：x） - f （xo）. f（x） - f（X。）f（Xo） =1四瓦=1四ZX= 1四XXo3單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義1）函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：若函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，反之 不然？2）導(dǎo)數(shù)的實(shí)用舉例（擴(kuò)充）二？教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求:1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義？2. 理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件？3. 了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f（X）存在f（X°） f_（X&#

7、176;）教學(xué)注意點(diǎn):1.要充分認(rèn)識函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于其自變量在該點(diǎn)的變化率：切線的斜率k=dy；速度：=dX與加速度a=d ；角速度= 與角加速度dxdtdtdtdQdtd ;電流idt2.要充分理解函數(shù)可導(dǎo)則必然連續(xù)3.注意要用函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，而連續(xù)卻未必可導(dǎo)？:f（X。）存在f （Xd）=仁（冷）來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)主要內(nèi)容:引例1、線問題：切線的概念在中學(xué)已見過？從幾何上看，在某點(diǎn)的切線就是一直線，它在該點(diǎn)和曲線相切？準(zhǔn)確地說，曲線在其上某點(diǎn) P的切線是割線 PQ當(dāng)Q沿該曲線無限地接近于P點(diǎn)的極限位置？設(shè)曲線方程為點(diǎn)的切線,只須求出P點(diǎn)切線的斜率k?由上知，k

8、恰好為割線PQ的斜率的極限？我們不難求得 PQk = limX氏f(X)- f(X。) ?x _Xo的斜率為：f (X) - f (Xo);因此，當(dāng)P > Q時(shí)，其極限存在的話，其值就是k ,即X Xo若設(shè)為切線的傾角,則有k =tan> ?2?速度問題：設(shè)在直線上運(yùn)動(dòng)的一質(zhì)點(diǎn)的位置方程為S = s(t) (t表示時(shí)刻),又設(shè)當(dāng)t為t0時(shí)刻時(shí),位置在S二s(t0)處，問:質(zhì)點(diǎn)在t =t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度是多少？為此，可取to近鄰的時(shí)刻t, t -to,也可取t < to,在由to到t這一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的平均速度為呦 一S(to),顯然當(dāng)t與to越近，用S(t) Y(to)代替t

9、o的瞬時(shí)速度的效果越佳，特別地，當(dāng)t > tot -tot-toS(t) s(to )時(shí)，> 某常值Vo ,那么Vo必為to點(diǎn)的瞬時(shí)速度，此時(shí)，t toVo3?同理可討論質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿的線密度問題,設(shè)細(xì)桿分布在o,x上的質(zhì)量 m是x的函數(shù)m二m(x),那么在xo處的線密度為|im m(x) -m(xo)Xf oX _ Xo?導(dǎo)數(shù)的定義綜合上幾個(gè)問題，它們均歸納為這一極限f(X) f (x0)卄亠lim-(其中X-X。為自變量x在xo的增X 汽 X- Xo量，f(X)-f(Xo)為相應(yīng)的因變量的增量),若該極限存在,它就是所要講的導(dǎo)數(shù)？定義：設(shè)y二f(x)在Xo點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定

10、義,且當(dāng)自變量在Xo點(diǎn)有一增量 X( X X仍在該鄰域中)時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量紹,若增量比極限：lim y即lim f(X) 一 f(Xo)存在，就稱其值為Ax冷x - x0y = f (x)在 x = Xo 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為 f "(Xo), y" xkdydxX -xodfdxX -Xo即 f (Xo)iim f(x) f(Xo)等等 ,這時(shí),也稱y二f(x)在X = Xo點(diǎn)可導(dǎo)或有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)存在？ fX _xo注1:導(dǎo)數(shù)的常見形式還有f (Xo + Ax) _ f (Xo)； zx;f(X。)pmf(Xo +h) f(Xo)；oh；f(Xo) - f (Xo - h)；

