第六屆清華大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大賽趣味組答案

1、聲明：本文大部分文字、圖片來(lái)源于Matrix67的博客。一、(5分)找規(guī)律，畫(huà)出下一個(gè)圖形：答案：(只要看起來(lái)是字母J的輪廓即可，不限字體)。分析：這些圖形分別是字母A到J的“輪廓”假設(shè)我們?cè)趶腁到J的每個(gè)字母外面拉上一圈橡皮筋，松手之后橡皮筋就依次變成了圖中的這些形狀。二、(10分)用19排成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)。要求：這個(gè)九位數(shù)前位排成的位數(shù)能被整除。答案：381654729(唯一解)。三、(15分)一架客機(jī)上有100個(gè)座位，100個(gè)人排隊(duì)依次登機(jī)。第一個(gè)乘客把機(jī)票搞丟了，但他仍被允許登機(jī)。由于他不知道他的座位在哪兒，他就隨機(jī)選了一個(gè)座位坐下。以后每一個(gè)乘客登機(jī)時(shí)，如果他的座位是空著的，

2、那么就在他的座位坐下；否則，他就隨機(jī)選一個(gè)仍然空著的座位坐下。請(qǐng)問(wèn)，最后一個(gè)人登機(jī)時(shí)發(fā)現(xiàn)唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？答案：1/2。分析一：當(dāng)最后一個(gè)乘客登機(jī)時(shí)，最后一個(gè)空位要么就是他的，要么就是第一個(gè)乘客的。由于所有人選擇座位時(shí)都是隨機(jī)選擇的，這兩個(gè)位置的“地位”相等，它們所面對(duì)的“命運(yùn)”是相同的，不存在哪個(gè)概率大哪個(gè)概率小的問(wèn)題。因此，它們成為最后一個(gè)空位的概率是均等的。也就是說(shuō)，最后一個(gè)人發(fā)現(xiàn)剩下的空位正好是他的，其概率為1/2。分析二：用遞推和歸納的方法，同樣得到1/2。四、(10分)空間中有六個(gè)點(diǎn)，兩兩間的距離互不相等。考慮所有以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形。證明：存在某個(gè)三

3、角形，它的最長(zhǎng)邊是另外某個(gè)三角形中的最短邊。解答：似乎應(yīng)補(bǔ)充條件“任意三點(diǎn)不共線”?？紤]以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的全體三角形。依次把每一個(gè)三角形的最短邊染成紅色，然后把那些沒(méi)有染色的線段染成藍(lán)色。由Ramsey定理我們知道，把六個(gè)點(diǎn)兩兩間的所有連線進(jìn)行紅藍(lán)二染色，則總能找到一個(gè)三邊同色的三角形。但在我們這里的構(gòu)造中，不可能有哪個(gè)三角形三條邊都是藍(lán)色的，因?yàn)槊總€(gè)三角形中都有一條最短邊，根據(jù)構(gòu)造它已經(jīng)被我們?nèi)境杉t色了。因此，在我們的染色構(gòu)造中存在一個(gè)全是紅色邊的三角形。這個(gè)三角形就是滿足題意的三角形它有一條最長(zhǎng)邊，并且由于它是紅色的，它一定是另外某個(gè)三角形的最短邊。五、(5分)已知右圖的四點(diǎn)分別在一個(gè)正方形

4、的四條邊上，試確定這個(gè)正方形。答案：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，并截取點(diǎn)使。那么，和在正方形的同一邊上。然后過(guò)、作的垂線，垂足為就是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)。于是確定了正方形的邊長(zhǎng)和兩個(gè)頂點(diǎn)，然后就容易了。六、(10分)數(shù)列由，定義。求通項(xiàng)公式。答案：，為1，1，2，3，5，8，是Fibonacci數(shù)列。進(jìn)一步，其中，。七、(10分)構(gòu)造一個(gè)定義在上的函數(shù)，使得其圖像關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后和原圖像完全重合。答案：(不唯一)。八、(10分)一個(gè)機(jī)器洗牌時(shí)總是以相同的方式打亂牌的順序。把A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K放進(jìn)去，用機(jī)器連續(xù)洗兩次牌之后，順序變?yōu)榱?0,9,Q,8,K,3,4,

