數(shù)理方程-分離變量法

1、v齊次發(fā)展（演化）問題的求解齊次發(fā)展（演化）問題的求解v齊次齊次穩(wěn)定場(chǎng)問題穩(wěn)定場(chǎng)問題的求解的求解v非齊次問題的求解非齊次問題的求解v多變量推廣多變量推廣v本章小結(jié)本章小結(jié)2.1 齊次發(fā)展方程的分離變量法齊次發(fā)展方程的分離變量法一一 分離變量法簡(jiǎn)介分離變量法簡(jiǎn)介研究?jī)啥斯潭ǖ睦硐胂业淖杂烧駝?dòng)，即定解問題研究?jī)啥斯潭ǖ睦硐胂业淖杂烧駝?dòng)，即定解問題 ( , )( ) ( )u x tX x T t設(shè)設(shè)代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得 20000 0,000( )( ), 0ttxxxx ltttua ux l tuuuxuxx l 20(0) ( )0( ) ( )0XTa

2、X TXT tX l T t方程、邊界方程、邊界條件均齊次條件均齊次用用 遍除遍除2a XT2TXa TX(0)( )0XX l2TXa TX 兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)記作數(shù)，把這個(gè)常數(shù)記作- 2TXa TX 這可以分離為關(guān)于這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，的常微分方程，且邊界條件也同樣進(jìn)行分離且邊界條件也同樣進(jìn)行分離 0(0)0( )0XXXX l20Ta T稱為固有值（本征值）問題稱為固有值（本征值）問題20,r 1212r xr xyC eC e 120,0rr 1

3、2()yCC x12(cossin)yCxCx特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步驟為：求方程的通解的步驟為： (1)寫出微分方程的寫出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。的通解。 0yy 21, rr二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程120,rr 實(shí)實(shí)根根120,rri 1 、在在0的情況的情況 方程的解是方程的解是 xCxCxXsincos)(21120sin0CCl只有只有 才能保證才能保證 ，方程有非零解，方程有非零解0sinl20C ( )sinn

4、nn xXxCl 此時(shí)此時(shí)再看關(guān)于再看關(guān)于T 的方程的方程 02222TlnaT于是于是 或或 nl 222nnl1,2,n 稱為稱為固有值固有值， 稱為稱為固有函數(shù)固有函數(shù)n( )nXx 這個(gè)方程的解這個(gè)方程的解 ( )cossinnnnn atn atT tABll 分離變量的形式解分離變量的形式解 ),(txun)sincos(latnBlatnAnnlxnsin(n=1,2,3,) ),( txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin由疊加原理，一般解為：由疊加原理，一般解為： 現(xiàn)在要求出疊加系數(shù)現(xiàn)在要求出疊加系數(shù) 和和 nAnB滿足初始條件滿足初始條件 0( )tu

5、x0( )ttux0 xl 方程左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù)方程左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這就提示我們把右邊這就提示我們把右邊的展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，然后比較傅里葉系數(shù)，得的展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，然后比較傅里葉系數(shù)，得02( )sinlnnAdll dlnanBlnsin)(201( ,0)sin( )nnnu xAxxl1( ,0)sin( )tnnn anu xBxxll，則可得原問題的解：，則可得原問題的解： 按上述公式計(jì)算出系數(shù)按上述公式計(jì)算出系數(shù) 和和nAnB),( txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin注：該解稱為古典解，在求解中我們假設(shè)無窮級(jí)數(shù)是收斂的。注：該解稱為古

6、典解，在求解中我們假設(shè)無窮級(jí)數(shù)是收斂的。 如上的方法稱為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)如上的方法稱為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)有效方法。下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。有效方法。下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。 2ttxxua u|xx luu0=000|( )( )tttuxux)()(xXtTu(0)() 0XX l2TXaTX20Ta T0XXcossinnnnn atn atTABll2( )sin,nnlnnlXx( )( )nnnuT t Xx( )( )nnuTt Xx),( txuu固有固有值值（特（特征值）征值）問題問題 分離變量常微分方程（關(guān)于X）+邊界條件故有(值

