假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)

1、第7章 假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)7.1 內(nèi)容框圖假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)參數(shù)檢驗(yàn)分布的檢驗(yàn)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)7.2 基本要求（1） 理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及兩類錯(cuò)誤的含義.（2） 掌握有關(guān)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟和方法.（3） 理解單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)的異同.（4） 理解并掌握正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的的基本方法.（5） 了解總體分布的檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法.7.3 內(nèi)容概要1）假設(shè)檢驗(yàn)下面把各種情形列一個(gè)表：接受域，接受拒絕域，拒絕為真，不真正確犯第一類錯(cuò)誤不真，為真犯第二類錯(cuò)誤正確值為顯著水平。然后，根據(jù)顯著水平 來確定臨界值，用臨界值來劃分接受域 和拒絕域 。這樣的檢驗(yàn)，稱為顯著性檢驗(yàn)

2、。假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟是：（1）提出原假設(shè) ；（2）選取合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，從樣本求出 的值；（3）對(duì)于給定的顯著水平，查 的分布表，求出臨界值，用它劃分接受域 和拒絕域 ，使得當(dāng) 為真時(shí)，有 ；（4）若 的值落在拒絕域 中，就拒絕 ，若 的值落在接受域 中，就接受 。假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)是所謂的小概率事件原理，即一個(gè)概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的.要檢驗(yàn)一個(gè)根據(jù)實(shí)際問題提出的原假設(shè)是否成立，如果已知在成立時(shí)，某個(gè)事件發(fā)生的可能性很小，而試驗(yàn)的結(jié)果卻是這個(gè)事件發(fā)生了，那么根據(jù)小概率事件原理，我們就可以認(rèn)為所提出的這個(gè)假設(shè)是不成立的，即拒絕；反之，則接受.這里的原假設(shè)可以根據(jù)實(shí)際問題提

3、出，事件是否發(fā)生可根據(jù)試驗(yàn)觀測(cè)值判斷，因此假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)鍵問題就是要確定在成立時(shí)，發(fā)生可能性很小的某個(gè)事件.我們知道，正態(tài)分布有個(gè)3原則，即若服從正態(tài)分布，那么的取值會(huì)大多集中在其均值附近，落入兩側(cè)的可能性很小.事實(shí)上，當(dāng)服從t分布，分布，F(xiàn)分布時(shí)，其取值落入兩側(cè)的可能性也都相對(duì)很小.因此，我們要確定成立時(shí)一個(gè)發(fā)生可能性很小的事件，只需根據(jù)樣本構(gòu)造出服從正態(tài)分布，t分布，分布或F分布的隨機(jī)變量（統(tǒng)計(jì)量）就可以了.根據(jù)上述分析，正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)可概括為如下步驟。（1）提出假設(shè):假設(shè)一般是根據(jù)實(shí)際問題提出的，只是為了檢驗(yàn)的方便，要求原假設(shè)必須含有等號(hào).（2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:即根據(jù)樣本構(gòu)造服從正態(tài)分

4、布，t分布,分布或F分布的不含未知參數(shù)的隨機(jī)變量，常用到6.7節(jié)的結(jié)論.例如，總體其中已知，要檢驗(yàn)：，已知的，都可用作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量.但是T忽略了已知的信息肯定不如U好，而因其概率密度的復(fù)雜性（這使得的最小接受域難以確定），它也不如U統(tǒng)計(jì)量好.其他統(tǒng)計(jì)量如，因不含顯然無法用于檢驗(yàn).一般地，關(guān)于期望的檢驗(yàn)用U統(tǒng)計(jì)量或T統(tǒng)計(jì)量.關(guān)于單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量.關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)用F統(tǒng)計(jì)量.（3） 確定拒絕域:拒絕域就是在為真的情況下，所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量以很小的概率（顯著性水平）落入的范圍，記為，即P統(tǒng)計(jì)量=.根據(jù)原假設(shè)形式上的不同，拒絕域可能為單側(cè)或雙側(cè).那么如何確定拒絕域究竟在左側(cè)，右側(cè)還

5、是雙側(cè)呢？比如我們用來檢驗(yàn)：時(shí)，在成立的情況下，的取值應(yīng)集中在其中心原點(diǎn)附近，取值偏大或偏小都是可能的，但可能性會(huì)很小.因此，此時(shí)的拒絕域?yàn)殡p側(cè)的.但是如果要檢驗(yàn)的為，此時(shí)有,即在成立時(shí)，的取值會(huì)偏大，故此時(shí)的拒絕域在左側(cè).一個(gè)簡單的判別準(zhǔn)則是：單側(cè)檢驗(yàn)中拒絕域的不等號(hào)方向與備選假設(shè)的不等號(hào)方向一致，即，則拒絕域?yàn)?（4） 作出判斷:代入樣本觀測(cè)值，若統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值落入拒絕域則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè).上述步驟也同樣適用于非參數(shù)檢驗(yàn)，如關(guān)于分布的檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn).只不過分布的檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是以分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并且都是單側(cè)檢驗(yàn).最后需要說明的是，假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)小概率事件原理進(jìn)行推斷的.但是一