11、f (xohmo廠；2： -叟反映的是曲線在xo,x上的平均變化率，而f (X) =dy|x尹是在點(diǎn)xo的變化率，它反映了 Xdx I函數(shù)y = f(x)隨X > xo而變化的快慢程度？3：這里理lx#與 f XN中的業(yè)與 f 是一個(gè)整體記號，而不能視為分子dy或df與分母dx ,待 dxdxdx dx到后面再討論？4:f (x) - f (Xo)X 一 Xo不存在就稱y = f (x)在x = Xo點(diǎn)不可導(dǎo)？特別地，若*=:,也可稱y = f(x)在X=xo的導(dǎo)數(shù)為：,因?yàn)榇藭r(shí)y=f(x)在X。點(diǎn)的切線存在，它是垂 X直于x軸的直線X =x0?若y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)處均可導(dǎo)

12、，就稱y = f(x)在I內(nèi)可導(dǎo)，且對- X. I,均有一導(dǎo)數(shù)值f (x),這時(shí)就構(gòu)造了一新的函數(shù),稱之為y = f (x)在I內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記為y = fX),或dy df (x)等?dx dx事實(shí)上，f(x：x) - f (x)或y鼻hmof (x h) - f (x)h注5：上兩式中，X為I內(nèi)的某一點(diǎn)，一旦選定，在極限過程中就為不變，而AX與h是變量？但在導(dǎo)函數(shù) 中，x是變量？6： y二f(x)在x =x°的導(dǎo)數(shù)f(X。)就是導(dǎo)函數(shù)y = f (x)在x = x o點(diǎn)的值，不要認(rèn)為是f(Xo)；7：為方便起見，導(dǎo)函數(shù)就稱為導(dǎo)數(shù)，而f(X。)是在X。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)？ 【例1】 設(shè)f (0

13、) = 0,證明欲lim衛(wèi)衛(wèi)二A,那么A = f (0) ?T xf(x)-f(0) f (x)f(x)-f(0)證明：因?yàn)閘imAX -0XT x0所以 A = f (0)?【例2】若 f(x)在 X0 點(diǎn)可導(dǎo)，問:f(X0 h)f(X0h)、h解:f(x° +h) - f (x° h) _ f(x° +h) - f (x°) + f(x°) - f(x° h)hhh> f (x°) f (x°) =2f 諷)？反過來,亦證明:f(X0 h)14! > f (x0)?2h三?求導(dǎo)數(shù)舉例【例3】求函數(shù)f

14、(x)二c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)？解：在f(x)二c中，不論X取何值，起其函數(shù)值總為c,所以，對應(yīng)于自變量的增量X ,有'7 = 0二:=0= mm：7即(c) "?注:這里是指f(x)=c在任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均為 0,即導(dǎo)函數(shù)為0?【例4】 求f (x) = xn (n為正整數(shù))在x = a點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)？nJn n解：f (a) = lim = lim (xn' axn，亠 亠 an'x an)= nan A 即 f (a) = na亦即(xn)= nanlxt x a t若將a視為任一點(diǎn)，并用x代換，即得f (x) = (xn)丄nx注:更一般地,f (x)為常數(shù))的導(dǎo)

15、數(shù)為f (x) - 'JJ,由此可見， 1 1 1 13 二云(xV(x = 0)?【例5】求f (x)二sin x在x = a點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)?解：f (a) =lim sinx_sina 二如，即(sinx)二 cosat x a-同理:若視a為任意值 拼用x代換，使得f (x)=cosx,即(sinx)'cosx?注:同理可證:(cosx) = -sin x?【例6】求f (x) = ax(a 0, a = 1)的導(dǎo)數(shù)？解：f (x)Jim°f(x hf(x)x uhxa -a=limh)0hi P"円0也(1)x i =a lim0loga(11 二axl

16、na logae所以(ax)二 ax |n a ?注:特別地，(exf = e ?【例7】求f (x)二logax(a 0,a = 1)的導(dǎo)數(shù)？解:f (x)=lim f(x hf(x)loga(x+h) _gxhloga(V-)lim-h a h1 loga l1xxln a注1：等最后講到反函數(shù)求導(dǎo)時(shí)x，可將logax作為a的反函數(shù)來求導(dǎo)；2:一般地說，求導(dǎo)有四步：一 ?給出 x ；?算出.：y ;三？求增量比線;L'X四？求極限？” 1 3?(ln x) ?x【例8】討論f(X)二x在X =0處的導(dǎo)數(shù)？解:考慮f(0 h) - f(0)hh=lim=lim sgnh 0 h h