7、)函數(shù)常微分方程（關(guān)于T）+初始條件疊加系數(shù)本征值通解故有函數(shù)偏微分方程偏微分方程 【解解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件 2000,0,00,0( )txxxxx ltua uxl tuuux試探解試探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入方程和邊界條件得代入方程和邊界條件得 固有值問題固有值問題 0(0)0( )0XXXX l 【例題例題1】研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題,初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度, 另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為 ,試求無熱源時(shí)細(xì)桿上試求無熱源時(shí)細(xì)桿上溫

8、度的變化。溫度的變化。 ( )x和常微分方程和常微分方程20TaT分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下2txxua u|xxx luu0=00|( )tux)()(xXtTu(0)() 0XX l 2TXaTX20Ta T0XX22 22(21)4( )natlnnT tC e(2 1)22(2 1)2() ,1,2,sin,nnlnnlnXx( )( )nnnuT t Xx( )( )nnuTt Xx),( txuu固有固有值值（特（特征值）征值）問題問題經(jīng)討論知，僅經(jīng)討論知，僅 時(shí)有

9、非零解，且時(shí)有非零解，且02cos0Cl1() ,0,1,2,32lnn2222221()(21)24nnnll只有只有12( )cossinX xCxCx10C 由由 得得(0)0X由由 得得( )0X lcos0l于是得固有值和固有函數(shù)為于是得固有值和固有函數(shù)為由此得由此得(21)( )sin2nnxXxl2222(21)04nTaTl2222(21)4( )natlnnT tC e下面求解下面求解得得由疊加原理，得由疊加原理，得2222(21)40(21)( , )sin2natlnnnxu x tC el確定系數(shù)確定系數(shù) ,由初值條件知由初值條件知 nC0(21)sin( )2nnnx

10、Cxl)0(lx 02(21)( )sin2lnnxCxdxll于是于是如取如取 ，則，則( )Axxl12002202(21)22(21)sin (cos)2(21)22(21)8 cos( 1)(21)2(21)lnlnAnxAlnxCxdxxllllnllnxAdxnln 22 22(21)4222028(21)( , )( 1)sin(21)2natnlnAAnxu x tenl從而下列問題從而下列問題 2000,0,00,0txxxxx ltua uxl tuuAuxl的解為的解為圖形如下圖形如下: (程序程序:my1)(a) 精確解圖(b) 瀑布圖051000.5105101520

11、25XTu051000.510510152025XTua=5 A=10 l=10 N=1002.2 穩(wěn)定場(chǎng)齊次問題的分離變量法穩(wěn)定場(chǎng)齊次問題的分離變量法1 矩形區(qū)域上拉普拉斯方程矩形區(qū)域上拉普拉斯方程 【例題例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊散熱片的橫截面為矩形。它的一邊 處于較高溫處于較高溫度度 ， 邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度 , 其他兩其他兩邊邊 ， 溫度保持為零溫度保持為零， 求解這橫截面上的穩(wěn)定溫求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布度分布 . by 0y0 xxa),(yxuU0u【解解】先寫出定解問題定解問題先寫出定解問題定解問題 0 xxyyuu0

12、00(0)xx auuyb00(0)yy buuuUxa方程齊次方程齊次這組邊界條件齊次這組邊界條件齊次用分離變量法用分離變量法0 xxyyuu|xx auu0=000|yy buuuU( ) ( )uX x Y y(0)( ) 0XX aXYXY0YY0XX( )nnyyaannnY yAeBe2( ) ,1,2,( ) sin,nnannanX xx( )( )nnnuXx Y y( ,)( )()nnu x yXx Yy( , )uu x y固有固有值值（特（特征值）征值）問題問題設(shè)形式解為：設(shè)形式解為： ( ,)( )( )u x yX x Y y代入上述泛定方程代入上述泛定方程,得到

