平行四邊形中位線專題培優(yōu)訓(xùn)練

1、一選擇題（共6小題）1（2011孝感）如圖，在ABC中，BD、CE是ABC的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是BO、CO的中點(diǎn)，連接AO若AO=6cm，BC=8cm，則四邊形DEFG的周長是（）A14cmB18cmC24cmD28cm2（2011黔西南州）如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P，作EFBC，HGAB，若四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積分另為S1和S2，則S1與S2的大小關(guān)系為（）AS1=S2BS1S2CS1S2D不能確定3已知四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD，周長為40cm，兩鄰邊的比是3：2，則較大邊的長度是（）A8cmB10cmC12cmD14

2、cm4下列說法中錯誤的是（）A平行四邊形的對角線互相平分B有兩對鄰角互補(bǔ)的四邊形為平行四邊形C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形5如圖，ABC中，ABC=BAC，D是AB的中點(diǎn)，ECAB，DEBC，AC與DE交于點(diǎn)O下列結(jié)論中，不一定成立的是（）AAC=DEBAB=ACCAD=ECDOA=OE6如圖ABFD，GEAC，EFDG，GFBC，點(diǎn)O為DF與GE的交點(diǎn)，圖中共有平行四邊形（）A3個B4個C5個D6個二填空題（共6小題）7如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD，A=60°，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF=1cm，那么對角

3、線BD=_cm8如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD=BC，PEF=18°，則PFE的度數(shù)是_度9如圖所示，ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在CD上的點(diǎn)F，若FDE的周長為8，F(xiàn)CB的周長為22，則FC的長為_10（2011黔西南州）如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正三角形A1B1C1，算出了正A1B1C1的面積，然后分別取A1B1C1三邊的中點(diǎn)A2B2C2，作出了第二個正三角形A2B2C2，算出第2個正A2B2C2的面積，用同樣的方法作出了第3個正A3B3C3，算出第3個正A3B3C3的面積，依此方

4、法作下去，由此可得第n次作出的正AnBnCn的面積是_11在梯形ABCD中，ABCD，M，N分別為上底CD，下底AB的中點(diǎn)，則MN_（AD+BC）（填“”“”“=”）12（2011黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，對角線ACBD，且AC=8，BD=4，各邊中點(diǎn)分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點(diǎn)A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為_三解答題（共16小題）13如圖所示D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于

5、P，Q求證：AP=AQ14如圖：AD是ABC的高，M、N、E分別是AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)（1）求證：ME=DN；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四邊形DEMN的面積15如圖，已知：四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，直線EF分別與BC、AD的延長線相交于G、H求證：AHF=BGF16（2011廈門）如圖，在四邊形ABCD中，BAC=ACD=90°，B=D（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BCCDDA運(yùn)動至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動開始經(jīng)過多少時間，BEP為等腰三角形？

6、17已知：如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊上的點(diǎn)，且DEAC，DFAB延長FD至點(diǎn)G，使DG=FD，連接AG求證：ED和AG互相平分18如圖1，已知在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為底邊BC上（端點(diǎn)B、C除外）的任意一點(diǎn)，且PEAC，PFAB（1）試問線段PE、PF、AB之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，將“點(diǎn)P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P為底邊BC延長線上任意一點(diǎn)”，其它條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？如果不成立，你能得出什么結(jié)論？請說明你的理由19如圖，ABC中，AD為中線，E為邊BC上一點(diǎn)，過E作EFAB交AC于F，交AD于M，EGAC交AB于G（1）如圖1，若E與D重合，寫出圖

7、中所有與FG相等的線段，并選取一條給出證明（2）如圖紙，若E與D不重合，在（1）中與FG相等的線段中找出一條仍然與FG相等的線段，并給出證明（3）如圖3，若E在BC的延長線上，其它條件不變，作出圖形（不寫作法），F(xiàn)G=_20在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEAC交AB于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F（1）如圖1，若點(diǎn)P在BC邊上，此時PD=0，猜想并寫出PD、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)，猜想并寫出PD、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在ABC外，猜想并寫出P