6、個(gè)發(fā)生可能性很小的事件也并非是絕對(duì)不可能發(fā)生的，因此我們的檢驗(yàn)也可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，即第一類錯(cuò)誤為真時(shí)卻拒絕了，其概率為顯著性水平，或第二類錯(cuò)誤為假時(shí)卻接受了，其概率為.單個(gè)總體，方差已知時(shí)，均值的檢驗(yàn)問題 設(shè)總體 ，已知其中 ，是 的樣本，要檢驗(yàn)： 。檢驗(yàn)方法 ,從樣本可以算出的值，定出一個(gè)值 ，稱為臨界值，把的取值范圍分成兩個(gè)區(qū)域： 和。稱為接受域，稱為拒絕域。從樣本求出的值，的值落在中，就接受，的值落在中，就拒絕 。 單個(gè)總體，方差未知時(shí)，均值的檢驗(yàn)問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要檢驗(yàn)： 。檢驗(yàn)方法 。從樣本求出 的值。對(duì)于給定的顯著水平，自由度，查 分布表可得 分布的臨界值 ，使得

7、，當(dāng) 時(shí)拒絕 ，否則接受 。怎樣查表求 分布的臨界值在書后附錄中，有一個(gè) 分布的臨界值表，從中可以查到 分布的臨界值。查表時(shí)，在自由度 與 的相交處可以查到 。 單個(gè)總體，均值未知時(shí)，方差的檢驗(yàn)問題 設(shè)總體 ，其中未知，是 的樣本，要檢驗(yàn)： （或） 。檢驗(yàn)方法因此可得到檢驗(yàn)方法如下：從樣本求出 的值。對(duì)于給定的顯著水平，自由度，查表可得 分布的臨界值 和 ，使得 以及 ，當(dāng) 或 時(shí)拒絕 ，否則接受 。怎樣查表求 分布的臨界值在書后附錄中，有 分布的臨界值表，從中可以查到 分布的臨界值。查表時(shí)， （1）在自由度 與 的相交處可以查到 ；（2）在自由度 與 的相交處可以查到 。 兩個(gè)總體，方差未知

8、但相等時(shí)，均值是否相等的檢驗(yàn)問題 設(shè)總體 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，要檢驗(yàn)： 。檢驗(yàn)方法 檢驗(yàn)方法如下：從樣本求出 的值。對(duì)于給定的顯著水平，自由度，查表可求得 分布的臨界值 ，使得 ，當(dāng) 時(shí)拒絕 ，否則接受 。 兩個(gè)總體，均值未知時(shí)，方差是否相等的檢驗(yàn) 在求解上面的問題時(shí)，我們假設(shè)已知有 ，到底是不是這樣，最好還要檢驗(yàn)一下。問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，要檢驗(yàn) ：（ 或 ） 。檢驗(yàn)方法 從樣本求出的值。對(duì)于給定的顯著水平，查表可得分布的臨界值和，使得 以及 ，當(dāng) 或時(shí)拒絕 ，否則接受 。怎樣

9、查表求分布的臨界值在書后附錄中，有分布的臨界值表，從中可以查到分布的臨界值。查表時(shí)，（1）在自由度 與自由度 的相交處，可以查到與 對(duì)應(yīng)的臨界值 ；（2）臨界值 不能直接從表中查到，要按下列方法求出：先將自由度前后顛倒，變成，從表中查出 ，再對(duì)它取倒數(shù)，即有 。單側(cè)檢驗(yàn)問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要檢驗(yàn)： （備選假設(shè)：） 。檢驗(yàn)方法 從樣本求出 的值。對(duì)于給定的顯著水平，自由度，查表可得 分布的臨界值 ，使得 ，當(dāng) 時(shí)拒絕 ，否則接受 。問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（），（）分別是 ， 的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，要檢驗(yàn) ：（備選假設(shè)：） 。檢驗(yàn)方法對(duì)于給定的顯著水平，自由度，查表可

10、得 分布的臨界值，使得 ，從樣本求出 的值，當(dāng) 時(shí)拒絕 ，否則接受 。單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)的相同和不同之處（1）單側(cè)檢驗(yàn)與對(duì)應(yīng)的雙側(cè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)所用的統(tǒng)計(jì)量完全相同，統(tǒng)計(jì)量服從的分布和自由度也完全相同 ；（2）雙側(cè)檢驗(yàn)中查分布表求臨界值時(shí)， 或 ，單側(cè)檢驗(yàn)中查分布表求臨界值時(shí)， 或 ，而且只要查出單側(cè)的一個(gè)臨界值就可以了 ；（3）設(shè)在單側(cè)檢驗(yàn)中，要檢驗(yàn)：* * （備選假設(shè)：* * ） ，這時(shí)，如果 檢驗(yàn)時(shí)所用的統(tǒng)計(jì)量 右側(cè)臨界值，就拒絕，否則就接受 ；（4）設(shè)在單側(cè)檢驗(yàn)中，要檢驗(yàn)：* * （備選假設(shè)：* * ） ，這時(shí)，如果 檢驗(yàn)時(shí)所用的統(tǒng)計(jì)量 左側(cè)臨界值，就拒絕，否則就接受 。 正態(tài)總體參數(shù)的