13、得到0(0)0( )0XXXX a0YY得到固有值問題得到固有值問題和常微分方程和常微分方程得固有值：得固有值： 222(1,2,.)nnna固有函數(shù)固有函數(shù)： ( )sinnn xXxa,.)2 , 1(n( )nnyyaannnY yA eB e而而1( , )()sinnnyyaannnn xu x yA eB ea( , )()sinnnyyaannnn xu x yAeB ea于是有于是有疊加得疊加得為確定疊加系數(shù)，將為確定疊加系數(shù)，將 代入非齊次邊界條件代入非齊次邊界條件 ( , )u x y011()sin()sinnnnnnbbaannnn xABuan xA eB eUa將等

14、式右邊展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)將等式右邊展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù),并兩邊比較系數(shù)，得并兩邊比較系數(shù)，得 00022(1( 1) )sinnannn xuABudxaan 2 (1 ( 1) )nnnbbaannUAeB en 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得0(1( 1) )()sh()n bnanUu eAn bna 0(1( 1) )()sh()n bnanu eUBn bna 101( , )()sin2(1 ( 1) )() shshsinshnnyyaannnnnn xu x yA eB ean ynbyn xUun baaana 故原問題的解為故原問題的解為小結(jié)：對(duì)矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條

15、件小結(jié)：對(duì)矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條件是齊次的，則可使用分離變量法求解。是齊次的，則可使用分離變量法求解。圖形如下圖形如下： （程序：（程序：my2）00.511.5201230123456XYu00.511.5200.511.522.530123456XYua=2 b=3 U0=1 U=5 N=150(a) 精確解圖(b) 瀑布圖【例例2】求解下列問題求解下列問題0 xxyyuu00(0)xx aupuPyb00(0)yy buuuUxa特點(diǎn)：邊界條件特點(diǎn)：邊界條件 均非齊次均非齊次 讓讓 和和 分別滿足拉普拉斯方程分別滿足拉普拉斯方程,并各有并各有一組齊次邊界條件，即一組齊次邊界

16、條件，即( , )x y( , )w x y000000 xxyyxx ayy bpP000000 xxyyxx ayy bwwwwwuwU( , )( , )( , )u x yx yw x y則則 ，而上面兩個(gè)定解，而上面兩個(gè)定解問題分別用例問題分別用例1的方法求解。的方法求解。稱為定解問題的分拆。稱為定解問題的分拆。 【例題例題3】帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)的，帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)的，水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中，導(dǎo)線看成圓柱型，水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中，導(dǎo)線看成圓柱型，求導(dǎo)線外電場(chǎng)的電勢(shì)。求導(dǎo)線外電場(chǎng)的電勢(shì)。 【解解】先將物理問題表為定解問題。

17、取圓柱的軸為先將物理問題表為定解問題。取圓柱的軸為z軸軸 ，物理問題與物理問題與Z軸無關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓軸無關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓222xya柱外的空間中沒有電荷，故滿足拉普拉斯方程柱外的空間中沒有電荷，故滿足拉普拉斯方程 0yyxxuu（在柱外）（在柱外） 0222ayxu可以看出，邊界條件無法分離變量，只能另辟蹊徑可以看出，邊界條件無法分離變量，只能另辟蹊徑。在極坐標(biāo)下研究該問題，在極坐標(biāo)下，上述問題可表示成在極坐標(biāo)下研究該問題，在極坐標(biāo)下，上述問題可表示成2 圓形區(qū)域問題圓形區(qū)域問題0cosuE)(01122222auuu0au設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為