8、D、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系（不用說明理由）21平行四邊形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，B=45°，點(diǎn)P在邊BC上，由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為每秒2cm，點(diǎn)Q在邊AD上，由點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為每秒1cm，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為平行四邊形；（2）設(shè)四邊形ABPQ的面積為ycm2，請用含有t的代數(shù)式表示y的值；（3）當(dāng)P運(yùn)動至何處時，四邊形ABPQ的面積是ABCD面積的四分之三？22如圖a、b在平行四邊形ABCD中，BAD，ABC的平分線AF，BG分別與線段CD兩側(cè)的延長線（或線段CD）相交于點(diǎn)F，G，AF與BG相交于點(diǎn)E（1）在

9、圖a中，求證：AFBG，DF=CG；（2）在圖b中，仍有（1）中的AFBG，DF=CG成立請解答下面問題：若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長；是否能給平行四邊形ABCD的邊和角各添加一個條件，使得點(diǎn)E恰好落在CD邊上且ABE為等腰三角形？若能，請寫出所給條件；若不能，請說明理由23如圖（1），BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AFBD，AGCE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交于M、N（1）試說明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如圖（2），BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線；如圖（3），BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線則

10、在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由24小杰遇到這樣一個問題：如圖1，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F，連接EF，AEF的三條高線交于點(diǎn)H，如果AC=4，EF=3，求AH的長小杰是這樣思考的：要想解決這個問題，應(yīng)想辦法將題目中的已知線段與所求線段盡可能集中到同一個三角形中他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)可以通過將AEH平移至GCF的位置（如圖2），可以解決這個問題請你參考小杰同學(xué)的思路回答：（1）圖2中AH的長等于_（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的長等于_25已知在ABCD中，AEBC于E

11、，DF平分ADC 交線段AE于F（1）如圖1，若AE=AD，ADC=60°，請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足等量關(guān)系；（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對你的結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論26（2011北京）在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出BDG的度數(shù)；（3）若ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=C

12、E，分別連接DB、DG（如圖3），求BDG的度數(shù)27（2011北京）如圖，在ABC中，ACB=90°，D是BC的中點(diǎn)，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，求四邊形ACEB的周長28已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動，到D點(diǎn)即停止點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動，到B點(diǎn)即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形問當(dāng)P，Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？參考答案與試題解析一選擇題（共6小題）1（2011孝感）如圖，在ABC中，BD、CE是ABC的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是BO、CO的中

13、點(diǎn)，連接AO若AO=6cm，BC=8cm，則四邊形DEFG的周長是（）A14cmB18cmC24cmD28cm考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；三角形中位線定理專題：計(jì)算題分析：主要考查平行四邊形的判定以及三角形中位線的運(yùn)用，由中位線定理，可得EFAO，F(xiàn)GBC，且都等于邊長BC的一半分析到此，此題便可解答解答：解：BD，CE是ABC的中線，EDBC且ED=BC，F(xiàn)是BO的中點(diǎn)，G是CO的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC且FG=BC，ED=FG=BC=4cm，同理GD=EF=AO=3cm，四邊形EFDG的周長為3+4+3+4=14（cm）故選A點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角

14、形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)2（2011黔西南州）如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P，作EFBC，HGAB，若四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積分另為S1和S2，則S1與S2的大小關(guān)系為（）AS1=S2BS1S2CS1S2D不能確定考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形GBEP、HPFD，證ABDCDB，得出ABD和CDB的面積相等；同理得出BEP和PGB的面積相等，HPD和FDP的面積相等，相減即可求出答案解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形，EFBC，HGAB，AD=BC，AB=CD，AB

15、GHCD，ADEFBC，四邊形GBEP、HPFD是平行四邊形，在ABD和CDB中，ABDCDB，即ABD和CDB的面積相等；同理BEP和PGB的面積相等，HPD和FDP的面積相等，四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積相等，即S1=S2故選A點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出ABD和CDB的面積相等，BEP和PGB的面積相等，HPD和FDP的面積相等，注意：如果兩三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等3已知四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD，周長為40cm，兩鄰邊的比是3：2，則較大邊的長度是（）A8cmB10cmC12cmD14cm考點(diǎn)

16、：平行四邊形的判定與性質(zhì)；解一元一次方程專題：計(jì)算題分析：由ABCD，AB=CD得到平行四邊形ABCD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AD=BC，設(shè)平行四邊形ABCD的兩鄰邊是3x，2x，得到方程2（3x+2x）=40，解方程求出x，即可求出最大邊解答：解：ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，設(shè)平行四邊形ABCD的兩鄰邊是3x，2x，平行四邊形ABCD的周長是40，2（3x+2x）=40，解得：x=4，較大邊的長度是3×4=12故選C點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程4下列說法中錯誤的是（）A平行四邊形的對

