線線角線面角的向量求法

1、A直線與直線所成的角向量求法知識點(diǎn) 設(shè)直線，的夾角為，方向向量分別為、，則注意：當(dāng)向量的夾角為銳角或直角時，異面直線所成的角等于此時的向量夾角；當(dāng)向量的夾角為鈍角時，異面直線所成的角則是向量夾角的補(bǔ)角例1 （P118頁第10題）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值解：如圖所示，以為原點(diǎn)，為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系則，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，（1）依題意，因?yàn)?，所以，即?）依題意，因?yàn)?，所以與所成角的余弦值為例2 在正三棱柱中，若，求異面直線與所成角的大小解法一（向量法）：因?yàn)?，又，所以所以，即與所成角為解法二（坐標(biāo)法）：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)

2、，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，以為長度單位，則由，可知，所以，所以即與所成的角為自主體驗(yàn) 1教材P111A組第1題結(jié)果：（1）（2）2（119B組第1題）如圖，平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，且求：（1）的長；（2）直線與夾角的余弦值解：（1）因?yàn)?，所以由已知得：，所以，所以，即?）依題意得，所以因?yàn)?，所以，所以與夾角得余弦值為3（教材112第8題）邊長為的正方形的中心為，過點(diǎn)作平面的垂線，在其上取點(diǎn)，使連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且滿足求直線與所成角的余弦值解：取正方形中心為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，垂線段，所以，得，因?yàn)?，即，?/p>

3、以，解得所以，因此所以所以直線與所成角的余弦值為B線面角的向量求法知識點(diǎn) 設(shè)直線與平面的夾角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則例1（2008年海南）如圖，已知點(diǎn)在正方體的對角線上，（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的大小解：如圖所示，以為原點(diǎn)，為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系則，連接，在平面中，延長交于設(shè)，由已知，由，可得解得，所以（1）因?yàn)?，所以，即與所成的角為（2）平面的一個法向量是因?yàn)?，所以，可得與平面所成的角為例2如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，平面，求直線與平面所成的角的正弦值解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，即設(shè)與平面所成的角為則所以直線與平面所成的角的正弦值為自主體驗(yàn) （2014福建）在平面四邊形中，將沿折起，使得平面平面，如圖（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面又平面，所以?）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖由（1）知平面，平面，平面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)