17、ah ,由§ 1.4例4知lim sgn h不存在，故x在x = 0點(diǎn)不MP可導(dǎo)？然而，lim sgn h = 1及l(fā)im sgnh =1 ,這就提出了 一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的問題，一般地，若 h” _Qh# 弋f(x° h) - f(x°)h,即 lim_0 書迪些 f(X0 h)-f(X0)即x - X0h 2h存在，就稱其值為f (x)在X=Xo點(diǎn)的右(左)導(dǎo)數(shù)，并記為X X。f (X。)(f(X0),即 f；(X0)=賂 f(X0十h(X0) hT書h訕 f(X)-f(X0)x >x° 0x - x0f (Xo+h)-f(Xo) limh 0 -0

18、lim f(xf(xo)?XF -0X - Xo定理1： f (x)在x = x0點(diǎn)可導(dǎo) 二f (X)在X = X。點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在，且相等，即f _(x°) = f . (X0)?注1:例8 f (x)的左導(dǎo)數(shù)為-1,右導(dǎo)數(shù)為1 ?因?yàn)?1 = 1，所以在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo)；2:例8也說明左可導(dǎo)又右可導(dǎo)，也不能保證可導(dǎo)3:左?右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)；4:若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在x二a點(diǎn)右可導(dǎo)，在x =b點(diǎn)左可導(dǎo)，即f.(a), f_(b)存在,就稱f (x)在a,b上可導(dǎo)?四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的討論知:函數(shù)y二f(x)在X = Xo的導(dǎo)數(shù)f(Xo)就是該曲線在

19、 X = Xo點(diǎn)處的切線斜率k ,即k = f (xo),或f(Xo) = tan為切線的傾角？從而，得切線方程為y - y° 二 f (Xo)(x - Xo) ?若 f(X。)=:，-：一 2或一 2-切線方程為：X = Xo?過切點(diǎn)P(xo, yo)，且與P點(diǎn)切線垂直的直線稱為二f (x)在Po點(diǎn)的法線？如果f (Xo) = 0,法線的斜1R(XXO)?1率為"f (Xo)，此時(shí)，法線的萬程為：'一 如果f(Xo)=o,法線方程為X=Xo?【例9】求曲線y=x3在點(diǎn)P(Xo,yo)處的切線與法線方程？解:由于(x3) ,o = 3x2x -X)= 3x。2,所以

20、y = X3在P(Xo,yo)處的切線方程為：y - yo =3x(/(x - Xo)當(dāng)Xo = o時(shí),法線方程為3xo當(dāng)Xo =O時(shí),法線方程為：x =o?五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系定理2:如果函數(shù)y二f (x)在x = Xo點(diǎn)可導(dǎo)，那么在該點(diǎn)必連續(xù)？證明:由條件知Jim。-=f (xo)是存在的，其中 x = x - Xo，y 二 f (x) - f(Xo),由 §1?5 定理 1(i)n 3 =廠a。)xG 為無窮小)= y = f (xo)：x " ；_x顯然當(dāng) x > o時(shí)，有勺> o,所以由§1?9定義1 "，即得函數(shù)y

21、= f (x)在x = xo點(diǎn)連續(xù)，證畢？注1：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導(dǎo)？x在x = O點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)？【例1O】求常數(shù)a,b使得f (x) = «Xeax bx_ Ox ： O在x二O點(diǎn)可導(dǎo)？解:若使f(x)在x=O點(diǎn)可導(dǎo)，必使之連續(xù)，故lim f(x)=lim f(x f(O)xjO+(O二 e° 二 a O b 二 b 二 1?又若使f(x)在x = O點(diǎn)可導(dǎo)，必使之左右導(dǎo)數(shù)存在，且相等，由函數(shù)知，左右導(dǎo)數(shù)是存在的，, ,、 0f_（0）（ax b） -e-x 0x 0f .（0） = lim e= e = 1T+ x_0所以若有a =1,則f _(0

