差分方程方法

1、在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的數(shù)學模型也是離散的，譬如，像政治、經(jīng)濟和社會等領(lǐng)域中的實際問題。有些時候，即使所建立的數(shù)學模型是連續(xù)形式，例如像常見的微分方程模型、積分方程模型等等，但是，往往都需要用計算機求數(shù)值解。這就需要將連續(xù)變量在一定條件下進行離散化，從而將連續(xù)型模型轉(zhuǎn)化為離散型模型，因此，最后都歸結(jié)為求解離散形式的差分方程解的問題。關(guān)于差分方程理論和求解方法在數(shù)學建模和解決實際問題的過程中起著重要作用。 下面就不同類型的差分方程進行討論。所謂的差分方程是指：對于一個數(shù)列，把數(shù)列中的前項關(guān)聯(lián)起來所得到的方程。41常系數(shù)線性差分方程 常系數(shù)線性齊次差分方程 常系數(shù)線性

2、齊次差分方程的一般形式為(4.1) 其中為差分方程的階數(shù)，為差分方程的系數(shù)，且。對應(yīng)的代數(shù)方程 （4.2）稱為差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根稱為特征根。 常系數(shù)線性齊次差分方程的解主要是由相應(yīng)的特征根的不同情況有不同的形式。下面分別就特征根為單根、重根和復(fù)根的情況給出差分方程解的形式。 1. 特征根為單根設(shè)差分方程（4.1）有個單特征根 ，則差分方程（4.1）的通解為，其中為任意常數(shù)，且當給定初始條件 (4.3)時，可以唯一確定一個特解。2. 特征根為重根設(shè)差分方程（4.1）有個相異的特征根重數(shù)分別為且 則差分方程（4.1）的通解為同樣的，由給定的初始條件（4.3）可以唯一確定

3、一個特解。3. 特征根為復(fù)根設(shè)差分方程（4.1）的特征根為一對共軛復(fù)根和相異的個單根,則差分方程的通解為,其中, .同樣由給定的初始條件（4.3）可以惟一確定一個特解。 另外，對于有多個共軛復(fù)根和相異實根，或共軛復(fù)根和重根的情況，都可以類似地給出差分方程解的形式。412 常系數(shù)線性非齊次差分方程 常系數(shù)線性非齊次差分方程的一般形式為 (4.4)其中為差分方程的階數(shù)，為差分方程的系數(shù)，,為已知函數(shù)。在差分方程（4.4）中，令,所得方程 (4.5)稱為非齊次差分方程（4.4）對應(yīng)的齊次差分方程，即與差分方程（4.1）的形式相同。求解非齊次差分方程通解的一般方法為首先求對應(yīng)的齊次差分方程（4.5）的

4、通解 ，然后求非齊次差分方程（4.4）的一個特解，則為非齊次差分方程（4.4）的特解。關(guān)于求的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。對于求非齊次方程（4.4）的特解的方法，可以用觀察法確定，也可以根據(jù)的特性用待定系數(shù)法確定，具體方法可參照常系數(shù)線性非齊次微分方程求特解的方法。4.2 差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一般來說，差分方程的求解是困難，實際中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡點及其穩(wěn)定性即可。 一階線性常系數(shù)差分方程一階線性常系數(shù)差分方程的一般形式為其中為常數(shù)，它的平衡點由代數(shù)方程求解得到，不妨記為. 如果，則稱平衡點是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。為了便于研究平衡點的穩(wěn)定性問

5、題，一般將其轉(zhuǎn)化為求方程的平衡點的穩(wěn)定性問題。事實上，由可以解得，于是是穩(wěn)定的平衡點的充要條件是：.一階線性常系數(shù)差分方程組 一階線性常系數(shù)齊次差分方程組的一般形式為其中為n維向量，為階常數(shù)矩陣。它的平衡點是穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征根都有 (i=1,2,n).對于一階線性常系數(shù)非齊次差分方程組， 的情況同樣給出 二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)齊次差分方程的一般形式為其中為常數(shù)，其平衡點是穩(wěn)定的充要條件是特征方程，的根滿足，。對于一般的的平衡點的穩(wěn)定性問題同樣給出。類似地，也可直接推廣到n階線性差分方程的情況。 一階非線性差分方程一階非線性方程的一般形式為， ，其中為已知函數(shù)，其平衡點