11、假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)時(shí)所用的統(tǒng)計(jì)量分布單個(gè)總體已知 未知已知未知兩個(gè)總體，已知，未知但有，已知，未知2）區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的基本思想定義 設(shè) 是總體分布中的未知參數(shù)，如果對(duì)于一個(gè)事先給定的概率 （例如， 或 ）,能夠找到樣本統(tǒng)計(jì)量和，使得，則稱為未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱概率為置信水平，稱為置信下限，稱為置信上限。單個(gè)總體，方差未知時(shí)，均值的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要求的水平為的置信區(qū)間。分析推導(dǎo)， 就是的水平為的置信區(qū)間。 單個(gè)總體，均值未知時(shí)，方差的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要求 的水平為的置信區(qū)間。 ， ， 就是的水平為的置信區(qū)間。的水平為的置信區(qū)間為

12、 。 兩個(gè)總體，方差但相等時(shí)，均值之差的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，要求的水平為 的置信區(qū)間。令， 就是的水平為的置信區(qū)間。 兩個(gè)總體，均值未知時(shí)，方差之比的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，要求 的水平為的置信區(qū)間。令 ， ， 就是 的水平為的置信區(qū)間。 區(qū)間估計(jì)的一般步驟從上面幾種情況的例子中，我們可以總結(jié)出區(qū)間估計(jì)的一般步驟為：（1）選取一個(gè)含有未知參數(shù) 的隨機(jī)變量 ；（2）對(duì)于給定的置信水平，查 的分布表，象在假設(shè)檢驗(yàn)中一樣，求出臨界值，用它劃分接受域 和拒絕域

13、 ，使得 ；（3）把 等價(jià)變換成 ，得到 ，區(qū)間 就是未知參數(shù) 的水平為 的置信區(qū)間。表7-2 正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)條件置信區(qū)間 分布單個(gè)總體已知 未知已知未知 ，兩個(gè)總體，已知，未知但有，已知，未知 7.4 自測(cè)題七一、 判斷題（正確用“+”，錯(cuò)誤用“”）1. 在假設(shè)檢驗(yàn)中，設(shè)，分別為犯第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率，則+=1. ( )2. 若給定顯著性水平=0.05，則在此水平下的假設(shè)檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率最大不超過5%.（ ）3. 若在顯著性水平=0.05的情況下假設(shè)檢驗(yàn)接受了原假設(shè)，則在新的顯著性水平=0.01的情況下重新檢驗(yàn)可能拒絕.（ ）4. 設(shè)參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為

14、，則. （ ）5. 判斷一個(gè)檢驗(yàn)是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，取決于假設(shè)和，與選定的統(tǒng)計(jì)量無關(guān). （ ）6. 設(shè)總體，其中和均未知，和S*分別為樣本的均值和修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本容量為，則的置信水平為的置信區(qū)間的長度與X無關(guān). （ ）7. 設(shè)總體，其中已知，為其容量為10的樣本，則的置信水平的置信區(qū)間的長度與樣本無關(guān). （ ）8. 設(shè)某廠生產(chǎn)的牛奶制品中三聚氰胺的含量服從正態(tài)分布N,按規(guī)定當(dāng)其含量低于0.003 mg/L時(shí)才能認(rèn)定為合格品，要檢驗(yàn)這廠的產(chǎn)品是否合格，則提出的假設(shè)為：0.03，：0.003. （ ）9. 設(shè)某廠生產(chǎn)的牛奶制品中三聚氰胺的含量服從正態(tài)分布N，其中,均未知.按規(guī)定當(dāng)其含量低于

15、0.03 mg/L時(shí)才能認(rèn)定為合格品，從這個(gè)廠的產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為的樣本來檢驗(yàn)該廠產(chǎn)品是否合格，則顯著性水平下統(tǒng)計(jì)量的拒絕域?yàn)? ( ) 10. 設(shè)總體，其中和均未知，為樣本觀測(cè)值,若在顯著性水平下檢驗(yàn)：；：，結(jié)果拒絕了，則不在的置信水平為的置信區(qū)間中. ( ) 二、 選擇題1. 某化工產(chǎn)品的含硫量，其中都未知，取5個(gè)樣品，測(cè)得含硫量為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，檢驗(yàn)： =4.50和： =0.04（顯著水平都是=0.05），檢驗(yàn)的結(jié)果為（ ）. （A）拒絕： =4.50，拒絕： =0.04（B）拒絕： =4.50，接受： =0.04（C）接受： =4.50，拒絕： =0

16、.04（D）接受： =4.50，接受： =0.04 2. 設(shè)總體,已知，若樣本容量和置信水平均不變，則對(duì)于不同的樣本觀測(cè)值，總體均值的置信區(qū)間的長度（ ）. （A） 變長（B） 變短（C） 不變（D） 不能確定3. 設(shè)總體，則總體均值的置信區(qū)間長度L與置信水平的關(guān)系是（ ）.（A） L隨減少而縮短 （B） L隨減少而增大（C） 隨減少，L保持不變 （D） 以上說法都不對(duì)4. 設(shè)總體，其中都未知，分別是,的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立， 這時(shí)檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量F=（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 設(shè)總體,為的樣本，總體,為的樣本，且與相互獨(dú)立，令 則（給定顯著水平），檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?）.