22、f (0),此時(shí)f (x)在x = 0點(diǎn)可導(dǎo)，所以所求常數(shù)為§ 2.2 函數(shù)的和？差？積？商的求導(dǎo)法則一 ?內(nèi)容要點(diǎn)1. 函數(shù)的線性組合?積與商的求導(dǎo)法則U、. U - U (au 二 I ) = au 二 I .(u ) = u ：亠u(_)2 2. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 5=砂.包；dx du dx2. 小結(jié)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)婁公式：1) 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；2) 函數(shù)的和？差？積?商的求導(dǎo)法則；3) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；4) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則？二?教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求:1. 掌握函數(shù)的線性組合?積與商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t？教學(xué)注意點(diǎn):1.牢

23、記x , e ,1 nx,C 0 x, t a ix, C 0 x, se(x,C S(x, arcsin x,arccos x,arctan x,arccotx,si nh x,cosh x等15個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，必須做到“倒背如流”？2. 在求導(dǎo)法則中，復(fù)合函數(shù)在鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則是中心，應(yīng)用時(shí)一要弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系做到不遺漏，不重復(fù)；二是在每步求導(dǎo)時(shí)要弄清關(guān)于哪一個(gè)變量求導(dǎo)(即使這個(gè)變量不明顯出現(xiàn)),熟練掌握的關(guān)鍵是多做練習(xí)？主要內(nèi)容： 定理1：若函數(shù)u(x)和v(x)在點(diǎn)x0都可導(dǎo)，則f(X)二u(x)二v(x)在x0點(diǎn)也可導(dǎo)，且f 仏）二 u（x°） _v （冷）證明:lim f

24、（x） f（X0）X %x -x0|im U（X）v（x） -u（x。）v（x。）X %X -X0=lim u（x） 5X0）_ lim v（x）v（X0）= u（X0）_v（X0）Xf X -X0x.%X-X0所以 f（X0）二 u（X0） 一 V（X0）?注1:本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)上去？2：本定理的結(jié)論也常簡記為(u_v)=uvJ定理2：若u(x)和v(x)在x=x0點(diǎn)可導(dǎo),則f (x) =u(x)v(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),且有f(Xo) =U(Xo)V(Xo) U(Xo)V(Xo)證明：lim 心一儂)=lim u(x)v(x) -U(Xo)v(xo)Xf x XcTox XoX X

25、o= limu(x)v(x)-u(xo)v(x)u(Xo)v(x)-u(Xo)v(Xo)X Xov(x) -v(Xo)= limU(XU(Xo)v(x) lim u(xo)x % X -XXfx -xox Xo= limU(X)-U(Xo) limv(x)臥和1計(jì)*)"(燈x >xoXXcx%XJX,X XoX Xo=U (Xo)v(Xo) U(Xo)v(Xo)即 f(X。)=U (Xo)v(Xo) U(Xo)v (X。)？注1：若取v(x)三c為常數(shù),則有：(cu) cu2:本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如:(uvw) = u vw uvw ucw(uvws) =

26、 u vws uvws uvw s uvw 等?定理3：若u(x),v(x)都在x=xo點(diǎn)可導(dǎo)，且v(xo) = 0 ,則f(x-U(x)在xo點(diǎn)也可導(dǎo),且v(x)f (Xo)二U (Xo)v(Xo) -U(Xo)v(Xo)v2(Xo)u(x)U(Xo)證明:lim f(x) f(xo)= lim v(x) v(Xo)xx°x _XoXXoX-Xolim U(X)v(Xo) U(Xo)v(X) Xf(XXo)v(X)v(Xo)= limU(X)u(Xou(Xo)v(x)v(Xo)1x >xox-xov(x)x - xov(x)v(xo)1 1= u(Xo) _u(Xo)v(Xo

27、 工V(X°)u (Xo)v(x。)-u(x°)v (Xo)V2(Xo)即 f(Xo)=u(Xo)v(XoJu(Xo)v(Xo)v (Xo)1 1注1:本定理也可通過f(x)=u(x).1,及1 的求導(dǎo)公式來得；v(x)v(x)2:本公式簡化為(U) 二Uvvv3:以上定理13中的x0,若視為任意 并用X代替,使得函數(shù)的和？差？積？商的求導(dǎo)函數(shù)公式？【例1】_2設(shè) f (x) = x 2 . x ，求 f (x) ? Jx解：f(X)r 222111=(x 2、x-) =(x)(2.x) -()=1 ; 一2(-；)一 3vx2 vx 2 px3=11X Jx3 ?【例2】