17、角線互相平分B有兩對鄰角互補(bǔ)的四邊形為平行四邊形C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)專題：推理填空題分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)圖形和已知不能推出另一組對邊也平行，即可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可；根據(jù)平行線性質(zhì)和已知推出ADBC，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可解答：解：A、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出平行四邊形的對角線互相平分，故本選項(xiàng)錯誤；B、A+D=180°，同時B+C=180°，只能推出ABCD，不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；C、AC于BD交于O，OA=OC，

18、OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯誤；D、ABCD，B+C=180°，B=D，C+D=180°，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯誤；故選B點(diǎn)評：本題考查了對平行線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能理解性質(zhì)并應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行說理是解此題的關(guān)鍵，題目較好，但是一道比較容易出錯的題目5如圖，ABC中，ABC=BAC，D是AB的中點(diǎn)，ECAB，DEBC，AC與DE交于點(diǎn)O下列結(jié)論中，不一定成立的是（）AAC=DEBAB=ACCAD=ECDOA=OE考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：由已知可得四邊形BDEC是平行四邊形，則BD

19、=CE，B=E，又因?yàn)锳BC=BAC，D是AB的中點(diǎn)可證AODEOC，還可證明BC=AC，OA=OD，OE=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE解答：解：ECAB，DEBC，四邊形BDEC是平行四邊形，BD=CE，B=E，又ABC=BAC，CEO=DAO，又D是AB的中點(diǎn)，AD=BD，AD=CE，AODEOC，AD=CE，OA=OE，BC=DE，BC=AC，AC=DE而AB=AC無法證得故選B點(diǎn)評：此題綜合性比較強(qiáng)，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，還綜合利用了全等三角形的判定，等角對等邊6如圖ABFD，GEAC，EFDG，GFBC，點(diǎn)O為DF與GE的交點(diǎn)，圖中共有平行四邊形（）A3個B4個C

20、5個D6個考點(diǎn)：平行四邊形的判定分析：此題意在考查平行四邊形的判定，根據(jù)題中給出的條件，依據(jù)兩條對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，則不難求解解答：解：因?yàn)锳BFD，GEAC，EFDG，GFBC，所以GFBD，GFEC，EFDG，AGOF均為平行四邊形，所以，共有四個平行四邊形故選B點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵二填空題（共6小題）7如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD，A=60°，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF=1cm，那么對角線BD=cm考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：過D作DMA

21、B于M，得出平行四邊形AEFD，求出AD=EF=1cm，求出ADM，求出AM，DM，求出AB，求出BM，根據(jù)勾股定理求出BD即可解答：解：過D作DMAB于M，則DMA=90°，A=60°，ADM=30°，AD=2AM，四邊形ABCD是平行四邊形，DC=AB，DCAB，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，DF=AE，DFAE，四邊形AEFD是平行四邊形，AD=EF=1cm，AM=cm，AB=2AD，AB=2cm，BM=2cmcm=cm，在RtADM中，由勾股定理得：DM=cm，在RtBDM中，由勾股定理得：BD=（cm），故答案為：點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾

22、股定理，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較好，但是有一定的難度8如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD=BC，PEF=18°，則PFE的度數(shù)是18度考點(diǎn)：三角形中位線定理分析：根據(jù)中位線定理和已知，易證明EPF是等腰三角形解答：解：在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)P，PE分別是CDB與DAB的中位線，PF=BC，PE=AD，AD=BC，PF=PE，故EPF是等腰三角形PEF=18°，PEF=PFE=18°故答案為18點(diǎn)評：本題考查了三角形中位線定理及等

23、腰三角形的性質(zhì)，解題時要善于根據(jù)已知信息，確定應(yīng)用的知識9如圖所示，ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在CD上的點(diǎn)F，若FDE的周長為8，F(xiàn)CB的周長為22，則FC的長為7考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）分析：由平行四邊形可得對邊相等，由折疊，可得AE=EF，AB=BF，結(jié)合兩個三角形的周長，通過列方程可求得FC的長，本題可解解答：解：設(shè)DF=x，F(xiàn)C=y，ABCD，AD=BC，CD=AB，BE為折痕，AE=EF，AB=BF，F(xiàn)DE的周長為8，F(xiàn)CB的周長為22，BC=AD=8x，AB=CD=x+y，y+x+y+8x=22，解得y=7故答案為7點(diǎn)評：本題考查了平行