17、（A） （B）（C） （D）6. 對(duì)A，B兩種香煙，分別抽樣測(cè)定香煙中的尼古丁含量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： A種香煙中的尼古丁含量/20 23 22 25 26 B種香煙中的尼古丁含量/25 28 23 26 29 22設(shè)A，B兩種香煙中的尼古丁含量分別為和. 檢驗(yàn)和（顯著水平都是=0.05），檢驗(yàn)的結(jié)果為（ ）. （A）拒絕，拒絕（B）拒絕，接受（C）接受，拒絕（D）接受，接受7. 設(shè)總體，已知其中，是的樣本，要在顯著水平下，檢驗(yàn)假設(shè)（備選假設(shè)）. 從樣本求出的值，查N（0,1）分布表，可得臨界值（分位數(shù)），使得，當(dāng)（ ）時(shí)，拒絕. （A） （B） （C） （D） 8. 對(duì)正態(tài)總體（未知）的假設(shè)檢驗(yàn)

18、問題：1,：1，若取顯著水平=0.05，則其拒絕域?yàn)椋?）.（A） （B）（C）（D）9. 設(shè)是正態(tài)總體N（,4）的一個(gè)樣本，是樣本均值，查N（0,1）分布表，可得臨界值（分位數(shù)和，使得和，則的置信水平為的置信區(qū)間為（ ）. （A） （B）（C） （D）10. 對(duì)正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的假設(shè)檢驗(yàn)，若在顯著性水平=0.05下接受,那么在=0.01下對(duì)的檢驗(yàn)是（ ）.（A） 必接受 （B） 可能接受也可能拒絕（C） 必拒絕 （D） 不接受也不拒絕三、 填空題1. 設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，其中和均未知，在檢驗(yàn)時(shí)使用的統(tǒng)計(jì)量為；對(duì)于給定的顯著性水平，的拒絕域?yàn)?2. 設(shè)和為分別取自相互獨(dú)立的兩個(gè)正態(tài)總體和的

19、樣本.在檢驗(yàn)中使用的統(tǒng)計(jì)量為；對(duì)于給定的顯著性水平，的接受域?yàn)?3. 設(shè)總體，其中均未知. 是的樣本，,，這時(shí)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（用和表示）是T=_. 4. 設(shè)總體，從中抽取一個(gè)容量為n=9的樣本，測(cè)得樣本均值=1575，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 在顯著水平=0.05下，檢驗(yàn)假設(shè)（備選假設(shè)）的結(jié)果是_. 5. 設(shè)總體，樣本均值為，要使得總體均值的水平為0.95的置信區(qū)間為0.560, 0.560，樣本容量（樣本觀測(cè)次數(shù)）必須等于_. 6. 從某廠生產(chǎn)的導(dǎo)線中抽取5根，測(cè)得其電阻（單位：m）為145，140，136，138，141. 設(shè)導(dǎo)線的電阻服從正態(tài)分布，的水平為95%的置信區(qū)間是，的水平為 95%的置信

20、區(qū)間是. 7. 設(shè)總體，為的樣本，則的置信水平為95%的置信區(qū)間的長度平方的數(shù)學(xué)期望為_. 8. 設(shè)總體,，且相互獨(dú)立，為的樣本，為的樣本，要使得的95%的置信區(qū)間長度不超過5，則n至少為_. 9. 設(shè)甲、乙兩種燈泡的使用壽命分別為和. 從甲種燈泡中任取m=5 只，測(cè)得燈泡壽命的樣本均值=1000，樣本標(biāo)準(zhǔn)差；從乙種燈泡中任取=7 只，測(cè)得燈泡壽命的樣本均值=980，樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 這時(shí)的水平為 95%的置信區(qū)間是_. 如果假定已知，這時(shí)的水平為 95%的置信區(qū)間是_. 10. 設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，其中已知，并且已知的置信水平為的置信區(qū)間為,則在顯著性水平下檢驗(yàn) (其中已知， ）的結(jié)論是_.

21、7.5 自測(cè)題七答案一、 1. ; 2. +; 3. +; 4. +; 5. +; 6. +; 7. +; 8. ; 9. ; 10. +二、 1. B; 2. C; 3. A; 4. C; 5. A; 6. D; 7. A; 8. B; 9. B; 10. A三、 1. 2. 3.4. 接受; 5. 49; 6.135.8,144.2，2.03,9.75; 7. 1.1357; 8. 16;9.0.156,8.94，-9.4,49.4; 10. 拒絕7.6 典型例題例1 某廠生產(chǎn)的鈕扣，其直徑 ，已知 （mm），現(xiàn)從中抽查100顆，測(cè)得樣本均值 （mm）。已知在標(biāo)準(zhǔn)情況下，鈕扣直徑的平均值應(yīng)