28、解：f (x)二(xeX In x)二(x) exIn x x(eX) In x xeX (In x)設(shè) f (x) =xeX|n x ,求 f (x)?=ex In x xeX In x xeX= ex(1 Inx xlnx)?【例3】(secx)二 secx tan x,(tan x)二 一2cos x 1 (ctan)廠， (cscx) - -cscx ctanxsin x反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)y = f(x)為x= (y)的反函數(shù)，若(y)在y°的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且'(yo 0,則1 f(x)在X0(即f (y。)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)),且f(X。)：Sy。)證明:lim

29、心)一仏).y y0二 lim二 limXfX - x0y 必(y) - (y°)y 淤(y) - (y°)y - y011(y)- “y。廠(y°)l i my >y0y - yo所以f(X0)y。)注1：xx。= y > y。，因?yàn)?(y)在y0點(diǎn)附近連續(xù) 嚴(yán)格單調(diào)；2若視X。為任意，并用x代替，使得5 譏或詈其中.，/、 I(乎)dy矽，空均為整體記號，各代表dx dy不同的意義;3: f (x)和'(y)的均表示求導(dǎo)，但意義不同4:定理1即說:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)5:注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式？【例1】 求y =

30、arcsin x的導(dǎo)數(shù)，解:由于 y 二 arcsinx, x -1,1，是 x =sin y,y -2上的反函數(shù)，由定理1得:(arcsi nx)1(sin y)1cosy1 _ 1 ,1 -sin2 y 1 -x2注1：同理可證:(arccosx)_1_1 -x2” 1 ”,(arcta n x)2，(arcc tan x)=n2: arcs in x arccosx = arcta nx arcc tan x = ?2【例2】求y=logax的導(dǎo)數(shù)(a 0,a=1)?解:利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做？ 二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題是最最常見的問題，對一復(fù)合函數(shù)往往有這二個(gè)問題:1

31、.是否可導(dǎo)?2.即使可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個(gè)問題？定理2(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則):如果u二(x)在x=x0點(diǎn)可導(dǎo),且y = f(u)在u=u0 =護(hù)(x0)點(diǎn)也可導(dǎo),那么，以 y = f (u)為外函數(shù)，以 u =護(hù)(x)為內(nèi)函數(shù)，所復(fù)合的復(fù)合函數(shù) y = f C (x)在x二x0點(diǎn)可dy導(dǎo)，且 y x現(xiàn)二 f (Uo)(Xo),或f( '(x)x仝二 f (u。)(X。) dx-證明：lim f(x)-f(X0)lim f(u)-f(u°) ：(X)-(X0)x 淪x-x0x 汽u-u0x-x0f(u)f(Uo)®(x)®(Xo)、

32、=limlim= f(Uo)(Xo)UUouU0J"X _X0所以f(x)，二 f (Uo)(X。)？注1：若視x。為任意,并用x代替，便得導(dǎo)函數(shù)譽(yù)十5 g或f(“x)一心廠(X)dx du dx2： f ( (x)與f ( (x)不同,前者是對變量u = (x)求導(dǎo),后者是對變量x求導(dǎo)，注意區(qū)別？3:注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)？，如:4:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去g (h(x) h (x)等?f(g(h(x) = f (g(h(x)1【例3】求y = arctan的導(dǎo)數(shù)？x1解：y 二 arctan 可看成 arctan u 與 u x(arcta

33、 n u)1 廠()=一2,二 / = (arctan1)"X xx11 21 ( )2x11 X2【例4】 求y=x 1為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)？解：y =x A = e"x是 y =eu, u =卩V,v = In x復(fù)合而成的？所以 y = (x ")二(e") ( v) (ln x)二 eu " 1xx"xf這就驗(yàn)證了前面§2?1的例4?由此可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導(dǎo);(ii)復(fù)合函數(shù)的分解?在解題時(shí)，若對復(fù)合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直;(iii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做