18、 ( , )( )( )uR 代入拉普拉斯方程，得代入拉普拉斯方程，得2RRR 令令2RRR 此條件是根據(jù)電學(xué)此條件是根據(jù)電學(xué)原理加上的原理加上的移項(xiàng)、整理后得：移項(xiàng)、整理后得：2110RRR 分離為兩個(gè)常微分方程分離為兩個(gè)常微分方程 002RRR（ 自然邊界條件，附加）自然邊界條件，附加）)(cossin(0)AB(0)AeBe BA(0)得固有值和固有函數(shù)為得固有值和固有函數(shù)為2nn0(0)cossin(0)nnAnAnBnn( )n(2 )( ) 和和固有值問題解得解得將本征值代入常微分方程，得到將本征值代入常微分方程，得到歐拉型歐拉型常微分方程常微分方程 220RRn R作代換作代換

19、則則 ，方程化為，方程化為 ： telnt2220d Rn Rdt00ln ,0( ),0nnnnnCDnRCDn于是通解是于是通解是 ),(uln00DC 1(cossin)nnnnAnBn1(cossin)nnnnCnDn解得解得00,0( )0nntntnnCD tnR tC eD en即即一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于零一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于零,意味著所有傅里葉系數(shù)為零意味著所有傅里葉系數(shù)為零,即：即： 0011ln(cossin)(cossin)0nnnnnnnnCDaaAnBnaCnDn00ln0,CDa00nnnnnnnna Aa Ca Ba D由此得：由此得： 00ln ,CDa 22nnnn

20、nnCA aDB a 由條件由條件 得得0au主要部分是主要部分是 項(xiàng)項(xiàng),可見在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪，于是可見在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪，于是 1101000 (1)nnAEBABn最后得柱外的靜電勢(shì)為：最后得柱外的靜電勢(shì)為：2000( , )lncoscosauDEEa 由由 知知0cosuE結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系，有結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系，有21000(1)nnCE aCDn習(xí)題習(xí)題6、8 2.3 非齊次方程的求解非齊次方程的求解 2( , )(0,0)ttxxua uf x txl t000lxxuu0000tttuu設(shè)該問題的解為：設(shè)該問題的解為：1( , )( )sinnnnu x tTtxl例

21、例1 求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（）我們已經(jīng)知道，對(duì)應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為我們已經(jīng)知道，對(duì)應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為1sinnn xl1( , )( )sinnnnf x tf txl又設(shè)又設(shè)因因 已知，所以已知，所以( , )f x t02( )( , )sinlnn xf tf x tdxll 固有函數(shù)展開法（又稱傅立葉級(jí)數(shù)法）固有函數(shù)展開法（又稱傅立葉級(jí)數(shù)法）代入非齊次方程和初始條件得：代入非齊次方程和初始條件得：2222( )( )( )(0)0(0)0nnnnnnaT tT tf tlTT001( )( )sin()( , )( )sin()sintnntnn

22、ln aT tftdn alln anu x tftdxn all用用Laplace變換求解得：變換求解得： 方法總結(jié)：方法總結(jié)：將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對(duì)應(yīng)的齊次問題將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對(duì)應(yīng)的齊次問題的固有函數(shù)展開，其展開系數(shù)為另一變量的未知函數(shù)，代入的固有函數(shù)展開，其展開系數(shù)為另一變量的未知函數(shù)，代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。2000cossin00( )( )ttxxxxxx ltttxua uAtluuuxux)0(lx 設(shè)：設(shè)：0( , )( )cosnnnu x tT txl22220( )cossincosnnnnanTTxAtx

23、lll【解解】 對(duì)應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為對(duì)應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為0cosnn xl代入泛定方程，得代入泛定方程，得于是有于是有例例2 求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（）tATlaTsin1222102222nnTlanT) 1(n代入初始條件代入初始條件 00(0)cos( )cosnnnnnnTxxxll00 (0)cos( )cosnnnnnnTxxxll于是：于是： dlTl000)(1)0(dlTl000)(1)0(當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)： 0ndlnlTlnn0cos)(2)0(dlnlTlnn0cos)(2)0(的解為的解為 )(tTnttT000)(12222111