22、該是（mm），問：是否可以認(rèn)為這批鈕扣的直徑符合標(biāo)準(zhǔn)？（顯著水平）解 問題相當(dāng)于要檢驗(yàn)： 。 。對(duì) ，查 分布的臨界值表，可得臨界值 ，因?yàn)?，所以接受 ： ，可以認(rèn)為這批鈕扣的直徑符合標(biāo)準(zhǔn)。 例2 某廠生產(chǎn)的合金鋼，其抗拉強(qiáng)度，現(xiàn)抽查5件樣品，測(cè)得抗拉強(qiáng)度為 要檢驗(yàn)假設(shè) ： 。（顯著水平）解 樣本容量 ，樣本均值 ，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ， 。對(duì)，自由度，查 分布的臨界值表，可得 ,由于 ，因此拒絕 ： 。 例3 某廠生產(chǎn)的維尼綸的纖度 ，已知在正常情況下有 ?，F(xiàn)從中抽查5根，測(cè)得纖度為 ，問： 的標(biāo)準(zhǔn)差 是否發(fā)生了顯著的變化？（顯著水平）解 問題相當(dāng)于要檢驗(yàn) ： 。樣本容量 ，樣本方差 ， 。對(duì)

23、，自由度，查 分布表，可得及，由于，所以拒絕：，結(jié)論是：纖度的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化。 例4 任選19個(gè)工人分成兩組，讓他們每人做一件同樣的工作，測(cè)得他們的完工時(shí)間（單位：分鐘）如下：飲酒者30，46，51，34，48，45，39，61，58，67未飲酒者28，22，55，45，39，35，42，38，20問：飲酒對(duì)工作能力是否有顯著的影響？（顯著水平）解 設(shè)兩組工人的完工時(shí)間分別為總體 和 ，其中、未知，但假設(shè)已知有。問題相當(dāng)于要檢驗(yàn)： 是否成立。， ， 。對(duì)，自由度，查 分布表，可得 ,由于 ，因此拒絕 ： ，從檢驗(yàn)得出的結(jié)論是：飲酒對(duì)工作能力有顯著的影響。 例5 設(shè)兩組工人的完工時(shí)間分別

24、為 和 ，第一組工人的人數(shù)為 ，完工時(shí)間的樣本方差為 ；第二組工人的人數(shù)為 ，完工時(shí)間的樣本方差為 。要檢驗(yàn) ： （顯著水平） 。解 ， ， ， ， 。對(duì)，自由度，查分布表，可得 ， ，因?yàn)?，所以接受 ： 。 例6 設(shè)燈泡壽命 ，抽取容量為 的樣本，測(cè)得 （小時(shí)），（小時(shí)），問：能否認(rèn)為燈泡的平均壽命已達(dá)到小時(shí)？（顯著水平 ）解 問題相當(dāng)于要檢驗(yàn)： （備選假設(shè)：） 。 已知 ， ， ，求得 。對(duì) ，自由度 ，查 分布表，可得 , 由于，因此接受 ：，可以認(rèn)為燈泡的平均壽命已達(dá)到小時(shí) 。 例7 對(duì)鐵礦石中的含鐵量，用舊方法測(cè)量5次，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，用新方法測(cè)量6次，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，設(shè)用舊方

25、法和新方法測(cè)得的含鐵量分別為 和 ，問：新方法測(cè)得數(shù)據(jù)的方差是否顯著地小于舊方法？（顯著水平 ）解 如果我們將原假設(shè)定為 ： ，備選假設(shè)定為 ：，由于原假設(shè)中沒有等號(hào)，難以給出合適的檢驗(yàn)方法。所以，我們把上面的原假設(shè) 與備選假設(shè) 顛倒一下，將問題改為要檢驗(yàn) ：（備選假設(shè)：） 。， ， ， ， 。對(duì)顯著水平，自由度，查 分布表，可得臨界值，因?yàn)?，所以接受假設(shè) ：，拒絕假設(shè) ：，結(jié)論是：不能認(rèn)為新方法測(cè)得數(shù)據(jù)的方差顯著地小于舊方法。 例8 一些著名科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時(shí)的年齡為哥白尼40歲伽利略34歲牛頓23歲富蘭克林40歲拉瓦錫31歲賴爾33歲達(dá)爾文49歲麥克斯韋33歲居里34歲普朗克43歲愛因

26、斯坦26歲薛定諤39歲設(shè)年齡 ，求的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 樣本容量 ，樣本均值 ，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 。對(duì)， ，, 自由度 ，查 分布表可得 。 ， ， 。求得的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例9 設(shè)科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時(shí)的年齡為，對(duì)容量為 的樣本，已求得修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，求 和 的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ， ， 。對(duì)， ，自由度 ，查 分布表，可得 ， 。 ， 。求得 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 又因?yàn)?， ，所以， 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例10 從某廠生產(chǎn)的第一批導(dǎo)線中抽取4根，測(cè)得其電阻的樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差；從該廠生產(chǎn)的第二批導(dǎo)線中抽取5根，測(cè)得其

27、電阻的樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)這兩批導(dǎo)線的電阻分別為 和 ，其中，求的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ，對(duì)， ，,自由度，查 分布表，可得 ,，。 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例11 對(duì)甲、乙兩廠生產(chǎn)的電池作抽查，測(cè)得使用壽命（單位：小時(shí)）如下甲廠電池壽命550，540，600，510乙廠電池壽命635，580，595，660，640設(shè)甲、乙兩廠生產(chǎn)的電池，使用壽命分別為 和 ，求 的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ， ， ， 。對(duì) ，自由度 ，查 分布表，可得， 。 ， 。 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例12 為研究氣管炎與吸煙的關(guān)系，對(duì)339人作調(diào)查，得到結(jié)果如下： 不吸煙

