高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽0710試題之?dāng)?shù)列教師版

1、1（07全國(guó)）已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于_解：因?yàn)?，故由已知條件知道：1+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5m13且是某個(gè)有理數(shù)的平方，由此可知。2.（08湖南）已知是等比數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 解:設(shè)的公比為，則，進(jìn)而.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列. .顯然，. 選C.3.（08全國(guó)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，則通項(xiàng)=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以1214（08江蘇）在如圖的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行

2、成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解第一、二行后兩個(gè)數(shù)分別為，3與，；第三、四、五列中的，則. 選A.5.（08河北）8已知數(shù)列滿(mǎn)足，則=_.答案：解：由已知得，且所以，即是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，所以=n，即有.6. （10全國(guó)）已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則.解：設(shè)的公差為的公比為，則 （1） ，（2）（1）代入（2）得，求得.從而有對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.7.（11浙江）2. 已知等差數(shù)列前15項(xiàng)的和=30，則=_6_.解答：由，而。8.（09全國(guó)）

3、一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：()該數(shù)表共有100行；()每一行構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)為，則故9（07全國(guó)）設(shè)，求證：當(dāng)正整數(shù)n2時(shí)，an+1<an。證明：由于，因此，于是，對(duì)任意的正整數(shù)n2，有，即an+1<an。10（08河北）16在數(shù)列中，是給定的非零整數(shù)，（1）若，求；（2）證明：從中一定可以選取無(wú)窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)數(shù)列解：（1），自第22項(xiàng)起，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值1

4、，1，0，故=14分（2）首先證明數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于，所以.時(shí)，都有6分當(dāng)時(shí)，（）；當(dāng)時(shí)，（），即的值要么比至少小1，要么比至少小18分令，則由于是確定的正整數(shù)，這樣下去，必然存在某項(xiàng)，這與矛盾，從而中必有零項(xiàng).10分若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為，記，則自第項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，即，所以數(shù)列中一定可以選取無(wú)窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)數(shù)列.12分11.（08湖北）9已知數(shù)列中，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：對(duì)一切，有解（1）由已知，對(duì)有，兩邊同除以n，得，即， 4分于是，即，所以，又時(shí)也成立，故 8分（2）當(dāng)，有，12分所以時(shí)，有又時(shí)，故對(duì)一切，有 16分12

5、（08浙江）設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的公差，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明： 1）若，且，則； 2）若則。解：設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為。（1）因?yàn)椋?，。從而有。因?yàn)椋杂杏谑?。?）又因?yàn)椋杂?3.（09全國(guó)）（本小題15分）已知，是實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿(mǎn)足，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）；()若，求的前項(xiàng)和方法一：()由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)為：所以，即所以當(dāng)時(shí)，變?yōu)檎淼?，所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；當(dāng)時(shí)，整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為()若，則，此時(shí)由第()步的結(jié)果得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，的前項(xiàng)和為以上兩式相減，整理得所以方法二：()由韋達(dá)定理知，又，所以，特征方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得解得故當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得解得，故10分()同方法一14（10全國(guó)）數(shù)列滿(mǎn)足.求證: . （1）證明：由知，. （2）所以即. 從而 .所以（1）等價(jià)于，即 . （3）由及知 .當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（3）成立.設(shè)時(shí)，（3）成立，即.當(dāng)時(shí)，由（2）知；又由（2）及知均為整數(shù)，從而由有即，所以，即（3）對(duì)也成立.所以（3）對(duì)的正整數(shù)都成立，即（1）對(duì)的