34、到準(zhǔn)確 接寫出結(jié)果？【例5】y = 1 -x2 ,求y ? 1解:y： =( 1 -X2): =(1 -X2)2_ 1_2 .1-12 x2、X(i"K【例1 snx6】y =e 一 ，求 y ?解:1 _s i n1 _s i ny =(e ) =e ( J -si nx)、j1 _s i n 1 二 e2(1 si nx)J - si rx【例1 cox ,1 1 _s i x -co&e= -e2 d -si nx 2 J -si nx7】y 二 arcsin(2cos(x2 _1),求 y ?解：y =(arcsin(2cos(x2 -1)(2cos(x2 -1)J1

35、 -2cos(x2 -1)22 22-sin(x2 -1) (x2 -1)1 -4cos (x -1)-2sin(x2 -1)4xsin(x2 -1)2一22x 21 -4cos (x -1)J -4cos (x-1)【例8】y = ln(ln(lnxln(ln tan )21x.tan )，求 y ?2x (ln(ln tany)xln(ln tan ), x In ta n2xtan2xln(ln tan )2(tan-)21 (In tan?ln tan x21xln(ln tan )In txan2xna12 xcos21111122 xxxxcos -tanln tanln ln t

36、an2222x . x例9】亍)111sin x,x,xln tanIn In t a n-2211 r X i 4 ie e ,21x_x2e -e (-1)解：y = ln(x . 1 x2)=1 (x . 1 x2)1 11 1 1X *1X22 1 x21(1 x2)即 sh x 二 chx ?同理，ch x 二 shx ? 【例 10】y = In(x1 x2),求 y ?12(1 22x 2)= 12- =(arsh>?X 1 X22 .1 x2.1 x2(archx) ?同理：(In(x + Jx2 1)= . 1(20)(arcshx) = (In(x . x21)=vx

37、i1、常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 ：(1)(c) =0(x") - W(3) (sin x) = cosx(4) (cosx) = -sin x(5) (tanx)" =sec x(6) (cot x) - -csc(7) (secx)二 secx tan x(8) (cscx)二-cscxxx(9) (a ) =a Inaxx(10) (e ) =e” 1(11) (log a x)xln a1(12) (In x)x(13) (arcsin x) -1(14) (arccosx)-l 1 O丿1 wO 11 1 A. JlJ1- x2l 1 *+丿 V Q1 wwMO

38、A. j” 1(15) (arctanx)21 +x(A G ( arcf (16) (arc cot x)(17) (shx)二 chx(18) (chx)二 shx. 1(19)(thx)2初等函數(shù)的求導(dǎo)公式11cot xx1 x211 匚x2(21) (arcchx)二(In(x . x2x2 -11 -x2(22)(arcthx) =(1 In )2 1 -x2、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則設(shè) u = u(x), V = v(x)，則(i) (u 上v) = u ±v(iii) (uv) = u v uv(ii) (cu)二 cu(£)u v - uv2v(v = 0)

39、3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè) y = f (u),u = (x) 二 y 二 f (x)的導(dǎo)數(shù)為：= -dy dx dudf ( (x) df (u)f(x) = f (X)(X)或dx§2.3du高階導(dǎo)數(shù)du 卡或dxd 毋(x)心(X)dx一 ?內(nèi)容要點(diǎn)1. 高階導(dǎo)數(shù)的定義；2. 一些特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式；3. 兩函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式 二?教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求:1了解和會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)；n2知道萊布尼茲求導(dǎo)公式：(UV)(n)=為CnU(nJi)V(k)k=0教學(xué)注意點(diǎn):要求學(xué)生記住高階導(dǎo)數(shù)(-)X主要內(nèi)容：X (n)X(n)n(n)(e ) e ; (sin x) s

40、in(x ); (cosx) cos(x ); 2 2n _1(72是有用的?(n)"n! ;(lnx)(nxn1前面講過，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程S二S(t),則物體的運(yùn)動(dòng)速度為V(tS (t)，或 V哼,而加速度a(t)是速度v(t)對t的變化率，即 a(t)是速度v(t)對時(shí)間t的導(dǎo):d 'ds數(shù)：:二 a(t)=竺 =dt的導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列定義Fd?)或(t)= (s (t),由上可見，加速度是s(t)的導(dǎo)函數(shù)定義：若函數(shù)y = f(X)的導(dǎo)函數(shù)f(X)在X。點(diǎn)可導(dǎo)，就稱f(X)在點(diǎn)Xo的導(dǎo)數(shù)為函數(shù) y二f (x)在點(diǎn)Xo處的二階導(dǎo)數(shù)，記為f ”

