十重積分解題方法歸納

1、一、重積分的概念、性質(zhì)重積分的定義是一個(gè)黎曼和的形式，對(duì)于一些和式的極限問題，有時(shí)可根據(jù)定義，將其轉(zhuǎn)化為重積分，再利用重積分的計(jì)算方法求解. 另外很多考試在選擇題或填空題中，直接考查重積分的性質(zhì)，?？嫉男再|(zhì)一般有：比較性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、中值定理等.例1 （2010年考研 數(shù)一、數(shù)二）=（ ）解 由于 而 因此 故選.方法技巧 當(dāng)遇到黎曼和的形式時(shí)，經(jīng)?？疾榉e分的定義式，在積分中，積分變量的符號(hào)是任意的，可根據(jù)題目的要求選取.例2 設(shè)在上連續(xù)，又，則時(shí)，是的階無窮小.解 由題意 要確定 中的.由積分中值定理知，存在，使得因此 故 ，即是的3階無窮小.方法技巧 要將被積函數(shù)從積分號(hào)內(nèi)取出時(shí)，常會(huì)用到

2、積分中值定理，尤其在證明題中經(jīng)常遇到.二、重積分的計(jì)算方法當(dāng)給定被積函數(shù)和積分區(qū)域時(shí)，重積分是一個(gè)確定的數(shù)值.對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)，用性質(zhì)或幾何意義即可求得積分值；對(duì)一般函數(shù)，需要化為累次積分計(jì)算.：(1) 利用重積分的性質(zhì)計(jì)算重積分.(2) 利用重積分的幾何意義（針對(duì)二重積分）計(jì)算重積分.(3) 直角坐標(biāo)系下計(jì)算重積分.(4) 極坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下，計(jì)算重積分.(5) 利用換元法計(jì)算重積分.2. 在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：（1）若積分區(qū)域關(guān)于（或）軸對(duì)稱，則（或 ）其中是在（或）軸上（或右）方的部分. （2）若積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，則其中是在直線上方的部分.（3）若積分區(qū)域關(guān)

3、于（或）面對(duì)稱，則（或 ， ）其中是在（或）面上（或前，右）方的部分.（4）若積分區(qū)域是（或）型域，即（或），則二重積分（或 ）（5）若極點(diǎn)在積分區(qū)域內(nèi)或邊界上，即，則二重積分（6）若極點(diǎn)在積分區(qū)域外，即，則二重積分（7）若積分區(qū)域（或，）則三重積分（投影法）（或 ）（8）若積分區(qū)域（或，）則三重積分（截痕法） （或，）（9）若積分區(qū)域（或，）則三重積分（柱面坐標(biāo)）（或 ）（10）若積分區(qū)域則三重積分（球面坐標(biāo)）（1） 計(jì)算重積分的步驟： （1）二重積分畫出積分區(qū)域的草圖；三重積分想象出積分區(qū)域的圖形； （2）選取坐標(biāo)系（依據(jù)或的形狀和被積函數(shù)或的形式）； （3）選擇積分次序； （4）確定累次

4、積分的上、下限，分別計(jì)算定積分.例3 設(shè)，若，則=（ ）.解 由于被積函數(shù)是球心在原點(diǎn)，半徑為的上半個(gè)球面，根據(jù)二重積分的幾何意義知，等于以為底，為頂?shù)牧Ⅲw的體積，即因此 ，故選.方法技巧 當(dāng)被積函數(shù)是我們比較熟悉的曲面時(shí)，首先要考慮二重積分的幾何意義.本題也可直接利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.例4 設(shè)，計(jì)算二重積分.解 積分區(qū)域如圖10.35所示，它關(guān)于軸、軸及原點(diǎn)對(duì)稱，為在第一象限部分.對(duì)于二重積分，由于被積函數(shù)對(duì)變量和均為偶函數(shù)，由二重積分的對(duì)稱性知 .對(duì)于二重積分，由于被積函數(shù)對(duì)為奇函數(shù)，由二重積分的對(duì)稱性知 .故 方法技巧 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸或軸對(duì)稱時(shí)，首先要考慮被積函數(shù)是否存在對(duì)變量和的奇