28、 每日吸煙10支以下 每日吸煙10支以上總和 有氣管炎13202356 無氣管炎1218973283總：氣管炎是否與吸煙有關(guān)？（顯著水平）解 設(shè) 為患?xì)夤苎椎臓顩r， 為吸煙狀況，問題相當(dāng)于要檢驗(yàn) ： 與 獨(dú)立。 。對(duì)顯著水平，自由度，查 分布表，可得臨界值， 由于，所以拒絕假設(shè)： 與 獨(dú)立，檢驗(yàn)的結(jié)論是：氣管炎與吸煙有關(guān)。 模擬考試卷及答案華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試卷11、 選擇題1對(duì)任意二事件，與不等價(jià)的是（ ）。2. 設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率均為，則事件A至少出現(xiàn)一次的概率為（C ）。A. B. C. D. 3. 從3個(gè)男生、2

29、個(gè)女生中任意選出2人，現(xiàn)在已知選出的2人中至少有一人是女生，在這種情況下，選出2人恰好是一個(gè)男生和一個(gè)女生的概率為（C ）。A B C D 4離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則（ ）。 (A) 0.2; （B）0.3; （C）0.5; （D）0.5. 設(shè)，則（B）。 (A) 對(duì)任何實(shí)數(shù) ，都有; (B) 對(duì)任何實(shí)數(shù) ，都有; (C) 對(duì)任何實(shí)數(shù) ，都有; (D) 只對(duì)的個(gè)別值，有 .6、當(dāng)隨機(jī)變量的可能值充滿區(qū)間（ ），則可成為的概率密度。 （A） (B) (C) (D) 7設(shè)總體，（X1，X2，X6 ）為取自總體的樣本， 則常數(shù)c=（ C）時(shí)，隨機(jī)變量服從t分布。（A） （B） (C) (D)

30、2、 填空題1、已知，則 0.3 . 2. 向單位圓內(nèi)隨機(jī)地投下3點(diǎn)，則這3點(diǎn)恰有2點(diǎn)落在同一象限內(nèi)的概率為_9/16_。3 .設(shè)，= ，則的數(shù)學(xué)期望E=_2/3_。4. 已知隨機(jī)變量，且，則二項(xiàng)分布的參數(shù) 的值分別為0.4。 5. 設(shè)為總體的樣本，問n至少為 49 時(shí)，才能保障總體均值 的水平為 的置信區(qū)間的長度。6隨機(jī)擲100次硬幣，設(shè)為出現(xiàn)的正面數(shù)，為出現(xiàn)的反面數(shù)，則相關(guān)系數(shù)-1 .三、設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，證明事件相互獨(dú)立。證法一：由題設(shè)及條件概率定義得，又，由以上二式可得P(AB)=P(A)P(B)，故A與B相互獨(dú)立。證法二：由全概率公式得P（A）P（B）P（AB）P（）P（A）P（

31、B）P ()P（AB）（由題設(shè)）P（AB），則P（AB）P（B）P（AB）P（A）P（B），故A與B相互獨(dú)立。四、設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 2，5 上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行3 次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于3的概率。解：設(shè)Y是3 次獨(dú)立觀察中觀察值大于3的次數(shù)，則 YB( 3 , p ) ,其中p是X 大于3的概率,由于X在區(qū)間 2，5 上服從均勻分布，故 p=,于是 。五、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 。（1）求常數(shù)；（2）求邊緣密度和，并且問與是否相互獨(dú)立？ 解：（1）因?yàn)?，所以 ，即有 。（2） ， 。因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立。六、設(shè)總體的概率分布為 其中是未知參數(shù)，利用總體的

32、如下樣本觀測(cè)值：1、0、1、2、1, 求的矩法估計(jì)值和極大似然估計(jì)值. 解： （1）解方程，得的矩法估計(jì)值 （2）似然函數(shù)，解方程得的極大似然估計(jì)值 華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試卷21、 選擇題1對(duì)于任意兩事件和，則下列結(jié)論正確的是（ C ）A； B；C； D。2已知，則事件、全不發(fā)生的概率為（ ）。（A）; （B）; （C）; （D）.3. 同時(shí)擲4顆均勻骰子，則至少有一骰子出現(xiàn)6的概率為（ C ）。（A）； （B）； （C）； （D）4已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為 1 2 3 0.3 0.6 0.1用切比雪夫不等式估計(jì) （ D ） 。A0.16 B0.20 C0.