24、四邊形的性質(zhì)及圖形的翻折問題；解決翻折問題的關(guān)鍵是找著相等的邊，利用等量關(guān)系列出方程求得答案10（2011黔西南州）如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正三角形A1B1C1，算出了正A1B1C1的面積，然后分別取A1B1C1三邊的中點(diǎn)A2B2C2，作出了第二個正三角形A2B2C2，算出第2個正A2B2C2的面積，用同樣的方法作出了第3個正A3B3C3，算出第3個正A3B3C3的面積，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正AnBnCn的面積是考點(diǎn)：三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：計(jì)算題；規(guī)律型分析：過A1作A1DB1C1于D，求出高A1D，求出A1B1C1的面積，根據(jù)

25、三角形的中位線求出B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，推出A2B2C2A1B1C1，得出=同理A3B3C3A2B2C2，推出=得出規(guī)律=，代入求出即可解答：解：過A1作A1DB1C1于D，等邊三角形A1B1C1，B1D=，由勾股定理得：A1D=，A1B1C1的面積是×1×=，C2、B2、A2分別是A1B1、A1C1、B1C1的中點(diǎn)，B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，即=，A2B2C2A1B1C1，且面積比是1：4，=同理A3B3C3A2B2C2，且面積比是1：4，=×=故答案為：點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性

26、質(zhì)，等邊三角形，三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)求出結(jié)果得出規(guī)律=，題目比較典型，但有一定的難度11在梯形ABCD中，ABCD，M，N分別為上底CD，下底AB的中點(diǎn)，則MN（AD+BC）（填“”“”“=”）考點(diǎn)：三角形中位線定理；三角形三邊關(guān)系；梯形分析：由中點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)建中位線，利用三角形的兩邊之和大于第三邊即可得出結(jié)論解答：解：如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)，連接ME、NE，則可以知道ME、NE分別為中位線，ME=BC、NE=AD，ME+NE=（AD+BC），MNME+NE，MN（AD+BC）故答案為：點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)比較線段的長度可以通過構(gòu)造三角形，利用三角形的性質(zhì)求解1

27、2（2011黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，對角線ACBD，且AC=8，BD=4，各邊中點(diǎn)分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點(diǎn)A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為（或或，只要答案正確即可）考點(diǎn)：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)專題：規(guī)律型分析：根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據(jù)三角形的中位線定理，得A1B1AC，A1B1=AC，則BA1B1BAC，得BA1B1和BAC的面積比是相似比的平方，即 ，因此四邊形A

28、1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的 ，即a2；推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形AnBnCnDn的面積=解答：解：四邊形A1B1C1D1的四個頂點(diǎn)A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，A1B1AC，A1B1=ACBA1B1BACBA1B1和BAC的面積比是相似比的平方，即 又四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=4，ACBD，四邊形ABCD的面積是16推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形AnBnCnDn的面積=故答案為（或或，只要答案正確即可）點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質(zhì)注意：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半

29、三解答題（共16小題）13如圖所示D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q求證：AP=AQ考點(diǎn)：三角形中位線定理專題：證明題分析：根據(jù)中位線定理證明MH=NH，進(jìn)而證明HMN=HNM，HMN=PQA，所以APQ為等腰三角形，即AP=AQ解答：證明：找到BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH如圖：M，H為BE，BC的中點(diǎn)，MHEC，且MH=ECN，H為CD，BC的中點(diǎn)，NHBD，且NH=BDBD=CE，MH=NHHMN=HNM；MHEC，HMN=PQA，同理HNM=QPAAPQ為等腰三角形，AP=AQ點(diǎn)評：考查中位線定理在三角形中的應(yīng)用，考查平行

30、線對角相等，考查等腰三角形的判定14如圖：AD是ABC的高，M、N、E分別是AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)（1）求證：ME=DN；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四邊形DEMN的面積考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線分析：（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得到四邊形MNED是梯形又因?yàn)锳DBC，所以MN=BC即ME=DN，那么推出四邊形EMND為等腰梯形（2）利用四邊形MECN為平行四邊形，可以得到EC=MN=6，利用勾股定理可以求得DC=5，即可得到ED=65=1，然后利用梯形的面積計(jì)算梯形的面積即可解答：解：（1）證明：M、E、N分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于

