全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題

1、第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，則的值為 （ B.A1.B.C.D.由可得，即，即，即，所以2已知的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最大值為 （ B ）A5.B6. C7. D8.設的面積為S，所求的第三條高線的長為h，則三邊長分別為顯然，于是由三邊關系，得 解得所以的最大整數(shù)值為6,即第三條高線的長的最大值為6.3方程的解的個數(shù)為 （ C ）A1個 B2個C3個 D4個當時，方程為，即，解得，均滿足當時，方程為，即，解得，滿足2011年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第1頁（共8頁）綜上，原方程有3個解.4今有長度分別

2、為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有 （ C. ）A5組.B7組.C9組.D11組.顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條當用7條線段去拼接成正方形時，有3條邊每邊都用2條線段連接，而另一條邊只用1條線段，其長度恰好等于其它3條邊中每兩條線段的長度之和當用8條線段去拼接成正方形時，則每邊用兩條線段相接，其長度和相等又因為，所以正方形的邊長不大于由于； ； ； ； 所以，組成邊長為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成邊長為9的正方形，有5種方法。故滿足條件的“線段組”的組數(shù)為1×459

3、5如圖，菱形ABCD中，則（ D ）A.B.C.D.為H，又，從而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH，6已知，則的值為 （ C. ）A1.B.C2.D.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得所以 二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1在ABC中，已知，則【答】 。延長AB到D，使BDBC，連線段CD，則，所以CACD。作于點E，則E為AD的中點，故，.在RtBCE中，所以，故 2二次函數(shù)的圖象的頂點為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點，與y軸正方向交于C點，若ABD和OBC均為等腰直角三角形（O為坐標原點），則【答】 2由已知，得，過D作于點E，則，即，得，所以或又

4、，所以又，即，得3能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為【答】 11.當時，若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)若，則；若，則；若，則；若，則。所以，當時，都不是完全平方數(shù)當時，若它是完全平方數(shù)，則為一奇數(shù)的平方。設（k為自然數(shù)），則由于和一奇一偶，所以，于是，故4如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果，D為EF的中點，則AB 【答】 24. 設，則連AD，BC因為AB為O的直徑，AF為O的切線，所以又因為D為RtAEF的斜邊EF的中點，在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 設，由相交弦定理得 ，即，又， 又，從而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 聯(lián)

5、立，解得所以第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知三個不同的實數(shù)滿足，方程和有一個相同的實根，方程和也有一個相同的實根求的值解 依次將題設中所給的四個方程編號為，設是方程和方程的一個相同的實根，則 兩式相減，可解得設是方程和方程的一個相同的實根，則兩式相減，可解得。所以 又方程的兩根之積等于1，于是也是方程的根，則。又 ，兩式相減，得 若，則方程無實根，所以，故于是 又，解得 二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點，且，為的中點求證：（1）；（2）證明 （1）由已知得 ，從而四點共圓，為直徑，為該圓的圓心 作于點，知為的中點，所以，從而（2）作于點，則又， RtRt

6、，又，所以，故，所以三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設，O為坐標原點若，且（1）證明：；（2）求圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式解（1）因為，所以，即由，得又，從而有，即 （2）由，知是關于x的一元二次方程的兩個不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 當時，方程為，沒有整數(shù)解當時，方程為，兩根為綜合知： 設圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為第二試 （B）二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點，且求證：證明 由已知得 ，從而四點共圓，為直徑設為AC的中點，則為四邊形ABCD的外接圓的圓心5分作于點，則M為BD的中點,所以，從而 10分作于點，則又， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設，O為坐標原點若，且）求圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式解 因為，所以，即由，得5分又，從而有，即 10分又，故是關于x的一元二次方程的兩個不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當時，方程為，沒有整數(shù)解當時，方程為，兩根為綜合知：20分設圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點的二次函數(shù)的解析式為25分第二試 （C）二（本題滿分25分）如圖，已知為銳角內(nèi)一點，過分