33、80 D0.84 5. 設(shè)隨機(jī)變量密度函數(shù)為，則的密度函數(shù)為（ A ）。A、 B、 C、 D、6.從含有未知參數(shù)的總體中隨機(jī)抽取樣本，則下列（C ）不是統(tǒng)計(jì)量。A. B. C. D.7、設(shè)總體，是的樣本，是樣本均值，則(D)是總體方差的無偏估計(jì). （A） （B）（C） （D）2、 填空題1已知事件與互不相容，這時(shí) 3/8.2. 若隨機(jī)變量,則方程有實(shí)根的概率為 。3 設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都等于，又，則3 4. 設(shè)總體 的概率分布為 -1 0 1 t 0.2 0.3則=_0.76_。5. 設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量，滿足則 3/7 .6.為X的樣本，記，則 7. 隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，則E(-2+3)=1

34、1.三、甲、乙兩廠生產(chǎn)的電池放在一起，已知其中有75 是甲廠生產(chǎn)的，有25%是乙廠生產(chǎn)的，甲廠電池的次品率是0.02 ，乙廠電池的次品率是0.04 ?，F(xiàn)從這批電池中任意取一個(gè)，（1）求它是次品的概率；（2）現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)任意取出的一個(gè)電池是次品，求它是乙廠生產(chǎn)的概率. 解：設(shè)事件 取到次品，取到甲廠產(chǎn)品，取到乙廠產(chǎn)品， （1）（2）四、已知的分布函數(shù)為 試求：（1）的值；（2）概率密度；（3）。解：（1）由即 （2）概率密度 （3） 五、有10000個(gè)相同年齡段的人參加某保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)，年保險(xiǎn)費(fèi)為每人10元，死亡時(shí)，死者家屬可從保險(xiǎn)公司獲得4000元保險(xiǎn)金。根據(jù)歷史資料在一年內(nèi)這類人群的死亡率為

35、千分之一，試用中心極限定理近似計(jì)算：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率，（2）保險(xiǎn)公司一年內(nèi)至少獲利40000元的概率。（ ）解：用表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則顯然，其中，。由二項(xiàng)分布中心極限定理， 。（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率 。（2）保險(xiǎn)公司一年內(nèi)獲利不少于40000元的概率為： 。六、某廠生產(chǎn)的一種鋼索，其斷裂強(qiáng)度現(xiàn)抽查9件樣品，測(cè)得平均斷裂強(qiáng)度, 能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為。（， ）解：原假設(shè)接受域 （1.96，1.96） .能據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為。華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試卷31、 選擇題1. 已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的為（ B ）。（A）； （B）； （C）； （

36、D）2. 每次試驗(yàn)的成功概率為，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第10次試驗(yàn)才取到4次成功的概率為（C）。（A）；（B）；（C）；（D）.3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則數(shù)學(xué)期望為（D）。（A）1; （B）; （C）; （D）2.4、設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率（ D ）。A、隨的增加而增大 B、隨的增加而減小 C、隨的增加而增大 D、等于一個(gè)常數(shù)。5、設(shè)隨機(jī)變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論成立（B ） （A） 與獨(dú)立 （B） （C） （D）6. 設(shè)隨機(jī)變量X ，Y相互獨(dú)立，服從相同的兩點(diǎn)分布：，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ C ）：（A）X=Y ； （B）P(X=Y) = 0 ； （C）P(X=Y) = ；

37、（D）P(X=Y) = 1 。7.設(shè)總體，是取自總體的一個(gè)樣本，則有（D ）A. B. C. D. 2、 填空題1. 設(shè) 0.25 。2已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為 -2 -1 0 1 2 t 2t 1/10 1/10 t則t=_0.2_。3.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則X的數(shù)學(xué)期望為 1 X的方差為 .4 設(shè)獨(dú)立，且其概率密度分別為，則 1 1/4 , 2 , 0 。5. 設(shè)為總體的樣本,若服從于則常數(shù)= 1/5 ,= 1/25 。6. 已知的概率密度，其中是未知參數(shù),的樣本是,這時(shí)：1)的矩估計(jì)為, 2）的極大似然估計(jì)為.7. 若隨機(jī)變量滿足，則與的相關(guān)系數(shù)等于-1。三、某選

38、擇題有4個(gè)選項(xiàng)，已知考生知道正確解法的概率為，此時(shí)該考生因粗心犯錯(cuò)的概率為；如果該考生不知道正確解法時(shí)只能隨機(jī)亂猜。1）求該考生答對(duì)選擇題的概率；2）已知該考生答對(duì)了，求該考生確實(shí)知道正確答案的概率？解：設(shè)表示“知道正確解法”，“答對(duì)選擇題”。據(jù)題意：， （1）（2） . 四、設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，求隨機(jī)變量的密度函數(shù)。 （10分）解：因，即，的取值范圍是（0，） 故：五、設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，其概率密度分別為=，=，求的概率密度函數(shù)。 解法一：套用線性函數(shù)的密度公式=，為積分先畫圖。由圖可知需按的不同值分別討論：= 。解法二：（用二重積分先求分布再求密度方法）：利用公式

39、因?yàn)?， 獨(dú)立，故當(dāng)（相應(yīng)于圖中直線(1)）時(shí)，；當(dāng)（相應(yīng)于圖中直線(2)）時(shí)，= 。當(dāng)（相應(yīng)于直線(3)）時(shí)=求導(dǎo)后可得密度函數(shù)。=.六、設(shè)總體的概率分布為，其中為未知參數(shù)，是取自總體的簡單隨機(jī)樣本的觀察值，求參數(shù)的矩估計(jì)量以及的極大似然估計(jì)量。 解：；令 ，的矩估計(jì)量。似然函數(shù)：,，。令 ，解得的最大似然估計(jì)量 ，這里。華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試卷41、 選擇題1、設(shè)A和B是兩個(gè)互斥事件，則下列結(jié)論正確的（ D ） （A）； （B）與不相容；（C）； （D）2. 設(shè)獨(dú)立，且，則（A ）。（A） 0.4; （B）0.3; （C）0.2 ; （D）0.3. 設(shè)是的分布