24、( )( sinsin) cossinAlataT ttaallltlatlal解釋解釋推導(dǎo)：推導(dǎo)：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 ( )cossinaaT tCtDtll1設(shè)非齊次方程的特解為，解得設(shè)非齊次方程的特解為，解得 ( )sinT tBt1()ABal 22于是非齊次方程的通解為于是非齊次方程的通解為( )cossinsin()aaAT tCtDttalll122由定解條件由定解條件(0)T11 (0)T11得得C1()()lADaal122代入整理即得。代入整理即得。( )cossinnnnn atln atT tln al002222( , )1 +(sinsin)c

25、osu x ttAlataxtaallll2(cossin)cosnnnn atln atnxln all故原問題的解為故原問題的解為解釋解釋 2.4 非齊次邊界條件問題非齊次邊界條件問題 上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況。上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況?，F(xiàn)在討論非齊次邊界條件下的情況?，F(xiàn)在討論非齊次邊界條件下的情況?！纠?】長(zhǎng)為長(zhǎng)為 、側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿，在、側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿，在 的一端保的一端保l0 x xl0u持恒溫持恒溫 ，另一端，另一端 有熱流為有熱流為 的定常熱流進(jìn)入。設(shè)桿的定常熱流進(jìn)入。設(shè)桿0q0u的初始溫度分布是的初始溫度分布是 ，求桿上的

26、溫度變化，求桿上的溫度變化.【解解】物理問題的定解問題物理問題的定解問題200000( , )( , )(0,0)txxxxx ltu x ta ux txltquuuKuu按照疊加原理，將按照疊加原理，將 的定解問題分解為兩部分之和，的定解問題分解為兩部分之和，( , )u x t( , )( )( , )u x txw x t00qxuK( ) x滿足定解問題滿足定解問題000( )0(0)xxx lxxlquK即即解得解得( , )w x t滿足定解問題滿足定解問題2000( , )( , ) (0)00txxxxx ltw x ta w x tx lwwqwxK 解釋為什么？解釋為什么

27、？2(21)1022208( 1)(21)( , )sin(21)2kaktlkq lkxw x teKkl由分離變量法知，其解為由分離變量法知，其解為2(21)100202208( 1)(21)( , )sin(21)2kaktlkqq lkxu x tx ueKKkl由初值條件知由初值條件知2(21)20(21)( , )sin2katlkkkxw x tC el10022082(21)( 1)sin2(21)klkqq lkxCxdxlKlKk故故與與t無關(guān)，設(shè)無關(guān)，設(shè)v=v(x)200000( , )( , )(0,0)txxxxx ltu x ta ux txltquuuKuu小結(jié)：

28、小結(jié)：( ) x滿足定解問題滿足定解問題000( )0(0)xxx lxxlquK即可邊界條件齊次化。即可邊界條件齊次化。2.5固有值問題固有值問題 常微分方程的本征值問題是由齊次邊界條件決定的。常微分方程的本征值問題是由齊次邊界條件決定的。 用分離變量法求解偏微分方程的定解問題時(shí)，會(huì)得到含有參數(shù)用分離變量法求解偏微分方程的定解問題時(shí)，會(huì)得到含有參數(shù) 些參數(shù)稱為固有值，其對(duì)應(yīng)的方程解稱為固有函數(shù)。些參數(shù)稱為固有值，其對(duì)應(yīng)的方程解稱為固有函數(shù)。 的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問題的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問題中的參數(shù)依據(jù)邊界條件只能取某些特定值才會(huì)使方程有非零解。這中的參數(shù)依據(jù)邊界條件只能取某些特定值才會(huì)使方程有非零解。這( )( )0(0)0( )0XxX xXX l222( )sin(1,2,)nnnnnXxCx nll固有值及固有函數(shù)：固有值及固有函數(shù)：一、一、1sinnnxl固有函數(shù)系：固有函數(shù)系：在區(qū)間在區(qū)間 上正交，即上正交，即0, l