31、斜邊的一半，得ND=AC，根據(jù)三角形中位線定理，得 NM=BCMNBC，EMAC，四邊形MECN為平行四邊形，EM=NC又DEEC，EDMN四邊形MEDN是梯形（3分）又ADBC，DG=ACEM=DN（2）AD=12，AC=13，CD=5，四邊形MECN為平行四邊形，EC=MN=6，ED=65=1，四邊形DEMN的面積=21點(diǎn)評：此題主要考查了學(xué)生對等腰梯形的判定及中位線的性質(zhì)的掌握情況15如圖，已知：四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，直線EF分別與BC、AD的延長線相交于G、H求證：AHF=BGF考點(diǎn)：三角形中位線定理；平移的性質(zhì)專題：常規(guī)題型分析：根據(jù)中位線定理證

32、明MFBC，且MF=BC，根據(jù)AD=BC證明EM=MF，MEF=MFE，根據(jù)平行線同位角相等，證明MEF=AHF，MFE=BGF可以求證AHF=BGF解答：證明：連接AC，作EMAD交AC于M，連接MF如下圖：E是CD的中點(diǎn)，且EMAD，EM=AD，M是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)MFBC，且MF=BCAD=BC，EM=MF，三角形MEF為等腰三角形，即MEF=MFEEMAH，MEF=AHFFMBG，MFE=BGFAHF=BGF點(diǎn)評：考查平行線對角相等，同位角相等，中位線平行且等于對應(yīng)邊，等腰三角形底角相等16（2011廈門）如圖，在四邊形ABCD中，BAC=ACD=90°，B=

33、D（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BCCDDA運(yùn)動至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動開始經(jīng)過多少時間，BEP為等腰三角形？考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)全等三角形判定證ABCCDA即可；（2）求出AC，當(dāng)P在BC上時，BP=EB=2，BP=PE，作PMAB于M，根據(jù)cosB求出BP，BE=PE=2cm，作ENBC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時，過P作PNBA于N，證QA

34、PABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可解答：（1）證明：在ABC和CDA中ABCCDA，AD=BC，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形（2）解：BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD間的最短距離是4cm，AB=3cm，AE=AB，AE=1cm，BE=2cm，設(shè)經(jīng)過ts時，BEP是等腰三角形，當(dāng)P在BC上時，BP=EB=2cm，t=2時，BEP是等腰三角形；BP=PE，作PMAB于M，BM=ME=BE=1cmcosAB

35、C=，BP=cm，t=時，BEP是等腰三角形；BE=PE=2cm，作ENBC于N，則BP=2BN，cosB=，=，BN=cm，BP=，t=時，BEP是等腰三角形；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，AB、CD間的最短距離是4cm，CAAB，CA=4cm，當(dāng)P在AD上時，只能BE=EP=2cm，過P作PQBA于Q，平行四邊形ABCD，ADBC，QAD=ABC，BAC=Q=90°，QAPABC，PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，x=，AP=5x=cm，t=5+5+3=，答：從運(yùn)動開始經(jīng)過2s或s或s或s

36、時，BEP為等腰三角形點(diǎn)評：本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵17已知：如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊上的點(diǎn)，且DEAC，DFAB延長FD至點(diǎn)G，使DG=FD，連接AG求證：ED和AG互相平分考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形AEDF，推出AE=DF=DG，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出G=EAO，AEO=GDO，根據(jù)ASA證AEOGDO即可解答：證明：DEAC，DFAB，四

37、邊形AEDF是平行四邊形，AE=DF，DG=FD，AE=DG，DFAB，G=EAG，GDE=AED，在AEO和GDO中，AEOGDO，OE=0D，OA=OG，即ED和AG互相平分點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是求出OA=OG，OE=OD，題目較好，難度不大，證明方法不止一個：也可證四邊形AEGD是平行四邊形18如圖1，已知在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為底邊BC上（端點(diǎn)B、C除外）的任意一點(diǎn)，且PEAC，PFAB（1）試問線段PE、PF、AB之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，將“點(diǎn)P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P為底

