圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程在高考中的應(yīng)用

1、圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程在高考中的應(yīng)用作者:吳時(shí)清 薛青麗 聯(lián)系方式時(shí)間:2021.6.17切點(diǎn)弦方程是解析幾何中的熱點(diǎn)問(wèn)題,也是高考命題熱點(diǎn)之一.隨著導(dǎo)數(shù)的介入,它的內(nèi)涵更加豐富,本文從圓錐曲線的切點(diǎn)弦定義入手,對(duì)圓錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線中常見(jiàn)的曲線的切點(diǎn)弦方程進(jìn)行證明,再到一般的圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程的結(jié)論,以及切點(diǎn)弦方程在近年來(lái)高考中的應(yīng)用.一、切點(diǎn)弦方程的概念平面內(nèi)一點(diǎn)引曲線的兩條切線,兩切點(diǎn)所在直線的方程叫做曲線的切點(diǎn)弦方程.二、圓的切點(diǎn)弦方程證明:設(shè)圓外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的的兩條切線,切點(diǎn)是,那么直線的方程是:.證明:由平面幾何知識(shí)易知,弦是圓與以為直徑端點(diǎn)的圓

2、的相交弦.以為直徑端點(diǎn)的圓的方程是:,即又-得: .三、橢圓、雙曲線、拋物線的切點(diǎn)弦方程設(shè)是圓錐曲線不含焦點(diǎn)局部外的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn),那么切點(diǎn)弦所在直線方程如下表:方程曲線標(biāo)準(zhǔn)方程切點(diǎn)弦方程橢圓雙曲線拋物線四、二次曲線的切點(diǎn)弦方程設(shè)從點(diǎn)引曲線的兩條切線,切點(diǎn)為,那么過(guò)的且線方程分別是:,因?yàn)辄c(diǎn)在上述兩條切線上,所以滿足方程*所以經(jīng)過(guò)的直線方程是*五、利用切點(diǎn)弦方程解高考題【例1】2021年山東理科數(shù)學(xué)22題如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p0),M為 直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為2，-2

3、p時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn).假設(shè)存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 證明：由題意設(shè)由得，那么所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以由、得因此，即所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解：由知，當(dāng)x0=2時(shí)， 將其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的兩根，因此又所以由弦長(zhǎng)公式得又，所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程為或解：設(shè)D(x3,y3)，由題意得C(x1+ x2, y1+ y2), 那么CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線AB的方程為由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，代入得假

4、設(shè)Dx3,y3在拋物線上，那么因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或1當(dāng)x0=0時(shí)，那么，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.2當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)又ABCD，所以即矛盾.對(duì)于因?yàn)榇藭r(shí)直線CD平行于y軸，又所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.【例2】2021年江西高考數(shù)學(xué)理設(shè)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線,切點(diǎn)為,定點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,試求的重心所在曲線的方程;求證:三點(diǎn)共線.解: 設(shè),垂直于直線,那么, 點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)的重心為,那么代入雙曲線方程并整理得:, 重心的軌跡方程為設(shè)點(diǎn),方程對(duì)求導(dǎo)得: 切線的斜率為,方程為,又 切線的方程為同理: 切線的方程為,又在,上, 即點(diǎn)都在直線上,又也在直線上 三點(diǎn)共線.【例2】2021年廣東高考理20題拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線：的距離為設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)求拋物線的方程；當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值解:依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得所以拋物線的方程為拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得設(shè)，其中，那么切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即同理可得切線的方程為因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn)，所以，所以為方程的兩組解所以直線的方