2015年高考湖南理科數(shù)學試題及答案(詳解純word版)

1、數(shù)學（理科）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，時量120分鐘，滿分150分一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知(是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z=A. B. C. D. 2.設A、B是兩個集合，則“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的S A. B. C. D. 4.若變量x, y滿足約束條件，則的最小值為A. B. C. 1D. 25. 設函數(shù)，則是A. 奇函數(shù)，且在是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在是減函數(shù) C. 偶函數(shù)

2、，且在是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在是減函數(shù)6.已知的展開式中含的項的系數(shù)為30，則A.B.C. 6D. 7. 在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為A. 2386B.2718C. 3413 D. 4772附：若，則,.8.已知點A, B, C在圓上運動，且 . 若點P的坐標為, 則的最大值為A. 6B. 7 C. 8 D. 99.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，有，則A. B. C. D. 10. 某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原

3、工件的一個面內，則原工件材料的利用率為（材料的利用率）A.B. C.D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11._.12. 在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）莖葉圖如圖所示若將運動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間上的運動員的人數(shù)是_.13. 設F是雙曲線C的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為_.14.設為等比數(shù)列的前n項和，若，且成等差數(shù)列，則_.15. 已知函數(shù) 若存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點，則a的取值范圍是_.三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字

4、說明、證明過程或演算步驟.16. (本小題滿分12分) 本小題有、三個選做題，請考生任選兩題作答，并將解答過程寫在答題紙中相應題號的答題區(qū)域內，如果全做，則按所做的前兩題計分.（本小題滿分6分）選修41 幾何證明選講 如圖，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明： （）； （）.（本小題滿分6分）選修44 坐標系與參數(shù)方程 已知直線（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（）設點M的直角坐標為，直線與曲線C的交點為A，B，求的值.（本小題滿分6分）選修45

5、不等式選講 設，且，證明：（）；（）與不可能同時成立.17. (本小題滿分12分) 設的內角的對邊分別為，且B為鈍角. () 證明：；() 求的取值范圍.18. (本小題滿分12分) 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎. 每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球. 在摸出的2球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎. () 求顧客抽獎1次能獲獎的概率；() 若某顧客有3次抽獎的機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.19. (本小題滿分13分) 如圖，在四棱

6、臺的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，且底面，點P，Q分別在棱，上.() 若點P是的中點，證明：；() 若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.20. (本小題滿分13分)已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為.() 求的方程；() 過點F的直線與相交于A，B兩點，與相交于C，D兩點，且與同向.（） 若，求直線的斜率；（）設在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線繞點F旋轉時，總是鈍角三角形.21. (本小題滿分13分)已知，函數(shù)，記為的從小到大的第n個極值點. 證明:() 數(shù)列是等比數(shù)列；() 若，則對一切，恒成立.2015年高考湖南卷理科數(shù)學參考答案一、選擇題 D C

7、 B A A D C B D A二、填空題 11. 0 12. 4 13. 14. 15. 三、解答題16. .證明：()如圖，因為M，N分別是兩弦AB，CD的中點，所以, ，即 ，因此，又四邊形的內角和等于，故. () 由（）知， O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得.解： ()等價于 ，將，代入上式即得曲線C的直角坐標方程是.() 將代入得.設這個方程的兩個實根分別為，則由參數(shù)t的幾何意義知.證明： 由，得 （）由基本不等式及，有，即.() 設與可同時成立，則由及可得，同理 ，從而這與相矛盾，故與不可能同時成立.17. 解：（）由及正弦定理，得，所以，即. 又B為鈍角，故，即.() 由

8、（）知 , 所以. 于是 因為，所以 ，因此.由此可得的取值范圍是.18. 解：（）記事件=從甲箱中摸出的一個球是紅球，=從乙箱中摸出的一個球是紅球，顧客抽獎一次獲一等獎，顧客抽獎一次獲二等獎，C顧客抽獎一次能獲獎. 由題意與相互獨立，與互斥，與互斥，且，=+，. 又因為，所以，, 故所求概率為.()顧客抽獎3次可視為3次獨立重復實驗，由（）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以，于是 由此求得X的分布列為X0123P X的數(shù)學期望為.19.解法一：（）如圖，取的中點R，連結,因為,是梯形的兩腰，點P是的中點，所以，于是由知，所以四點共面. 由題設知 ，,所以 平面,平面，因此 . 因為,所以

9、，因此, 于是 , 又已證得，所以平面,顯然有平面, 故 .() 如下圖，過點P作交AD于點M，則平面，因為底面，所以底面，過點M作于點N，連結PN，則，是二面角的平面角. 所以 ，即 ，從而. 連結MQ，由平面及平面知，平面平面，所以，又ABCD是正方形，所以ABQM是矩形，故MQ=AB=6. 設MDt，則過點作交AD于點E，則是矩形，所以 ，因此 . 于是 , 所以，從而，解得，所以.故四面體ADPQ的體積 . 解法二：由題設知G兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則相關各點的坐標為，, ，其中，.() 若點P是的中點，則，又，于

10、是, 所以，即. () 由題設知，, 是平面PQD內兩個不共線的向量，設是平面PQD的一個法向量，則 即 取，得. 又平面AQD的一個法向量是，所以 ，而二面角的余弦值為，所以，解得m=4或m=8(舍去)，此時. 再設，而，由此得到，. 因為平面，且平面的一個法向量是，所以 ，從而.于是，將四面體視為為底面的三棱錐，其高，故四面體ADPQ的體積 .20. 解：() 由知其焦點F的坐標為（0，1），因為F也是橢圓的一個焦點，所以 （1）又與的公共弦長為，與都關于y軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點坐標為，所以 （2） 聯(lián)立（1）（2）得，故的方程為. ()如圖，設，. ()因與同向，且，所以 ，從而 ，即，于是. （3）設直線的斜率為，則的方程為. 由 得，而是這個方程的兩根，所以 （4）由 得，而是這個方程的兩根，所以 （5）將(4)(5)代入(3)得 ，即，所以 ，解得 ，即直線的斜率為.()由 得 ，所以在點A處的切線方程為，即，令得，即，所以，而，于是，因此總是銳角，從而是鈍角. 故直線繞點F旋轉時，總是鈍角三角形.21. 解：()，其中，.令 ，由得 ，即. 對，若，即，則;若，即，則.因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是，當時，取得極值，所以. 此時，易知，且是常數(shù)，