38、邊BC延長線上任意一點(diǎn)”，其它條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？如果不成立，你能得出什么結(jié)論？請說明你的理由考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題分析：（1）推出平行四邊形PEAF，推出PF=AE，EPB=C，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)推出PE=BE即可；（2）推出平行四邊形PEAF，推出PE=AF，F(xiàn)PB=FCP，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)推出PF=FC即可，解答：（1）結(jié)論是PE+PF=AB，理由是：PEAC，PFAB，四邊形PEAF是平行四邊形，PF=AE，EPB=C，AC=AB，B=C，EPB=B，PE=BE，BE+AE=AB，PE+PF=AB（2）結(jié)論是PEPF=AB，

39、理由是：PEAC，PFAB，四邊形PEAF是平行四邊形，PE=AF，F(xiàn)PC=ACB=FCP，PF=FC，PEPF=AC=AB，即PEPF=AB點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)和判定，證此題的關(guān)鍵是證PE=BE和PF=FC，兩小題證明過程類似，題型較好，難度適中19如圖，ABC中，AD為中線，E為邊BC上一點(diǎn)，過E作EFAB交AC于F，交AD于M，EGAC交AB于G（1）如圖1，若E與D重合，寫出圖中所有與FG相等的線段，并選取一條給出證明（2）如圖紙，若E與D不重合，在（1）中與FG相等的線段中找出一條仍然與FG相等的線段，并給出證明（3）如圖3，若E在BC的延長線上，

40、其它條件不變，作出圖形（不寫作法），F(xiàn)G=BM考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例專題：證明題分析：（1）BD=DC=FG，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出AF=CF，BG=AG，根據(jù)三角形的中位線求出即可；（2）延長AD至A，使DA=AD，連接CA，推出平行四邊形GEFA，得出FMAC，得出、比例式，求出BG=FM，BGFM，得出平行四邊形BGFM即可；（3）延長AD至A，使DA=AD，連接CA，推出平行四邊形GEFA，得出FMAC，得出、比例式，求出BG=FM，BGFM，得出平行四邊形BGFM即可解答：解：（1）BD=DC=FG，證明：EFAB，BD=DC

41、，AF=CF，同理BG=AG，F(xiàn)G=BC=BD=DC，即BD=FG（2）BM=FG，理由是：延長AD至A，使DA=AD，連接CA，則ABDACD，AC=AB，ACAB，F(xiàn)MAB，GEAC，四邊形GEFA為平行四邊形，F(xiàn)MAC，=，F(xiàn)M=BG，F(xiàn)MBG，BMFG是平行四邊形，BM=FG（3）BM=FG，理由是：延長AD至A，使DA=AD，連接CA，ABDACD，AC=AB，ACAB，F(xiàn)MAB，GEAC，四邊形GEFA為平行四邊形，F(xiàn)MAC，GE=AF，=，F(xiàn)M=BG，F(xiàn)MBG，BMFG是平行四邊形，BM=FG故答案為：BM點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線

42、分線段成比例定理等知識點(diǎn)，此題難度較大，對學(xué)生有較高要求，但出現(xiàn)了類比推理的思想20在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEAC交AB于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F（1）如圖1，若點(diǎn)P在BC邊上，此時PD=0，猜想并寫出PD、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)，猜想并寫出PD、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在ABC外，猜想并寫出PD、PE、PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系（不用說明理由）考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題分析：（1）證平行四邊形PEAF

43、，推出PE=AF，PF=AE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出B=C=EPB，推出PE=BE即可；（2）過點(diǎn)P作MNBC分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可；（3）過點(diǎn)P作MNBC分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可解答：解：（1）結(jié)論是PD+PE+PF=AB，證明：PEAC，PFAB，四邊形PEAF是平行四邊形，PF=AE，AB=AC，B=C，PEAC，EPB=C，B=EPB，PE=BE，AE+BE=AB，PE+PF=AB，PD=0，PD+PE+PF=AB（2）結(jié)論是PD+PE+PF=AB，證明：過點(diǎn)P作MNBC分別交AB、AC于

44、M、N兩點(diǎn)，由（1）得：PE+PF=AM，四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PD，PD+PE+PF=AM+MB=AB（3）結(jié)論是PE+PFPD=AB點(diǎn)評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好21平行四邊形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，B=45°，點(diǎn)P在邊BC上，由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為每秒2cm，點(diǎn)Q在邊AD上，由點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為每秒1cm，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為平行四邊形；（2）設(shè)四邊形ABPQ的面積為ycm2，請用含有