41、(x°)，即 limf(X) f(X0)r(X0),此時(shí)，也稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)X X°X0處二階可導(dǎo)？注1：若y二f (x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱f(x)在區(qū)間I上二次可導(dǎo)，并稱f "(x),xI為f (x)在I上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱二階導(dǎo)數(shù)；2：仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)f "(x)可定義三階導(dǎo)數(shù) f ”(x)，由三階導(dǎo)數(shù) "(X)可定義四階導(dǎo)數(shù) f(x),一般地，可由n_1階導(dǎo)數(shù)f (n4)(x)定義n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x);3:二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為:f(n)(x0),y(n)(x0),歸x=X

42、)dnfdxnx=Xo與 f(n)(x),y(n)(x)，瞬或 Jdx dxd s4：開始所述的加速度就是S對t的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記2或二S (t)；dt5:未必任何函數(shù)所有高階都存在；6：由定義不難知道，對y二f(x),其導(dǎo)數(shù)(也稱為一階導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三 階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，n -1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為n階導(dǎo)數(shù)，否則，因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐次向上求導(dǎo)的過程，無須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了？【例 1 】y = ax2 bx c，求 y : y : y ？解：y = 2ax b = y = 2a = y =0, y=0?【例2】y二e

43、x,求各階導(dǎo)數(shù)？解：y"=ex,y""=ex, y朋=ex,y=ex,顯然易見，對任何 n,有 y(n) =ex,即(ex)(n) =ex?【例3】y二sin x，求各階導(dǎo)數(shù)？解：y 二sin x,y 二cosx 二sin(x)2y - -s i nx 二 s i nX 二)二 s i nx 2)2訊Jijiny = _cosx =-si nX)=sinX 亠亠)二sinx 3)2 2 2y(4)二 s i nx 二 s i nx 2 二)=s i nX 4)2(n)応(n)応一般地，有 y=sin(x 十n ),即 (siix)( =sin)( + n )?2

44、2同樣可求得 (cox)(n) =cosx + n)?2【例4】y =ln(1 x),求各階導(dǎo)數(shù)？1 1解：y =ln(1 x),y , y ,y1 +x(1 + x)1 2(1 x)3 (1 x)4般地，有(ln(1x)(n)(n -1)!(1 x)n【例5】y =x 1為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)？解：y = X1 yX 小,y J 乂二-1)x 心，y(二-1)(： -2)x 心, y十I M _2)(J -3)x",一般地，y(n)_(_ 1)(亠_ 2)(亠-n T)x=n即(xVn)=嗆1 -1)(-2) e -n 1)x4?(i) 當(dāng)J = k為正整數(shù)時(shí)a)n ：k時(shí),(xk

45、)(n)二 k(k 1)(k 一2) (k -n 1)xkai；n =k 時(shí),(xk)(k) = k!(=n!)；n k 時(shí),(xk)(n) = 0;(ii)當(dāng)J為正整數(shù)時(shí)，必存在一自然數(shù)k,使得當(dāng)nk, X、 (n)在x = 0處不存在？如：y =x23 3 1y寧2， y ST2,然而，x2在X"處是無意義，即說明1x2在x =0處無導(dǎo)數(shù)，或y "在x = 0處不存在【例6】y = ex COSX,求y解:y 二exco x ex(_si nx)二 ex( coxs-si rx),y 二 ex(cosx-sinx) ex(-sin x-cosx)二 ex(-2sin x

46、), y - -2(exsinx excosx) - -2ex(sinx cosx) ?注:高階導(dǎo)數(shù)有如下運(yùn)算法則(l)u(x) _v(x)(n) =u(x) _v(x).(uv) ' = u v uv ；(uv) " j v 2u v uv , (uv) J u v 3u v 3u v uv(n)(n) (0)1 (nJ)2 (n _2)k (n±) (k)u(x)v(x) u vCnuv Cnu v-Cnu v+ u(0)v(n)?其中 u(0) = u,v(0) = v? nz 公式【例7】上例中，求y(5)?解：y=(excox)(5) =(ex)(5) Q