5、、偶性，若存在，可以先化簡(jiǎn)，再計(jì)算，這樣會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程. 本題也可直接利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分.例5 設(shè)，計(jì)算二重積分.解 積分區(qū)域如圖10.36所示，由于積分區(qū)域與圓有關(guān)，被積函數(shù)中含有，因此采用極坐標(biāo).所以 ，故方法技巧 當(dāng)積分區(qū)域與圓（圓、圓環(huán)、扇形）有關(guān)，被積函數(shù)中含有、或時(shí)，一般計(jì)算二重積分時(shí)，會(huì)考慮利用極坐標(biāo).例6 設(shè)，計(jì)算二重積分.解 積分區(qū)域是由圓周圍成的，令，則作變換，將面上的閉區(qū)域轉(zhuǎn)化為面上的閉區(qū)域，則 因此 又由于關(guān)于軸、軸均對(duì)稱，所以 ，故方法技巧 當(dāng)復(fù)雜的積分區(qū)域可經(jīng)過坐標(biāo)變換（平移或旋轉(zhuǎn)），變成簡(jiǎn)單區(qū)域時(shí)，一般會(huì)用二重積分的換元法.例7 設(shè)，將三重積分在三種坐標(biāo)系下

6、化為累次積分.解 積分區(qū)域如圖10.37所示.在直角坐標(biāo)系下，先對(duì)積分，作平行于軸并與其方向一致的射線穿入，穿進(jìn)的曲面是變量的下限，穿出的曲面是變量的下限，再將投影到面得閉區(qū)域在上將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，故在柱面坐標(biāo)系下，將轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)系下的積分區(qū)域，即則 在球面坐標(biāo)系下，將轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)系下的積分區(qū)域，即則 方法技巧 有些三重積分既可用直角坐標(biāo)計(jì)算，也可用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算，甚至直角坐標(biāo)可以用投影法計(jì)算，還可用截痕法計(jì)算，但計(jì)算的難易程度還是有區(qū)別的，需要同學(xué)加強(qiáng)這方面的練習(xí)，以便在考試中，以最快的速度找出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法.三、交換積分次序交換積分次序的題目，在考試中選擇題和填空題居

7、多，且大多數(shù)為二重積分，題型可分為以下幾類：（1）給出一種次序的二次積分，要求交換成另一種次序的二次積分；（2）給出一種次序的二次積分，要求計(jì)算此積分（一般按給定次序不能進(jìn)行計(jì)算）；（3）計(jì)算一個(gè)二重積分（只有一種次序的二次積分可以計(jì)算）；（4）直角坐標(biāo)系下的二次積分與極坐標(biāo)系下的二次積分互相轉(zhuǎn)化.（5）證明一個(gè)二次積分等于一個(gè)定積分時(shí)，需要先交換二次積分的積分次序.例8 計(jì)算 ，其中積分區(qū)域是由直線及拋物線圍成的閉區(qū)域.解 積分區(qū)域如圖10.38所示.積分區(qū)域既是型又是型區(qū)域，但被積函數(shù)為，若對(duì)積分時(shí)，不能得到原函數(shù)，故化為二次積分時(shí)，只能先對(duì)后對(duì)積分，故方法技巧 二重積分用任何次序都可轉(zhuǎn)化

8、為二次積分，但并不代表用任何次序的二次積分都可以求出結(jié)果，因此，做題時(shí)，若一種次序的二次積分計(jì)算非常繁瑣，就需要考慮換一種積分次序試一試，尤其當(dāng)被積函數(shù)中含有、等函數(shù)時(shí)，要特別注意.例9 證明 證 在左邊的二次積分中，由于被積函數(shù)含有未知函數(shù)，而積分變量又是，因此不能按給定次序求出定積分，需要交換積分次序. 首先還原成二重積分的積分區(qū)域，如圖10.39所示.左邊=右邊 證畢.四、重積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用在幾何上，二重積分可以求平面圖形的面積、曲頂柱體的體積及空間曲面的面積等，三重積分可以求空間區(qū)域的體積.在物理上，重積分可以求物體的質(zhì)量、質(zhì)心（形心）坐標(biāo)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：（1） （2）（3）（4）其中為曲面在面的投影區(qū)域. （5） （6） 質(zhì)心坐標(biāo)平面物體的質(zhì)心坐標(biāo)： 空間物體的質(zhì)心坐標(biāo)：當(dāng)密度均勻時(shí)，質(zhì)心也稱為形心.（7） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：在（5）（7）中，和分別表示物體的面密度和體密度.例10 設(shè)，則=.解 利用球的形心坐標(biāo)公式因此 故 例11