6、定義為方程的解。 事實上，將在處作一階的泰勒展開有，則也是一階線性方程的平衡點，故此，平穩(wěn)衡點穩(wěn)定的充要條件是|。連續(xù)模型的差分方法微分的差分方程已知在點處的函數(shù)值，且，試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，用差商代替微商，則有下面的差分公式。向前差：向后差：中心差：定積分的差分方法已知函數(shù)在點處的函數(shù)值，且在上可積，試求函數(shù)在上的積分值。根據(jù)定積分的定義，則有一般的求積公式其中為求積系數(shù)，它與的選取方法有關(guān)。取不同的求積系數(shù)，可以得不同的求積公式。對于等距節(jié)點，其中步長為很小的數(shù)，則有如下的求積公式。（1）復(fù)化矩陣公式；。（2）復(fù)化梯形矩陣；（3）復(fù)化辛普森(Simpson)矩陣公式；其中為子區(qū)

7、間的中點。（4）復(fù)化柯特斯(Cotes)公式；其中為子空間中的四等分點。常微分方程的差分方法1. 一階常微分方程的差分方法設(shè)一階常微分方程的定解問題為其中函數(shù)關(guān)于 y 滿足李普希茲條件，即保證問題解的存在唯一性?，F(xiàn)在的問題是求方程在一系列節(jié)點處的近似數(shù)值解不妨假設(shè)步長為 為常數(shù)。在此，我們根據(jù)微分的差分方法，即用差商來近似代替微商，再利用“步進式”方法，可以給出求解問題(4-6)的差分方法。（1）單步歐拉(Euler)公式用差商近似代替中的導(dǎo)數(shù)，則可以得差分公式 其精度為階的。（2）兩步歐拉公式用差商 近似代替中的導(dǎo)數(shù)，則可得差分公式 兩步法需要用到前兩步的方信息，一般不能自行起步，需先用單步

8、方法求出，其精度是階的。（3）梯形公式對于方程的兩邊在上求積分得利用積分的差分方法中梯形公式求解積分則離散化即可得到微分方程的梯形差分公式這是一個隱式格式，計算量大，一般不單獨使用。其鏡的也是階的。（4) 改進的歐拉公式由于單步歐拉公式色精度低，但計算量??；矩形公式精度高，但是計算量大，為此，我們綜合運用這兩種方法舅老爺?shù)玫礁倪M的歐拉公式，其精度為階的。預(yù)報：校正：或?qū)懗善骄问?；?）龍格庫塔法龍格庫塔方法的基本思想：對于微分方程的定解問題（4.6），考慮差商，根據(jù)阿格朗日微分中值定理可得， ，記，稱為 上的平均變化率，則 ?，F(xiàn)在的問題只要找到尋找一種好的計算的近似方法。如果取，則就是歐拉

9、公式。如果取，則相應(yīng)的就是改進的歐拉公式?，F(xiàn)在，我們?nèi)€點，用在這個點的函數(shù)值的加權(quán)平均作為的近似值，即其中為權(quán)系數(shù)。則有 （4.7）其中 ，為待定系數(shù)。實際上，適當選擇，使得公式有更高的精度，這是龍格-庫塔方法的思想。二階龍格-庫塔公式：在內(nèi)取中點，則可取，代人（4.7）式得到二階龍格-庫塔公式，其精度為階。三階龍格-庫塔公式：在內(nèi)任取二點，類似的方法可得到三階的龍格-庫塔公式其精度是階的常用的是三階的情況。四階龍格-庫塔公式：類似的方法可以得到四階龍格-庫塔公式，其精度是階的2. 一階常微方程組的差分方法將前面的單個方程中的變量和函數(shù)視為向量，相應(yīng)的差分方法即可用于由多個方程組的一階方程組

10、的情形。對于二個方程的方程組 (4.8)設(shè)以 表示函數(shù)在節(jié)點 上的近似解，則有改進的歐拉公式：預(yù)報:校正:四階龍格-庫塔公式其中其他的公式也都可以類似得到，即相當于同時求解多個一階方程，從方法上沒有本質(zhì)的差別。 3. 高階常微分方程的差分方法對于某些高階方法的定解問題，原則上可以轉(zhuǎn)化為一階方程組來求解。譬如，對于如下的二階微分方程的定解問題若令，則可以化為一階方程組的定解問題 (4.9) 實際上,(4.9)式可以視為(4.8)式的特例，類似地可以得到相應(yīng)的求解差分公式。最優(yōu)捕魚問題問題的提出假設(shè)鯷魚可分為4個年齡組：稱1、2、3、4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17

11、.86，22.99（）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)卵孵化期為每年的最后4個月，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109*（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡和1齡魚不產(chǎn)卵。卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為。漁業(yè)部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力固定不變，即固定努力量捕撈，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)稱為捕撈強度系數(shù)。通常使用網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3、4齡魚，其兩個捕撈系數(shù)之比為0.42：1.要解決的問題是：建立數(shù)學模型，分析如何實現(xiàn)可持續(xù)性捕撈（