5、A,5,J,6,2,7。求機(jī)器第一次洗牌之后的順序。答案：9,A,4,Q,J,7,3,2,10,5,K,8,6。分析：原題相當(dāng)于有一個(gè)113的置換,，。容易驗(yàn)證是恒等變換，進(jìn)而是恒等變換。因此，可以求出洗牌方式。九、(15分)右圖是一輛自行車在泥地中駛過(guò)留下的痕跡，你能據(jù)此判斷出這輛自行車是從左往右行駛的還是從右往左行駛的嗎？給出你的猜測(cè)與判斷依據(jù)。提示：行駛方向和圖中的線條粗細(xì)、邊緣鋸齒沒(méi)有關(guān)系，你完全可以把兩道痕跡當(dāng)作沒(méi)有粗細(xì)之分的理想曲線。答案：從右往左。分析：自行車只有前車輪可以自由改變方向，后車輪的方向始終指向前車輪的中心。也就是說(shuō)，如果把前后車輪的痕跡分別記為曲線和曲線，時(shí)刻前車輪

6、的位置記為，后車輪的位置記為，則對(duì)任意時(shí)刻，和的連線都與曲線相切，且這條連線的長(zhǎng)度是一個(gè)定值(兩車輪間的距離)。換個(gè)角度來(lái)說(shuō)，曲線上任意一點(diǎn)的(其中一個(gè)方向上的)切線一定會(huì)與曲線產(chǎn)生交點(diǎn)，且兩個(gè)點(diǎn)的距離是一個(gè)定值。由于曲線的切線一定與另一條曲線相交，作出兩條曲線各個(gè)部分上的切線，我們就可以區(qū)別出兩道車輪印哪條是前輪痕跡，哪條是后輪痕跡。下面在曲線上任意取幾個(gè)點(diǎn)，比如、，我們只需要找出對(duì)應(yīng)的、的位置，即可還原出自行車行駛的大致過(guò)程了。作出各個(gè)的切線，它與曲線的交點(diǎn)就應(yīng)該是各個(gè)的位置。但這些切線與曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，哪個(gè)才是真正的呢？利用與間的距離為定值這一結(jié)論，我們可以看出，只有位于各左邊的那些交

7、點(diǎn)才與保持相同的距離。因此，自行車是從右往左行駛的。十、(10分)12個(gè)球一個(gè)天平，現(xiàn)知道只有一個(gè)和其它的重量不同，問(wèn)怎樣稱才能用三次就找到那個(gè)球。(注意此題并未說(shuō)明那個(gè)球的重量是輕是重，所以需要仔細(xì)考慮)答案：為便于區(qū)分，我們先將12個(gè)球標(biāo)上號(hào)碼，分別為112號(hào)，再將天平分為左右兩邊。第一次：將1、3、5、7號(hào)球放在天平的左邊，將2、4、6、8號(hào)球放在天平右邊。將會(huì)出現(xiàn)三種可能：1、天平平衡，證明有問(wèn)題的球在9、10、11、12號(hào)球中；2、左側(cè)下沉，說(shuō)明有問(wèn)題的球在1、2、3、4、5、6、7、8號(hào)球中；3、右側(cè)下沉，說(shuō)明有問(wèn)題的球在1、2、3、4、5、6、7、8號(hào)球中，如果將天平扭過(guò)來(lái)，與左側(cè)下沉相同。第二次：天平左側(cè)放1、3、4號(hào)球，右側(cè)放2、5、9號(hào)球，也有三種可能：1、天平平衡，證明有問(wèn)題的球在6、7、8號(hào)球中（第三次A）；2、左側(cè)下沉，說(shuō)明有問(wèn)題的球在1、2、3號(hào)球中（第三次B）；3、右側(cè)下沉，說(shuō)明有問(wèn)題的球在4、5號(hào)球中（第三次C）。第三次A：分別將6、8號(hào)球放在天平的兩側(cè)，如果平