45、t的代數(shù)式表示y的值；（3）當(dāng)P運(yùn)動至何處時，四邊形ABPQ的面積是ABCD面積的四分之三？考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)專題：動點(diǎn)型分析：（1）因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AQBP，只要再證明AQ=BP即可，即點(diǎn)P所走的路程等于Q點(diǎn)在邊AD上未走的路程（2）因?yàn)樗倪呅蜛BPQ是梯形，梯形的面積公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表示出來，缺少高，過A點(diǎn)作BC邊上的高，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出高線即可（3）因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積可求，利用（2）中的關(guān)系式列方程即可解答：解：（1）由已知可得：BP=2t，DQ=t，AQ=12t四邊形ABPQ為

46、平行四邊形，12t=2t，t=4，t=4秒時，四邊形ABPQ為平行四邊形； （2）過A作AEBC于E，在RtABE中，AEB=90°，AB=2，B=45°AE=AB=SABPQ=（BP+AQ）×AE=（12+t），即y=（12+t）；（3）有（2）得SABCD=12，×12=（12+t），t=6，BP=2t=12=BC，當(dāng)P與C重合時，四邊形ABPQ的面積是ABCD面積的四分之三點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判斷方法：有一對對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，梯形的面積公式；等腰直角三角形的性質(zhì)；和用代數(shù)方法（列方程）解決幾何問題；動點(diǎn)問題，綜合性很強(qiáng)22

47、如圖a、b在平行四邊形ABCD中，BAD，ABC的平分線AF，BG分別與線段CD兩側(cè)的延長線（或線段CD）相交于點(diǎn)F，G，AF與BG相交于點(diǎn)E（1）在圖a中，求證：AFBG，DF=CG；（2）在圖b中，仍有（1）中的AFBG，DF=CG成立請解答下面問題：若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長；是否能給平行四邊形ABCD的邊和角各添加一個條件，使得點(diǎn)E恰好落在CD邊上且ABE為等腰三角形？若能，請寫出所給條件；若不能，請說明理由考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理分析：（1）由平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)可得相似三角形，得出各邊的長，

48、進(jìn)而再求解直角三角形即可；根據(jù)（1）、（2）的條件，滿足點(diǎn)E恰好落在CD邊上且ABE為等腰三角形即可解答：（1）證明：如圖：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，BAD+ABC=180°，又AF、BG是BAD與ABC的角平分線，BAE+ABE=90°，AFBGADBC，AMB=CBG，又BG是ABC的角平分線，ABG=CBG，AB=AM，又ABDC，ABM=G，又AMB=GMD，G=GMD，DM=DG，即GDM為等腰三角形，同理可得NCF為等腰三角形；DFCD=CGCD，即DF=CG（2）解：由已知可得，AF、BG仍是BAD與ABC的角平分線，且CF=GD，F(xiàn)D=AD=6，

49、CF=106=4=GD，F(xiàn)G=FDGD=64=2可得，RtEFGRtEAB，=，BG=4，GE=，BE=，則在直角三角形EFG中，根據(jù)勾股定理得：EF=，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得：AE=，勾股定理可得AF=EF+AE=8；AB=2AD，A=90°若使點(diǎn)E恰好落在CD邊上且ABE為等腰三角形，AF、BG是BAD與ABC的角平分線，只能使其角為直角，即A=90°，而由（1）、（2）可得，邊長則需滿足1：2的關(guān)系，即AB=2AD點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形及勾股定理和相似三角形的運(yùn)用，應(yīng)熟練掌握23如圖（1），BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點(diǎn)

50、A作AFBD，AGCE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交于M、N（1）試說明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如圖（2），BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線；如圖（3），BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線則在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由考點(diǎn)：三角形中位線定理；角平分線的定義；線段垂直平分線的性質(zhì)專題：綜合題分析：（1）由AFBD，ABF=MBF，得到BAF=BMF，進(jìn)一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案；（3）與（1）方法類同即可證出答案解答：解：（1）證明：AFBD，ABF=MBF，BAF=BMF，MB=AB，AF=MF， 同理可說明：CN=AC，AG=NG FG是AMN的中位線，F(xiàn)G=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC） （2）解：圖（2）中，F(xiàn)G=（AB+ACBC） 圖（3）中，F(xiàn)G=（AC+BCAB） 如圖（2），延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，F(xiàn)G=MN=（BM+CNBC）=（AB+ACBC），如圖（3）延長AF、AG，與直線BC