47、ox+C；(ex)(4)( coxS7C；(ex)7 coxfC； (ex) (cosx)C； (ex) (cosx) ex(cosx)=ex cosx 5ex(-sinx) 10ex(-cosx) 10exsinx 5ex cosx ex(-sinx)= excosx5sinx10cosx 10sinx 5cosxsinx= ex(4sinx -4cosx)=4ex(sinx - cosx)?【例8】驗(yàn)證y =Ge興+C2e*滿足關(guān)系式：y" &2y =0(其中為任意常數(shù))?解：y'= Cie _ hc2e二y“ = qe趙 + &2c2eJx所以 y&qu

48、ot; = &2ge趙+c2e一勺=2y ny"_k2y = 0?x-3c【例9】驗(yàn)證y滿足關(guān)系式:2y =(y-1)y_?x 4=1x 4x 41(x-4)212(x-4)3又 2y(y-1)y1(x-4)41x 42(x-4)3=0所以 2y 2 _(y -1)/-0?§2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一 ?內(nèi)容要點(diǎn)1由一般方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 業(yè)：方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)并解出 魚dxdx、 x = (t)dy dy (t)3. 由參數(shù)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=?=屮dx dx 申4. 相關(guān)變化率：由變量x(t)與y(t)滿足的關(guān)系

49、式 F >(t)1 (t) =0導(dǎo)出兩個(gè)變化率x (t)與y(t)之間的關(guān)系，從而由其中的一個(gè)變化率求得另一個(gè)變化率？二?教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求:1. 會(huì)求由一般方程與參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的一階？二階導(dǎo)數(shù)？2. 根據(jù)實(shí)際問題，會(huì)建立兩個(gè)相依變量之間的關(guān)系式，進(jìn)而解決相關(guān)變化率問題 ？ 教學(xué)注意點(diǎn):要了解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在形式上的不同:顯函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y 一般是自變量x的表達(dá)式；由一般方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y沖通常既含數(shù) 魚 則通常dx是參數(shù)t的表達(dá)式，對求這兩類函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)尤其需要學(xué)生加強(qiáng)練習(xí)，這是很多學(xué)生常常出錯(cuò)的地方？主要內(nèi)容：一 ?隱函數(shù)的導(dǎo)

50、數(shù)以前，我們所接觸的函數(shù)，其因變量大多是由其自變量的某個(gè)算式來表示的，比2如：y=x2，5,y=xs in ex，z=x| n y ey si nx等等，象這樣一類的函數(shù)稱為顯函數(shù)？x但在實(shí)際問題中，函數(shù)并不全是如此，設(shè)F(x, y)是定義在區(qū)域 D二R2上的二元函數(shù)，若存在一個(gè)區(qū)域I ,對于I中的每一個(gè) x的值,恒有區(qū)間J上唯一的一個(gè)值y,使之與x一起滿足方程：F(x,y) =0(1)就稱方程(1)確定了一個(gè)定義域?yàn)镮，值域含于J中的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就稱為由方程(1)所確定的隱函數(shù)，若將它記為y二f(x), x I,則有:在I上,F(x, f (x)三0?21 5x【例1】5x ，4y-1 =

51、 0確定了隱函數(shù)：y?4【例2】x2 y1能確定出定義在-1,1上的函數(shù)值不小于 0的隱函數(shù)y二叫1-x2，也能確定 出定義在-1,1上的函數(shù)值不大于 0的隱函數(shù)y - 71 - x2 ?上面求f (x)的過程是將一個(gè)隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，也稱為隱函數(shù)的顯化？注1:在不產(chǎn)生誤解的情況下，其取值范圍可不必一一指明；2：并不是任一方程 (1)都能確定出隱函數(shù)，比如：x2 y20 ,不可能找到 y = f (x),使得x2 f(x)2 1 =0；3：即使方程(1)能確定一個(gè)隱函數(shù)，但未必能象上二例一樣從方程中解出y1如：y -x sin y = °，我們可證明它確實(shí)能確定一個(gè)隱函數(shù)，但無法表示成y二f (x)的形式，即不2能顯化？實(shí)際問題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如果隱函數(shù)可顯化，則求導(dǎo)沒什么問題，同前一樣