12、即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（總質(zhì)量）。模型的假設(shè)與符號說明1. 模型的假設(shè)（1）只考慮魚的繁殖和捕撈的變化，不考慮魚群遷入與遷出；（2）各齡魚在一年的任何時間都會發(fā)生自然死亡；（3）所有魚都在每年最后四個月內(nèi)（后1/3年）完成產(chǎn)卵孵化的過程，成活的幼魚在下一年初成為1齡魚；（4）產(chǎn)卵發(fā)生于后四個月之初，產(chǎn)卵魚的自然死亡發(fā)生與產(chǎn)卵之后；（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間變化是連續(xù)的，即第年底齡魚的條數(shù)等于第 年初齡魚的條數(shù)；（6）4齡以上的魚全部死亡；（7）采用固定努力量捕撈意味著捕撈的速率正比于捕撈時各齡魚群的條數(shù)，比例系數(shù)為捕撈強度系

13、數(shù)。2. 符號的說明用表示時刻（年）齡魚的條數(shù)； 表示魚的平均自然死亡率，即；表示齡魚的產(chǎn)卵數(shù)，即，；表示齡魚群的捕撈強度系數(shù)，即；表示齡魚群的捕撈強度系數(shù)，即，為捕撈努力量；表示產(chǎn)卵開始的月份；表示齡魚的捕撈量；表示齡魚的捕撈率，即。模型的建立與求解1. 無捕撈時魚群的自然增長模型由假設(shè)（1）和（2）得，；，。又由假設(shè)（3）和（4）得，由假設(shè)（5）和（6）得， 2。固定努力量捕撈魚群的增長和捕撈模型由假設(shè)知，捕撈期為，則有,， (4.10)， (4.11)， (4.12)(4.13)則有,(1) 魚群的增長規(guī)律求解方程（4.10）和（4.11），并利用連續(xù)條件（4.12）式可得, , (4.

14、15), (4.16), (4.17)其中,。(2) 捕撈量單位時間第 齡魚的捕撈量（條數(shù)）為，第年全年（8個月）第齡魚的捕撈量（條數(shù)）為于是，第 年總捕撈量（質(zhì)量）為（3）可持續(xù)性捕撈模型可持續(xù)捕撈，即意味著由于自然死亡和捕撈使魚群減少，而通過產(chǎn)卵繁殖補充，使得魚群能夠在每年初開始捕撈時保持平衡不變，這樣的捕撈策略就可以年復(fù)一年地一直持續(xù)下去。因此，可持續(xù)捕撈的魚群數(shù)應(yīng)是（4.15）、（4.16）、（4.17）式的平衡解，即模型不依賴于時間的解。求解（4.15）、（4.16）、（4.17）得， ，即將（4.18）式代入（4.20）式得 代入（4.19）式有，求解可得，代入（4.18）式得到，

15、其中.當時,即意味著捕撈過度，致使魚群滅絕。當時, 稱之為過度捕撈力量，因此，可以在的范圍內(nèi)找最優(yōu)捕撈策略。在可持續(xù)性捕撈的條件下，第齡魚的年捕撈量（條數(shù)）為,。整個魚群的年捕撈量（重量）為即得到了年捕撈與努力量的關(guān)系，由計算機求解可得在可持續(xù)性捕撈的前提下有最大捕撈量為 ，最大年捕撈量為萬噸。各齡魚的數(shù)量為各齡魚的捕撈率為， ，即。 模型的結(jié)果分析（1）如果沒有假設(shè)（6），或改為4齡以上的魚仍算4齡魚，則（4.2）式改為 ，其討論相同，但要復(fù)雜一些；（2）假設(shè)（4）關(guān)于產(chǎn)卵時間的分布問題，題中未給出這方面的信息，完全是為了簡化，入股假設(shè)產(chǎn)卵是在后4個月內(nèi)均勻分布，則問題會復(fù)雜些，而且不大符合實際。4.5 參考案例與參考文獻1. 參考案例 （1）人口的預(yù)測與控制問題文獻【1】：290-295 （2）最優(yōu)捕魚問題文獻【3】：106-108 （3）人口增長問題文獻【4】：28-36 （4）動物種群的管理問題文獻【4】：36-402. 參考文獻 【1】 姜啟源.數(shù)學模型.第二版.北京：高等教育出版社，1993 【2】 葉其孝.大學生數(shù)學建模競賽輔導(dǎo)教材（二）.長沙：湖南教育出版社