40、函數(shù)，是的概率密度，且，則對(duì)任何常數(shù)，必有（ D ） 。 A B C D4若對(duì)任意的隨機(jī)變量，存在，則等于（ C ） 。A0 B C D 5.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為與，則 的分布函數(shù)等于（ B ）（A） （B） （C） （D）6設(shè)總體為的樣本，下面四個(gè)無偏估計(jì)中( )最有效. 7、設(shè)總體，樣本均值為，要使得總體均值的水平為0.95的置信區(qū)間為，樣本容量必須等(C).（A）7； （B）8； （C）9； （D）16.2、 填空題1若某人射擊的命中率為0.2，則他命中目標(biāo)時(shí)已經(jīng)射擊的次數(shù)為的概率，。2. 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 -1 0 a P 0.4 0.4 b且E=0.2，

41、則a= 3 , b= 0.2 。3已知隨機(jī)變量，則的分布密度函數(shù)為 。4. 已知，則與的協(xié)方差 0.5 。5. 已知隨機(jī)變量,滿足用切比雪夫不等式估計(jì) 1/12 。 6.設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則服從分布（須寫出自由度）.7. 從服從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取100個(gè)樣本，測(cè)得樣本均值為5，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為（4.804, 5.196）.三、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： ， 又已知。試求：（1）常數(shù)的值,;（2）期望 。解:（1）由密度規(guī)范性，以及期望、概率的密度計(jì)算公式，分別有：于是，得到如下的線性方程組：（2）由隨機(jī)變量函數(shù)期望公式： 四、設(shè)的聯(lián)合概率分布表為

42、 -1 0 101 x y 如果已知，求：（1）；（2）;(3) 獨(dú)立嗎？解 （1）的邊緣概率分布為0x+5/24y+1/2 的邊緣概率分布為1 1（2）05/2419/24.(3)由,一切均成立。故與相互獨(dú)立。五、某一工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重為50 kg, 標(biāo)準(zhǔn)差為4 kg, 若用最大載重量5噸的汽車承運(yùn)，試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.9772。解：設(shè)每箱的重量，則由題意知，即，得。六、設(shè)總體，其中均未知，通過對(duì)總體的9次觀察算得樣本均值為1960，樣本方差為，問在顯著性水平情況下，能否認(rèn)為的值等于2000？ 解： 令

43、 故接受域?yàn)?；拒絕域?yàn)?因故不拒絕華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試卷51、 選擇題1、設(shè)隨機(jī)事件與滿足，則（D）不成立。（A） （B）與互不相容 （C） （D）2. 假設(shè)事件與滿足，則下列結(jié)論中正確的是（B）。（A）是必然事件；（B）；（C）；（D）.3. 已知，則（A）。（A）1/4; （B）1/3; （C）1/2 ; （D）1/12. 4. 在下列函數(shù)中，可以作為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是（A ） A. BC D 5已知二維隨機(jī)變量的邊緣分布都是正態(tài)分布，則結(jié)論（A）不正確.A一定服從二維正態(tài)分布； B；C可能服從二維正態(tài)分布； D 以上結(jié)論不都正確。6、已知，則與的

44、協(xié)方差 （ D ）。（A）0.2; （B）0.3; （C）0.4; （D）0.5 7.樣本取自總體，已知，則可作為的無偏估計(jì)的是（A）。（A）當(dāng)已知時(shí)，; （B）當(dāng)已知時(shí)，;（C）當(dāng)未知時(shí)，; （D）當(dāng)未知時(shí)，.2、 填空題1、 設(shè), 則當(dāng)與互斥時(shí)，_0.2_,當(dāng)與獨(dú)立時(shí)，_1/3_。2. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： 且 ，則： 的值分別等于： 1 和 2 。3. 設(shè)某班的考試成績，已知，則 76.832 。4連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則 2.4 。5.設(shè) 則的相關(guān)系數(shù) .6將一枚硬幣重復(fù)投擲n次,設(shè)，分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則與的相關(guān)系數(shù)為_-1_. 7、設(shè)來自正態(tài)總體的容量為10

45、的簡單隨機(jī)樣本的樣本方差為11，則的方差的置信度為0.95的置信區(qū)間為（5.204, 36.667）.三、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求: (1)A;(2);(3).解: (1)由連續(xù)性得A=1;(2);(3),四、已知兩維隨機(jī)變量的概率分布為 0 101/81/81a5/8求： （1）. 常數(shù)a；（2）. ,的邊緣概率分布；（3）. 期望和，方差和;（4）. ,的相關(guān)系數(shù) ；（5）. 問,是否相互獨(dú)立？為什么？解：（1）由 ; （2） 0 1P1/43/4 0 1 P1/43/4（3）=3/4，=3/4，=3/16，=3/16; （4）; （5）。五、設(shè)是來自總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，的概率密度函數(shù)為，其中，求參數(shù)的極大似然估計(jì)與