2013考研數(shù)一真題及解析

1、數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）已知極限，其中為常數(shù)，且，則（ ）（A）（B）C）（D）（2）曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（ ）（A）（B）（C）（D）（3）設(shè)，令，則（ ）（A）（B）（C）（D）（4）設(shè)為四條逆時(shí)針的平面曲線，記，則= ( )（A）（B）（C）（D）（5）設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的行向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)

2、（6）矩陣與相似的充分必要條件為（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)是隨機(jī)變量，且,則（ ）（A）（B）（C）（D）（8）設(shè)隨機(jī)變量給定常數(shù)c滿足,則（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)設(shè)函數(shù)由方程確定，則(10)已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，該方程的通解為(11)設(shè)（為參數(shù)），則(12)（13）設(shè)是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若（14）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,為常數(shù)且大于零，則_。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

3、或演算步驟.（15）（本題滿分10分）計(jì)算其中（16）（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列滿足條件：是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，（I） 證明：,（II） 求的表達(dá)式.（17）（本題滿分10分）求函數(shù)的極值.（18）（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)上具有2階導(dǎo)數(shù)，且證明：（I） 存在（II） 存在，使得（19）（本題滿分10分）設(shè)直線L過(guò)兩點(diǎn)，將L繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面所圍成的立體為，（I） 求曲面的方程（II） 求的形心坐標(biāo).（20）（本題滿分11分）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣使得，并求所有矩陣。（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型，記。（I）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為；（II）若正交且均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)

4、形為二次型。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令隨機(jī)變量,（I）求Y的分布函數(shù)（II）求概率（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.（1）求的矩估計(jì)量；（2）求的最大似然估計(jì)量.2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）【答案】D【解析】（2）【答案】A【解析】設(shè)，則；，所以該曲面在點(diǎn)處的切平面方程為，化簡(jiǎn)得，選A（3）【答案】C【解析】根據(jù)題意，將函數(shù)在上奇延拓，它的傅里葉級(jí)

5、數(shù)為它是以2為周期的，則當(dāng)且在處連續(xù)時(shí)，因此（4）【答案】D【解析】利用二重積分的幾何意義，比較積分區(qū)域以及函數(shù)的正負(fù)，在區(qū)域上函數(shù)為正值，則區(qū)域大，積分大，所以，在之外函數(shù)值為負(fù)，因此，故選D。（5【答案】（B）【解析】由可知C的列向量組可以由A的列向量組線性表示，又B可逆，故有，從而A的列向量組也可以由C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價(jià)的定義可知正確選項(xiàng)為（B）。（6）【答案】(B)【解析】由于為實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定可以相似對(duì)角化，從而與相似的充分必要條件為的特征值為。又，從而。（7）【答案】（A）【解析】由知，故.由根據(jù)及概率密度的對(duì)稱性知，故選（A）（8）【答案】（C）【解析】由得，

6、故9.【答案】1【解析】 由，當(dāng)時(shí)， 方程兩邊取對(duì)數(shù) 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得將，代入上式，得(10)【答案】【解析】因，是非齊次線性線性微分方程的解，則是它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，可知對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為，因此該方程的通解可寫為(11)【答案】【解析】， ，所以，所以(12)【答案】【解析】（13）【答案】【解析】（14）【答案】【解析】由及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知.（15）【解析】（16）【解析】（I）設(shè)，因?yàn)椋虼?；（II）方程的特征方程為，解得，所以，又，解得，所以。17【解析】解得，對(duì)于點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，極小值為對(duì)于，,不是極值.（18）【解析】（1）令則使得（2）令則又由于為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，可知,則使即，即（19）【解析】（1）過(guò)兩點(diǎn)，所以其直線方程為：所以其繞著軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程為：（2）由形心坐標(biāo)計(jì)算公式可得，所以形心坐標(biāo)為（20）【解析】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)，則由可得線性方程組： （1）由于方程組（1）有解，故有，即從而有，故有從而有（21）【解析】(1) （2），則1,2均為A的特征值，又由于，故0為A的特征值，則三階矩